結(jié)合非局部先驗(yàn)性與加權(quán)核范數(shù)最小化的聲納圖像去噪

石建飛，唐玉波，孫裕超

（1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三研究所，北京 100015 ；2.航天系統(tǒng)部，北京 100000）

1 引言

隨著人類探索海洋的前進(jìn)步伐和世界各國(guó)海洋技術(shù)的深入發(fā)展，被譽(yù)為水下攝影機(jī)的圖像型聲納的應(yīng)用愈發(fā)廣泛。但是，由于海洋水下的復(fù)雜聲學(xué)環(huán)境合聲納系統(tǒng)本身的噪聲干擾，接收的回波數(shù)據(jù)經(jīng)常會(huì)被各種噪聲污染。因而，對(duì)聲納圖像進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和目標(biāo)提取，并針對(duì)圖像的去除噪聲進(jìn)行預(yù)處理，不可或缺［1］。

目前，對(duì)聲納噪聲抑制的研究主要為空域?yàn)V波和頻域?yàn)V波兩大類?？沼?yàn)V波（包括中值濾波［2］、基于偏微分方程的聲納圖像去噪［3］等）能夠在一定程度上減弱噪聲，但由于計(jì)算聲納圖像統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，滑動(dòng)窗口的尺度對(duì)噪聲抑制的效果影響大，且會(huì)對(duì)聲納圖像產(chǎn)生過(guò)平滑作用，導(dǎo)致圖像將丟失細(xì)節(jié)信息。頻域?yàn)V波主要是基于多尺度幾何變換域的相干噪聲抑制過(guò)程，通過(guò)對(duì)遙感圖像在變換域的系數(shù)收縮進(jìn)行去噪。多尺度幾何變換是為了克服二維可分離小波變換不能有效表示圖像而發(fā)展的技術(shù)，能夠有效表示圖像中存在的奇異曲線或曲面，從而更稀疏地表示圖像的本質(zhì)特征［4-5］。目前，流行的變換域聲納圖像噪聲抑制算法使用的多尺度幾何變換主要包括Contourlet 變換、多小波變換、改進(jìn)的Curvelet 變換以及Ridgelet 變換等［6-9］?；谧儞Q域的算法有效抑制了聲納圖像噪聲，但是由于變換域固有的一些缺點(diǎn)，導(dǎo)致變換域的去噪算法往往會(huì)產(chǎn)生像素扭曲，且這類算法多數(shù)僅僅考慮本像素點(diǎn)和其鄰域像素之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)值，沒能充分利用矩陣的統(tǒng)計(jì)特性和局部相似區(qū)域信息兩個(gè)因素，因此去噪有效性有待論證。

灰度圖像一般可以作為一個(gè)矩陣來(lái)進(jìn)行研究和操作。隨著矩陣?yán)碚摵蛨D像統(tǒng)計(jì)學(xué)的持續(xù)發(fā)展，近幾年數(shù)字圖像處理領(lǐng)域出現(xiàn)了一種新的行之有效的方式，即基于低秩矩陣的數(shù)字圖像處理方法。當(dāng)前，這種算法已經(jīng)成為世界范圍內(nèi)該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［10-13］。自然圖像一般帶有低秩特性，而帶噪圖像的低秩特性被大打折扣［13］。水下聲納圖像與可見光圖像類似，由于圖像數(shù)據(jù)的冗余性和自相關(guān)性，在局部存在規(guī)則的幾何紋理和結(jié)構(gòu)性特征，使得圖像矩陣出現(xiàn)局部區(qū)域低秩特性［13］，等同于利用低秩矩陣近似解決噪聲去除問(wèn)題。

低秩矩陣的噪聲控制一般都可以等價(jià)為求解低秩矩陣逼近的問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，低秩矩陣逼近的常用算法通常有核范數(shù)最小化方法（Nuclear Norm Minimization，NNM）和低秩矩陣分解方法（Low Rank Matrix Factorization，LRMF）兩種。其中，LRMF 一般利用原始數(shù)據(jù)中的保真函數(shù)來(lái)逼近帶噪聲的原始數(shù)據(jù)。帶有噪聲的信號(hào)可以表征為兩個(gè)低秩圖像矩陣的積，從而計(jì)算出圖像中包含的噪聲［14］。但是，由于LRMF 沒有松弛特性，因此圖像去噪的計(jì)算復(fù)雜度很高，對(duì)應(yīng)的濾波效果不明顯。NNM 著眼于LRMF 計(jì)算復(fù)雜度高的硬傷，在特定條件下有能力求解出其解析的最優(yōu)解，所以一經(jīng)提出就成為焦點(diǎn)［13］。文獻(xiàn)［12］提出加權(quán)核范數(shù)最小化的框架思路，也就是在進(jìn)行核范數(shù)最小化計(jì)算時(shí)把奇異值進(jìn)行配重，那么最優(yōu)化的結(jié)果就變成奇異值與閾值一一對(duì)應(yīng)的操作，有益于圖像去噪。因此，本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)行聲納圖像噪聲控制。

以上提出的方式均在使用圖像的先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行相干性噪聲抑制。非局部平均（Non-Local Means，NLM）去噪算法［15］恰恰是一種利用圖像自帶的冗余信息的特點(diǎn)，運(yùn)用非局部自相似性進(jìn)行圖像去噪的算法。算法的核心是利用雙窗口之間的相似性，而不是僅利用像素之間的關(guān)系來(lái)計(jì)算像素的灰度值，打破了傳統(tǒng)像素加權(quán)中局部思想的框架，同時(shí)利用圖像自帶的相似性和冗余信息，保證了去噪濾波效果。

雖然非局部去噪算法在噪聲抑制領(lǐng)域已經(jīng)取得了較好效果，但受到塊效應(yīng)影響，非局部去噪算法極易帶來(lái)紋理，感官視覺會(huì)出現(xiàn)不適?；诤朔稊?shù)最小化的去噪方法可以很好地使用矩陣低秩特性解決此問(wèn)題，但文獻(xiàn)［12］提出的基于核范數(shù)最小化噪算法并未利用矩陣的非局部信息，由此可知若在利用核范數(shù)最小化進(jìn)行噪聲控制的過(guò)程中，增加圖像的非局部先驗(yàn)信息，將有效改善去噪后的感官效果。因此，本文將聲納噪聲矩陣的非局部先驗(yàn)信息用到基于核范數(shù)最小化的去噪算法模型中，得到了非局部先驗(yàn)性的核范數(shù)最小化噪聲抑制算法。該算法不僅能夠利用核范數(shù)最小化去噪優(yōu)勢(shì)，還借助了非局部去噪算法的優(yōu)勢(shì)，為解決聲納圖像去噪提供了一種全新的理論思路。

2 基礎(chǔ)理論

2.1 加權(quán)核范數(shù)最小化概念

一般地，將帶有噪聲的聲納圖像去噪模型簡(jiǎn)化表示為：

式中，x代表清晰的圖像，y代表帶噪圖像，n表示高斯噪聲，其噪聲方差為σn。下面介紹文獻(xiàn)［12］提出的選用WNNM 的圖像噪聲抑制算法。由自然圖像的統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)可得，x具有低秩性［13］。因此，可以利用WNNM 模型進(jìn)行噪聲去除，即去噪問(wèn)題變換為求得優(yōu)化問(wèn)題：

2.2 非局部去噪

對(duì)含噪聲圖像序列v(i)={v(i),i∈y}（其中y表示含噪圖像）中的某個(gè)像素點(diǎn)k，約定Nk代表以k為中心的矩形鄰域（一般設(shè)長(zhǎng)寬大小一致為M），那么圖像y中的像素點(diǎn)i和像素點(diǎn)j的相似權(quán)重可以利用式（6）計(jì)算［18］：

z(i)表示權(quán)值的歸一化系數(shù)，而h表示圖像平滑度參變量。h通過(guò)變換指函數(shù)的衰減來(lái)制約權(quán)值的大小，同時(shí)控制平滑噪聲的程度。如果h相對(duì)較小，冪函數(shù)的衰減效果會(huì)比較明顯，其細(xì)節(jié)保留程度會(huì)較高，也會(huì)保留圖像自帶的紋理細(xì)節(jié)等信息。由于像素i、像素j相似度依賴矩形鄰域v(Ni)和v(Nj)的相似程度，因此權(quán)重越大矩形鄰域相似度越高。同時(shí)，權(quán)值α(i,j)還滿足以下條件［15］：

雖然非局部去噪算法已經(jīng)可以非常好地應(yīng)用在噪聲抑制過(guò)程中，而且能夠取得良好的運(yùn)算效果，但受到分塊方式和塊之間匹配的影響，基于分塊的非局部去噪算法容易帶來(lái)人造紋理，進(jìn)而帶來(lái)感官上的不適。對(duì)于自然物體所成的聲納圖像和超聲圖像，視覺誤差一般會(huì)被人眼忽視。但是，對(duì)于經(jīng)過(guò)多種傳感器獲取的融合后的圖像和人造圖像而言，這種視覺誤差不容小覷。而加權(quán)核范數(shù)的去噪算法可以采用矩陣的低秩信息解決這個(gè)問(wèn)題，因此本文結(jié)合兩種算法進(jìn)行聲納圖像去噪。

3 結(jié)合非局部先驗(yàn)的加權(quán)核范數(shù)最小化去噪算法

式中，xNL表示去噪后的結(jié)果，Ω 代表非局部去噪搜索窗，α(i,j)表示雙相似像素權(quán)值。權(quán)值α(i,j)與兩個(gè)像素的位置和相似函數(shù)的定義相關(guān)，可根據(jù)具體的使用場(chǎng)景設(shè)計(jì)。如果要把非局部先驗(yàn)知識(shí)增加到加權(quán)核范數(shù)最小化去噪算法中，那么最簡(jiǎn)易的方式是將式（9）作為模型（2）的限制條件，然后針對(duì)模型進(jìn)行求解，可表示為：

為便于求解，利用拉格朗日乘子法把式（10）轉(zhuǎn)換為式（11）進(jìn)行求解。

式中，γ為一個(gè)常數(shù)因子，可根據(jù)實(shí)際情況確定。

從無(wú)約束的最優(yōu)化可求解條件來(lái)說(shuō)，式（11）可利用KKT 條件進(jìn)行求解。

用交替迭代的計(jì)算方式求得之前所述的算法模型，式（11）有λ和x兩個(gè)未知變量，因此在求解上述結(jié)果時(shí)可以固定某個(gè)值，而求解另一個(gè)值的方法得出最終的運(yùn)算結(jié)果。以上所述的算法就是交替迭代求解算法的基本過(guò)程。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文算法針對(duì)聲納圖像的適用性，對(duì)如圖1 所示的fish 和蛙人聲納圖像其進(jìn)行噪聲去除試驗(yàn)。

去噪算法分別為文獻(xiàn)［2］提出的中值濾波和圖像形態(tài)學(xué)的聲納去噪算法（MED）、文獻(xiàn)［6］提出的基于Contourlet 的HMT 模型聲納圖像去噪算法（CT-HMT）、文獻(xiàn)［7］提出的基于改進(jìn)的小波變換的聲納圖像去噪算法（MWT）、文獻(xiàn)［8］提出基于Curvelet 的水下聲納圖像去噪算法（CURT）、文獻(xiàn)［9］提出的基于FRIT 循環(huán)抽樣聲納圖像去噪算法（FRIT）和文中提出的融合非局部先驗(yàn)與WNNM的去噪算法（NL-WNNM）。圖2 和圖3 給出了Matlab 試驗(yàn)結(jié)果。

從圖2 對(duì)fish 聲納圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以明顯看出：圖2（a）中MED 去噪后的圖像仍然包含有諸多噪聲；圖2（b）中CT-HMT 去噪后的目標(biāo)邊緣有模糊現(xiàn)象；圖2（c）中的MWT 去噪算法雖在去噪結(jié)果上有明顯效果，但是圖像處理結(jié)果損失了很多細(xì)節(jié)；圖2（e）中的CURT 噪聲控制算法雖然有效處理了圖像中目標(biāo)邊緣模糊的現(xiàn)象，但是對(duì)聲圖噪聲抑制的效果不理想；圖2（e）中FRIT 噪聲去除算法雖對(duì)噪聲有很好的去除作用，也比較完整地保留了圖像的邊緣信息，但是圖上顯示還留存一些微弱雜噪聲；圖2（f）的NL-WNNM 算法具有更好的感官效果，充分說(shuō)明了所提算法的優(yōu)勢(shì)。

圖3 給出對(duì)針對(duì)蛙人聲納圖像利用上述去噪算法后的顯示圖。該生成圖中各個(gè)算法的處理效果與對(duì)fish 聲納圖的去噪的表現(xiàn)十分相似，顯然所提算法的去噪效果相對(duì)最好。

為了更好地展示所提的算法優(yōu)勢(shì)，選取4 種典型客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)證明NL-SR 算法的實(shí)際能力優(yōu)勢(shì)。這4 個(gè)典型客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)分別為邊緣保持指數(shù)（Edge Preservation Index，EPI）［13］和峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）［5］。其中：PSNR 的值越大，表明算法的去噪能力越好；SSIM越大，表征算法的邊緣保持能力越好。表1 給出了對(duì)含有不同噪聲的含噪聲納圖像進(jìn)行去噪后每種算法的客觀評(píng)價(jià)數(shù)值。

表1 不同去噪方法的客觀評(píng)價(jià)

從表1 的客觀指標(biāo)可以顯示，相比其他噪聲控制方法，非局部先驗(yàn)性能夠更好地保留圖像的結(jié)構(gòu)性信息，使NL-WNNM 的SSIM 比其他去噪算法性能更優(yōu)，而基于加權(quán)核范數(shù)最小化的噪聲抑制則能更好地抑制噪聲，是NL-WNNM 算法的PSNR 比其他去噪算法更高的根本原因。由表1 可以得出，結(jié)合兩種算法的計(jì)算方式取得了良好效果，說(shuō)明采用兩者結(jié)合的算法進(jìn)行相干噪聲抑制是正確的選擇。綜上所述，本文提出的算法不僅在相干噪聲抑制方面具有優(yōu)勢(shì)，而且經(jīng)過(guò)該算法去噪后的感官效果較好，具有很好的輪廓信息保持力，在保留聲納紋理上存在優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)語(yǔ)

為了解決由加權(quán)核范數(shù)最小化去噪帶來(lái)的紋理細(xì)節(jié)丟失、邊界模糊等相關(guān)問(wèn)題，控制由于塊操作非局部去噪算法帶來(lái)的紋理問(wèn)題，將非局部先驗(yàn)性當(dāng)做限制性條件融入基于加權(quán)核范數(shù)最小化的去噪模型，以充分利用兩種算法的優(yōu)勢(shì)，將聲納圖像去噪變?yōu)橐粋€(gè)求解最優(yōu)化的問(wèn)題。通過(guò)比對(duì)多種算法的噪聲抑制效果，結(jié)合主客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)，表明所提算法具有良好的噪聲抑制效果。