四元數(shù)張量方程A*NX=B 的通解

蔣華，袁仕芳，李明照

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

任意四元數(shù)q可以用實(shí)數(shù)q0,q1,q2,q3唯一表示為

F（A）與A是一一對(duì)應(yīng)的.

文獻(xiàn)[1-11]研究了張量、張量方程和四元數(shù)張量方程，其中何卓衡等研究了四元數(shù)代數(shù)上的張量分解和張量方程[9]以及得到了一種涉及η-Hermicity的耦合系統(tǒng)Sylvester-type四元數(shù)張量方程的通解[10]；王卿文等得到了四元數(shù)Sylvester張量方程的最小二乘解[11]. 本文利用四元數(shù)張量的復(fù)表示來討論四元數(shù)張量方程A*NX=B相容性條件及其通解.

1 幾個(gè)定義和引理

定義 1[12]對(duì)于四元數(shù)張量張量A和B的Einstein積*N定義為

定義2[8]690令張量，A和B的行塊張量定義為

定義3[10]令四元數(shù)張量，四元數(shù)張量滿足下列4個(gè)四元數(shù)張量方程：1）則稱X為A的Moore-Penrose廣義逆，記為+A.

引理1[8]695對(duì)于和，張量方程A*NX=B相容的充要條件是. 其通解為

2 四元數(shù)張量方程A*NX=B 的通解

定理2對(duì)于任意有

證明由四元數(shù)張量的Einstein積有

下面利用四元數(shù)張量的復(fù)表示來討論四元數(shù)張量方程A*NX=B相容性條件及其通解表達(dá)式.對(duì)于給定四元數(shù)張量，設(shè)

定理 3對(duì)于四元數(shù)張量和，四元數(shù)張量方程相容的充要條件是

其通解為

證明因?yàn)橛啥ɡ?有

故有

證畢.