劉 衣，游繼安

(湖北工程學(xué)院 新技術(shù)學(xué)院，湖北 孝感 432100)

圖像分割在不同的領(lǐng)域有著非常重要的作用，如醫(yī)學(xué)圖像分割是在醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)域中自動(dòng)或半自動(dòng)化對(duì)2D或3D圖像進(jìn)行邊界檢測(cè)的一個(gè)重要過(guò)程[1]。模糊C均值(fuzzy C means，F(xiàn)CM)聚類方法已被證明是一個(gè)很有效的圖像分割的方法[2]，但是它的魯棒性較差，而且對(duì)噪聲圖片的分割會(huì)很敏感，準(zhǔn)確性降低[3]。量子遺傳算法(quantum genetic algorithm，QGA)是韓國(guó)人Kuk-Hyun Han最先提出的，它的收斂速度比普通的遺傳算法等要快很多，而且由于量子計(jì)算的特征，不容易陷入局部最優(yōu)解的困境[4]。

本文利用量子遺傳算法計(jì)算模糊C均值聚類中心，然后得到圖像每個(gè)像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)聚類中心的隸屬度，達(dá)到分割的效果。在計(jì)算聚類中心時(shí)，首先需要選擇隨機(jī)樣本。傳統(tǒng)的隨機(jī)樣本選擇范圍圖像中的所有像素點(diǎn)，隨機(jī)在圖像中選擇一個(gè)像素點(diǎn)，得到其灰度值，將其作為某個(gè)聚類中心的樣本。但是，不同大小的圖片，像素點(diǎn)個(gè)數(shù)范圍變化非常大，對(duì)量子遺傳算法中需要使用的種群規(guī)模(染色體個(gè)數(shù))、染色體上每個(gè)基因的長(zhǎng)度，以及進(jìn)化的代數(shù)，都有著不確定性。如果圖像比較小，而種群規(guī)?；蛘呋蜷L(zhǎng)度過(guò)大，則會(huì)造成計(jì)算冗余，實(shí)際測(cè)試過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間都無(wú)法得到計(jì)算結(jié)果；如果圖像較大，而種群規(guī)?；蚧蜷L(zhǎng)度相對(duì)較小，需要計(jì)算的進(jìn)化代數(shù)就必須增加，搜尋的范圍大了，就很難快速找到最優(yōu)值。對(duì)于此問(wèn)題，本文將圖像的所有像素點(diǎn)的灰度值變化范圍作為尋找聚類中心的樣本空間，可以解決圖像大小不確定的問(wèn)題，因?yàn)槿我庀袼攸c(diǎn)灰度值變化的最大范圍是0到255，而圖像像素點(diǎn)灰度值變化值不超過(guò)255，這樣，就可以使用固定的種群數(shù)量、基因長(zhǎng)度和進(jìn)化代數(shù)來(lái)計(jì)算，使得算法有很好的魯棒性。

本文利用C++語(yǔ)言和Open CV工具，在Win10系統(tǒng)上使用VS2017進(jìn)行編程測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文方法是有效的。

1 QGA簡(jiǎn)介

量子疊加態(tài)是QGA的基礎(chǔ)，一個(gè)量子比特的疊加態(tài)ψ可以有公式(1)表示：

ψ〉=α0〉+β1〉

(1)

式中：α表示偏向0態(tài)的概率，β表示偏向1態(tài)的概率，α和β之間有公式(2)的關(guān)系：

(2)

QGA的最小單元是一個(gè)量子比特，可以用如下向量的形式表示：

(3)

若一個(gè)基因由k個(gè)量子比特組成，而一個(gè)染色體又由m個(gè)基因組成，則一個(gè)染色體用矩陣可表示為公式(4)的形式：

(4)

量子的一大特點(diǎn)就是一旦觀測(cè)后，每個(gè)由α和β構(gòu)成的量子比特疊加態(tài)就立刻隨機(jī)變成0態(tài)或者1態(tài)。所以一旦觀測(cè)后，基因就變成了二進(jìn)制形式，最小單位為1個(gè)bit，只能取0或1。那么公式(4)代表的染色體的長(zhǎng)度(比特總量)就應(yīng)該為k*m。

QGA的步驟如下：

Step 2 測(cè)量并存儲(chǔ)坍塌后的二進(jìn)制數(shù)，將其按照樣本范圍轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制的值；

Step 3 將得到的樣本值帶入適應(yīng)度方程中計(jì)算適應(yīng)度的值；

Step 4 篩選最優(yōu)個(gè)體，并將其數(shù)據(jù)作為下一代；

while (若當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)t<總進(jìn)化代數(shù)n) do

begin

Step 2～Step 3;

Step 5 所有染色體基因的所有量子比特經(jīng)過(guò)量子旋轉(zhuǎn)門(mén)更新α和β；

Step 6 篩選和存儲(chǔ)最優(yōu)個(gè)體，滿足下一代必須優(yōu)于或等于上一代；

end

算法運(yùn)算結(jié)束后，最優(yōu)個(gè)體的所有數(shù)據(jù)便知道了。

其中Step 5中提到的量子旋轉(zhuǎn)門(mén)，是一個(gè)二維矩陣，如公式(5)所示：

(5)

(6)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)，可得公式(7)：

(7)

旋轉(zhuǎn)門(mén)中的旋轉(zhuǎn)角θi是由偏轉(zhuǎn)角度的絕對(duì)值和旋轉(zhuǎn)方向共同決定的，具體關(guān)系如公式(8)所示，其中s(αi，βi)為旋轉(zhuǎn)方向：

θi=Δθi·s(αi，βi)

(8)

公式(8)中的Δθi和s(αi，βi)可以根據(jù)旋轉(zhuǎn)角選擇策略確定，如表1所示。根據(jù)基因中某個(gè)位置xi、對(duì)應(yīng)位置的最優(yōu)值的bi、該染色體適應(yīng)度是否優(yōu)于最佳染色體適應(yīng)度、αi和βi的值，查詢對(duì)應(yīng)的Δθi和s(αi，βi)的值，從而確定θi的值。

表1 旋轉(zhuǎn)角選擇策略

2 FCM算法簡(jiǎn)介

模糊C均值的聚類算法，其主要思路是先任意查找聚類中心，然后計(jì)算每個(gè)樣本對(duì)所有聚類中心的隸屬度值，再根據(jù)這個(gè)值來(lái)更新聚類中心，直到由聚類中心、隸屬度和所有樣本構(gòu)成的目標(biāo)函數(shù)與上一代相比，相差的絕對(duì)值小于某個(gè)值，就停止更新，得到最終的聚類中心和所有樣本相對(duì)所有聚類中心的隸屬度。

上述算法中提到的目標(biāo)函數(shù)如公式(9)所示：

(9)

聚類中心Pj和樣本隸屬度uij之間的關(guān)系為公式(10)和公式(11)所示：

(10)

(11)

3 QGA和FCM聚類結(jié)合

3.1 算法結(jié)合意義

結(jié)合兩個(gè)算法的目的是為了得到更好的聚類效果，將FCM聚類用于圖像分割上，能較好地辨別聚類效果。所以，主要算法還是FCM聚類，QGA是用來(lái)優(yōu)化聚類算法的。

3.2 算法結(jié)合原理

3.3 樣本選取

傳統(tǒng)的FCM圖像分割算法通常將圖像所有像素點(diǎn)的信息當(dāng)作聚類中心的篩選范圍，然后在這里面找聚類中心，單個(gè)像素點(diǎn)的信息包括x和y坐標(biāo)值以及灰度值。對(duì)于以公式(9)為適應(yīng)度函數(shù)的QGA，聚類中心篩選范圍的選取也可以用這種方法。這種方式的優(yōu)點(diǎn)是直觀，容易理解，聚類中心就是某個(gè)像素點(diǎn)的信息。缺點(diǎn)是不同的圖片大小不一，進(jìn)而導(dǎo)致樣本量不穩(wěn)定，容易過(guò)大或過(guò)小，導(dǎo)致對(duì)于QGA算法，種群規(guī)模(染色體數(shù))、基因長(zhǎng)度和進(jìn)化代數(shù)都不能設(shè)定為一個(gè)常量，算法的魯棒性大大降低。對(duì)于大圖片，在尋找聚類中心的過(guò)程中，樣本量過(guò)大，計(jì)算量也過(guò)大。

本文提出將圖像所有像素點(diǎn)的灰度值取值范圍作為QGA求聚類中心的樣本范圍，樣本則是范圍里的所有灰度值。這樣，對(duì)于任何圖片，最大的樣本范圍也就是0到255，對(duì)于不同的圖片，灰度值變化范圍也接近與0到255。這種方法的缺點(diǎn)是樣本點(diǎn)比較抽象，并不是某個(gè)具體像素點(diǎn)的信息，而是灰度范圍內(nèi)的任意灰度值，這種方法的優(yōu)點(diǎn)特別突出，因?yàn)闃颖痉秶粫?huì)超過(guò)0到255的整數(shù)范圍，所有樣本個(gè)數(shù)最大也就是256，故采用QGA算法時(shí)，種群規(guī)模(染色體數(shù))、基因長(zhǎng)度和進(jìn)化代數(shù)，可以設(shè)為比較小的固定值，計(jì)算量明顯減小，經(jīng)過(guò)測(cè)試，種群規(guī)?？稍O(shè)為9，每個(gè)基因的長(zhǎng)度(二進(jìn)制編碼位數(shù))可設(shè)為6，由于QGA算法的收斂速度非?？欤宰畲筮M(jìn)化代數(shù)設(shè)為9即可。

3.4 QGA-FCM圖像分割

Step 2 計(jì)算圖像所有像素點(diǎn)的灰度值變化范圍[a，b]，作為聚類中心篩選范圍。

Step 3 測(cè)量并存儲(chǔ)坍塌后的二進(jìn)制數(shù)，將其按照[a，b]范圍轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制的值；

Step 5 更新每個(gè)像素點(diǎn)對(duì)所有聚類中心的隸屬度uij(公式(10))；

Step 6 利用公式(11)更新聚類中心Pj；

Step 7 根據(jù)Step 5和Step 6更新后的uij、Pj，和每個(gè)像素點(diǎn)灰度值xi灰度值，利用公式(9)計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)J。

Step 8 存儲(chǔ)最小適應(yīng)度對(duì)應(yīng)的uij、Pj，以及Pj更新前的十進(jìn)制和二進(jìn)制的值；

Step 9 篩選最優(yōu)個(gè)體，并將其數(shù)據(jù)作為下一代；

while (若當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)t < 總進(jìn)化代數(shù)n) do

begin

Step 3～Step 8；

Step 10 所有染色體基因的所有量子比特經(jīng)過(guò)量子旋轉(zhuǎn)門(mén)更新α和β；

Step 11 篩選和存儲(chǔ)最優(yōu)個(gè)體，滿足下一代必須優(yōu)于或等于上一代；

end

Step 12 將每個(gè)樣本(像素點(diǎn))的灰度值設(shè)為對(duì)最大聚類中心的隸屬度。

經(jīng)過(guò)上述步驟，圖像就被分割了。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

將圖像的聚類數(shù)目設(shè)為2，即將圖像分割成2個(gè)部分，分割情況如圖1所示。

圖1 聚類數(shù)為2的對(duì)比圖

若在算法中，不是以聚類中心的灰度值去設(shè)置像素點(diǎn)灰度值，而是對(duì)于隸屬于不同聚類中心的像素點(diǎn)灰度值用0或255進(jìn)行區(qū)別，那么，結(jié)果就如圖2所示。

圖2 二值化的兩種算法對(duì)比圖