四階線性常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

賈武艷，張文麗

(長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011)

0 引言

近年來(lái)，常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題在數(shù)學(xué)、物理、天文、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用，并取得了豐富的成果，本文主要研究如下邊值問(wèn)題正解的存在性：

(1)

其中f∈C([0，1]×R+，R+).

1 預(yù)備知識(shí)[1]

定義1設(shè)E是Banach 空間，P為E中的非空閉凸集.如果P滿足

(Ⅰ)任給x，y∈P，α≥0，β≥0，有αx+βy∈P；

(Ⅱ)若x∈P，x≠θ，則-x?P，

則稱P為E的錐.

給定E中一個(gè)錐P后，則可在E中的元素間引入半序：x≤y，(x，y∈E)，如果y-x∈P.

(H1)‖Ax‖≤‖x‖，x∈P∩?R1；‖Ax‖≥‖x‖，x∈P∩?R2(即范數(shù)錐拉伸)；

(H2)‖Ax‖≤‖x‖，x∈P∩?R2；‖Ax‖≥‖x‖，x∈P∩?R1(即范數(shù)錐壓縮).

2 準(zhǔn)備工作[2-3]

令u″=v，上述邊值問(wèn)題(1)變?yōu)橄率鐾獬Ｎ⒎址匠探M邊值問(wèn)題

(2)

在E上的不動(dòng)點(diǎn)，其中

引理2令P={u∈C[0，1]，u(x)≥0}?E，則P是E中的一個(gè)錐.

證明 根據(jù)定義可知，θ∈P≠?；

?u，v∈P，0≤λ≤1，則u，v∈C[0，1]，u(x)≥0，v(x)≥0，從而可知，

λu+(1-λ)v∈C[0，1]，λu(x)+(1-λ)v(x)≥0

3 結(jié)果計(jì)算

定理2若邊值問(wèn)題(1)滿足下列條件：

1)f是[0，1]×R+連續(xù)的；

取R1={u∈E，‖u‖

取R2={u∈E，‖u‖≤R}，則‖Au‖≥‖u‖，u∈P0∩?R2；