[摘要]邊坡在地球上是一種很常見(jiàn)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象存在一定的不穩(wěn)定性，它的不穩(wěn)定性會(huì)對(duì)工程建設(shè)帶來(lái)不小的災(zāi)害。邊坡可靠度分析在路橋工程、工民建工程、市政工程等工程中常常遇到的一個(gè)很重要的問(wèn)題。影響邊坡穩(wěn)定性的因素就是具有隨機(jī)性的問(wèn)題，用協(xié)方差分解法來(lái)對(duì)隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行分析，可以弄清楚研究對(duì)象的各個(gè)影響因素之間相互作用對(duì)研究對(duì)象的影響。

[關(guān)鍵詞]邊坡穩(wěn)定性;蒙特卡洛方法;協(xié)方差分解法

[中圖分類(lèi)號(hào)]TU43

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]B

1緒論

1.1問(wèn)題的提出

隨著現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展，建筑工程技術(shù)越來(lái)越成熟，人類(lèi)對(duì)于土地的使用要也越來(lái)越高。在路橋工程，工民建工程，水利水電等工程中，邊坡所帶來(lái)的災(zāi)害也屢見(jiàn)不鮮。因此邊坡穩(wěn)定性的分析也越來(lái)越重要，但是傳統(tǒng)的分析方法并不適用，所以我們需要探索更精確、更科學(xué)的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)和模型仿真分析。

1.2邊坡穩(wěn)定性分析的方法

最初最常用的方法就是安全系數(shù)法，這種方法是將許多不確定的因素概括成為一個(gè)確定的安全系數(shù)，用這種安全系數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)表示出邊坡的穩(wěn)定性。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究又出現(xiàn)了Fellenius法、Bishop法、Morgenstem-Price法等更高級(jí)的方法。但是這些方法卻不能把握住土的隨機(jī)性，只是單純的把土看作—個(gè)統(tǒng)一的整體來(lái)進(jìn)行研究，把土的材質(zhì)均勻處理化。但是通過(guò)實(shí)際的研究發(fā)現(xiàn)，土的不穩(wěn)定因素呈現(xiàn)出隨機(jī)性，這使得蒙特卡洛方法在邊坡穩(wěn)定性研究中取得了重要的作用。蒙特卡洛方法是針對(duì)隨機(jī)性問(wèn)題的方法，它可以描述和模擬整個(gè)概率過(guò)程，通過(guò)研究概率數(shù)學(xué)模型，可以更好的研究邊坡的不穩(wěn)定性因素。

1.3研究的意義

土質(zhì)的參數(shù)存在很大的隨機(jī)性、多變性、復(fù)雜性。安全系數(shù)研究法不能準(zhǔn)確的描述出邊坡的可靠程度，所以需要研究能對(duì)隨機(jī)數(shù)據(jù)能進(jìn)行更好分析的方法。

中國(guó)是一個(gè)邊坡災(zāi)害發(fā)生大國(guó)，每年都會(huì)有大大小小的各種滑坡事件發(fā)生。這些災(zāi)害對(duì)人們的生命和財(cái)產(chǎn)都帶來(lái)了巨大的損害，對(duì)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)損害也是巨大的。隨著國(guó)力的發(fā)展，中國(guó)也開(kāi)始建設(shè)更多大型工程，例如：三峽工程、南水北調(diào)工程等水利水電工程，還有山體鐵路隧道公路等工程，這些工程使得我們對(duì)邊坡可靠度的研究必須做到更準(zhǔn)確更透徹。

2正態(tài)分布隨機(jī)場(chǎng)與MATLAB

2.1蒙特卡羅方法

蒙特卡洛方法是針對(duì)具有隨機(jī)性的問(wèn)題的一種方法，這個(gè)方法可以描述和模擬整個(gè)概率過(guò)程。在這個(gè)建模中我們所構(gòu)建的邊坡各項(xiàng)指標(biāo)是隨機(jī)分布的，所以在這里要用到蒙特卡羅方法。首先我們需要建立一個(gè)概率模型，這個(gè)模型可以看作是由不同的概率分布構(gòu)成的。實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法必須要有已知概率的隨機(jī)變量。而這個(gè)隨機(jī)變量我們就可以借助MATLAB來(lái)實(shí)現(xiàn)。在我們這次仿真中，蒙特卡羅方法的具體應(yīng)用是先生成隨機(jī)變量的樣本，再利用可靠度分析中提到的功能函數(shù)來(lái)統(tǒng)計(jì)失效樣本的數(shù)量并估計(jì)出失效概率。因?yàn)檩斎氲膮?shù)是由MATLAB生成的隨機(jī)數(shù)，所以得到的失效概率也是一個(gè)隨機(jī)變量所以必須通過(guò)反復(fù)的運(yùn)算才能得到安全系數(shù)的樣本。計(jì)算失效概率的公式如下：p？=l/n，L是通過(guò)功能函數(shù)所得到的不符合極限要求樣本的次數(shù)，n是運(yùn)算的總次數(shù)。

2.2 MATLAB的應(yīng)用

首先輸入代碼：

clc;clear all;

pf=0.

f=randu（100）

for i=1：10000

if f（i>=0.

pf=pf+1

end

t=pf/10000：

這條命令將隨機(jī)生成10000個(gè)隨機(jī)數(shù)。

子函數(shù)代碼：

Function main

F=randndn（100）

Sdfety=0

For i=l：10000

Safety=panbie（f，I， safRety）

End

Pf= failure /10000

function failUrte=panbie（f，I. safety）.

if i >0.

safety=safety+1.

end

這條命令是將邊坡可靠度的判別分為了兩個(gè)函數(shù)，第二個(gè)為子函數(shù)。

2.3 MATLAB數(shù)據(jù)的輸入與輸出

在MATLAB的使用過(guò)程中我們要將10000個(gè)隨機(jī)數(shù)從MATLAB中導(dǎo)出成為一個(gè)dat文件。.也需要將電腦中的dat文件再導(dǎo)入到MATLAB中。所以我們需要用到輸入和輸出語(yǔ)句。下面分別是輸入和輸出的例子。

輸入：

clear

clc

fid_c =fopen（cohesion.dat，w）;

fid._phi=fopen（phi. dat，w）;

mu=[13.8，37];cv=[.2，.2]：

% mu=[1.40];cv=[.1，.1];

sigma=mu.*cv

j=10000.

c=normrnd（mu（1），sigma（1），i，1）：

phi=normrnd（mu（2），sigma（2），i，1）

fprintf（fid_c，%f＼n，c）：

fprintf（fid_phi，%f＼n，phi）：

fclose（fid_c）

fclose（fid_phi）;

這樣子就生成了cohesion和phi兩個(gè)文本文檔。成功的將MATLAB生成的數(shù)據(jù)變成兩個(gè)文本文檔。生成這兩個(gè)文本文檔是為了便于后面的應(yīng)用。

輸出：

clear all：

clc

% fid_c=fopen（cohesion.dat，r）：

% fid_phi=fopen（phi. dat，r）：

c1=csvread（D：＼MATLAB7＼bp680＼cohesion1.dat）：

c2=csvread（D：＼MATLAB7＼bp680＼cohesion2.dat）：

phi2=csvread（D：＼MATLAB7＼bp680＼phi2.dat）：

fos=csvread（D：＼MATLAB7＼bp680＼pos680.dat）：

% fclose（fid_c）：

% fclose（fid_phi）

這條命令可以直接將上面剛剛保存的兩個(gè)文檔直接替換到MATLAB中來(lái)Fid是指定要寫(xiě)入的數(shù)據(jù)文件cohesion和phi是文件名r是用只讀方式打開(kāi)。

3隨機(jī)場(chǎng)理論與FLAC建模及應(yīng)用

3.1隨機(jī)場(chǎng)理論

我們的研究中只考慮到土的cohesion和phi性質(zhì)，所以在這里用隨機(jī)場(chǎng)來(lái)模擬土的性質(zhì)是符合現(xiàn)實(shí)情況的。

協(xié)方差函數(shù)是隨機(jī)場(chǎng)的數(shù)字特征，本次主要研究的就是協(xié)方差法在邊坡可靠度仿真中的作用。

土性指標(biāo)一般是由試樣的測(cè)值來(lái)反映的。土的空間平均性質(zhì)有兩層意義：一是土性參數(shù)是個(gè)隨機(jī)變量，而且是一個(gè)空間內(nèi)的隨機(jī)變量，隨位置的變化而變化;二是土的極限狀態(tài)取決于土性在空間中的分布情況。

我們可以將士的性質(zhì)視為依賴(lài)于土體并且隨不同位置而變化的隨機(jī)變量，是在空間上分布的隨機(jī)場(chǎng)。所以我們要弄清楚隨機(jī)場(chǎng)的性質(zhì)，這樣我們就可以把邊坡的可靠度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)隨機(jī)變量的問(wèn)題。

在本文中我們將用半變異函數(shù)理論。半變異函數(shù)理論被廣泛的用于礦體的品位及儲(chǔ)量的估計(jì)。具體理論如下：

將單位空間∞中的土的性質(zhì)參數(shù)看作具有一定關(guān)聯(lián)的變量。將土體中某一點(diǎn)t的參數(shù)隨機(jī)變量設(shè)為X（t），那么x（t）與x（t+τ）的相關(guān)特陛可以表示為下式：

r（τ）=1/2var[X（t）-X（t+τ）]=1/2E{X（t）-X（t+τ）]2}

其估計(jì)量為：r*（τ）=1/2N（τ）ΣN（τ） i=1 [X（ti）-X（ti+τ）]2

N（τ）為以向量τ相隔的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)x（t）與x（t+τ）的數(shù)目。

變異函數(shù)有很多種模型，我們所用到的有指數(shù)模型和高斯模型，其表達(dá)式為：

指數(shù)模型：r（h）=1-exp（-ah）

高斯模型：r（h）=1-exp（-a2h2）

式子中，Co為塊金值;C為基臺(tái)值;a為相關(guān)距離。

在后面的MATLABCUIDE設(shè)計(jì)中我們將要用到這個(gè)隨機(jī)場(chǎng)理論，并且用這個(gè)理論進(jìn)行模擬和建模。

3.2協(xié)方差函數(shù)

設(shè)隨機(jī)場(chǎng)[y（z）]的二維聯(lián)合函數(shù)為Fz1z2（x1x2），則對(duì)任意z1，z2∈Z，隨機(jī)場(chǎng)[y（z）]的協(xié)方差函數(shù)定義為：

CYY（z1z2）=E{[y（z1）-E{y（z1）}][y（z1）-E{y（z2）}]}

=[x1-Ey（z1）}][x2-E{y（z1}]dFz1z2（x1，x2）

協(xié)方差函數(shù)CYY（z1，z1）實(shí)質(zhì)上是y（z1）和y（z2）的二階混合中心距。它是參數(shù)z1、z2的二元函數(shù)。小標(biāo)的作用是表示其是隨機(jī)場(chǎng)[y（z）]的協(xié)方差函數(shù)。記為CY（z1，z2）。

在研究中使用的協(xié)方差分解法：先直接生成一個(gè)隨機(jī)場(chǎng)。如果隨機(jī)場(chǎng)z（t）被劃分為n個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，那么協(xié)方差矩陣Cn×n就由Ci，j=C（ti，tj）元素組成（i=1，2，…，n

j=1，2，…，n）。因此，平穩(wěn)高斯隨機(jī)場(chǎng)可以表示為下式：

Cn×n=Ln×nLn×n T Gn×1=Ln×nWn×1

LLT是協(xié)方差矩陣C中的喬里斯基分解矩陣，W是一個(gè)獨(dú)立的向量，是分布在N（0，1）里的隨機(jī)數(shù)，Gn×1是構(gòu)成離散化高斯平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)的隨機(jī)變量gi，i=1，2，…，n的向量。

3.3 FLAC建模

首先我們用FLAC建立一個(gè)邊坡的模型例如圖1所示。

我們需要建立一個(gè)與之類(lèi)似的模型，并且將cohesion和phi這兩個(gè)變量隨機(jī)分布到這個(gè)邊坡中，使整個(gè)邊坡的結(jié)構(gòu)變得隨機(jī)化，從而便于計(jì)算邊坡的可靠度。

3.4邊坡可靠度算例

我們這里采用如下的邊坡算例來(lái)說(shuō)明前面方法的有效性。在算例中邊坡的幾何尺寸如圖2所示，邊坡的有限元模型剖分為910個(gè)單元，如圖3所示。邊坡的容重為20kN/m3，泊松比為0.3。彈模為1.0?105kN/m2。土的摩擦角和膨脹角均取0。假定粘聚力cn為平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)，其統(tǒng)計(jì)特征為均值5kN/m2，變異系數(shù)為0.5，相關(guān)長(zhǎng)度為1m的指數(shù)型相關(guān)函數(shù)。圖4給出了粘聚力隨機(jī)場(chǎng)的第一次歷經(jīng)。圖5給出了第一次歷經(jīng)所對(duì)應(yīng)的邊坡失效形式。此時(shí)邊坡安全系數(shù)為0.83。彈塑性變形產(chǎn)生了貫通的剪切面。

4結(jié)論

由于邊坡次生災(zāi)害頻發(fā)，邊坡可靠度也成了一個(gè)在國(guó)際上關(guān)注度很高的重大問(wèn)題，對(duì)于邊坡防治的工程朝著更加準(zhǔn)確更加實(shí)用更加便捷的方向在發(fā)展，特別是伴隨計(jì)算機(jī)的越加普及，讓邊坡穩(wěn)定性分析的方法發(fā)生了質(zhì)的變化，并且走向了一個(gè)新的方向。我們所研究的就是利用MATLAB和FLAC編程來(lái)進(jìn)行邊坡可靠度模型仿真，利用計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大處理能力進(jìn)行高達(dá)上萬(wàn)次的模擬和計(jì)算，得出一個(gè)準(zhǔn)確的可靠度數(shù)據(jù)。

這個(gè)方法的基本理論支持是蒙特卡洛方法，通過(guò)對(duì)隨機(jī)場(chǎng)的模擬和演算，我們可以模擬出最符合實(shí)際情況的土性質(zhì)參數(shù)。

這個(gè)方法比傳統(tǒng)的安全系數(shù)法更加準(zhǔn)確，操作起來(lái)更加方便，演算過(guò)程由計(jì)算機(jī)控制，大大減少了計(jì)算的工程量。數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，大大的提高了準(zhǔn)確度。

這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)很明顯：一是數(shù)據(jù)更具有隨機(jī)性，更加符合實(shí)際;二是計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單;三是由FLAC生成的仿真模型更加直觀。四是操作方便，工程量小。

目前此方法還沒(méi)有得到普及，但是隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用的越發(fā)成熟，以及我們對(duì)邊坡研究的越發(fā)深刻，基于協(xié)方差分解法的邊坡可靠度仿真將得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。

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[收稿日期]2020-08-31

[作者簡(jiǎn)介]王冠（1993-），男，湖北武漢人，助理工程師，研究方向：建筑工程預(yù)決算。