王 佳

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福建 福州 350108)

0 引言

有鑒于此，本研究對網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)濾波問題進(jìn)行分析，考慮網(wǎng)絡(luò)延時(shí)和丟包對濾波問題的影響，建立濾波誤差隨機(jī)系統(tǒng)模型，提出誤差系統(tǒng)穩(wěn)定及滿足性能的條件，給出濾波器的設(shè)計(jì)方法.

1 問題描述

考慮如下的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)模型

(1)

其中:m(t)=[m1(t)，m2(t)，…，mn(t)]，p(t)=[p1(t)，p2(t)，…，pn(t)]，A=diag(a1，a2，…，an)，C=diag(c1，c2，…，cn)，D=diag(d1，d2，…，dn)，EM=[eM1，eM2，…，eMn]T，EP=[eP1，eP2，…，ePn]T，l=[l1，l2，…，ln]T，g(t)=[g1(t)，g2(t)，…，gn(t)]T. 這里，mi(t)和pi(t)代表在t時(shí)刻基因mRNA及其蛋白濃度；ai和ci分別是mRNA和蛋白質(zhì)的降解率；di表示翻譯率；gj(·)是一個(gè)非線性函數(shù)；B是遺傳網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣，定義為：如果轉(zhuǎn)錄因子j是基因i的激活因子，則bij=aij，如果j和i之間不存在連接，則bij=0； 如果轉(zhuǎn)錄因子j是基因i的抑制因子，則bij=-aij，其中aij表示轉(zhuǎn)錄因子j對基因i的轉(zhuǎn)錄率;li是一個(gè)基本速率；v(t)代表外部干擾；eMi(t)和ePi(t)分別表示mRNA和蛋白質(zhì)的外部干擾. 將系統(tǒng)平衡點(diǎn)移動(dòng)到原點(diǎn)，考慮基因調(diào)節(jié)過程中內(nèi)外擾動(dòng)，則基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)模型可以轉(zhuǎn)化為下式：

(2)

(3)

2 模型建立

本研究的目的是設(shè)計(jì)濾波器，基于測量信號去估計(jì)實(shí)際的mRNA和蛋白質(zhì)的狀態(tài). 圖1中，濾波器和基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)處于不同的地理位置，通過通信網(wǎng)絡(luò)傳輸信號. 在這種情況下，濾波器的輸入不再等于系統(tǒng)的測量輸出，所以現(xiàn)有的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的濾波理論不再適用.

圖1 基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的H∞濾波框架Fig.1 The diagram of H∞ filtering for a GRN

如圖1所示，測量信號y(t)首先在離散時(shí)刻sh進(jìn)行采樣，其中h>0是采樣周期. 由于網(wǎng)絡(luò)帶寬有限及擁塞等因素，采樣的數(shù)據(jù)包傳輸給濾波器的時(shí)候不可避免存在傳輸延遲ts，并滿足tm≤ts≤tM，其中tm和tM分別是時(shí)滯的上下界. 在該傳輸機(jī)制中，不可避免地出現(xiàn)數(shù)據(jù)包的丟失，y(tkh)表示成功傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包，起對應(yīng)的傳輸時(shí)滯為τtk. 零階保持器被用來維持?jǐn)?shù)據(jù)包的傳輸秩序，tkh+τtk

(4)

國內(nèi)也有一些研究：劉誠等（2012）從老鄉(xiāng)、校友、共同工作經(jīng)歷衡量獨(dú)立董事和 CEO 的社會關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系與董事會的獨(dú)立性正相關(guān)；陸瑤等（2016）重點(diǎn)考察了獨(dú)立董事與CEO之間的老鄉(xiāng)關(guān)系對公司違規(guī)的影響；李維安等（2017）從董事會成員與CEO之間的老鄉(xiāng)、工作、校友關(guān)系、年齡和性別相似度度量董事會的社會獨(dú)立性，發(fā)現(xiàn)董事會社會獨(dú)立性越高，違規(guī)公司的CEO越容易發(fā)生變更。

設(shè)計(jì)如下形式的全階濾波器：

(5)

其中:Af，Bf，Cf為需求解的濾波器系數(shù)矩陣. 定義增廣變量為：ξ(t)=col{x(t)，xf(t)}，e(t)=z(t)-zf(t). 根據(jù)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)(3)和式(5)得到濾波誤差系統(tǒng)為：

(6)

本研究的設(shè)計(jì)目標(biāo)是針對基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)(3)來設(shè)計(jì)濾波器(5)，使得在數(shù)據(jù)丟包和網(wǎng)絡(luò)延遲的情況下，濾波誤差系統(tǒng)(6)滿足如下性能：1)當(dāng)無外界干擾v(t)=0時(shí)，誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定； 2)在零初始條件下，滿足H∞性能指標(biāo)，即eT(t)e(t)<γ2vT(t)v(t).

3 主要結(jié)果

基于Lyapunob-Krasovskii泛函方法，并由文獻(xiàn)[11]中的引理1～2，濾波誤差系統(tǒng)滿足漸進(jìn)穩(wěn)定和H∞性能指標(biāo)的條件. 首先，選取的Lyapunob-Krasovskii函數(shù)為：

基于定理1，如下定理給出濾波誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的濾波器的設(shè)計(jì)方法.

4 仿真示例

本研究的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)具有如下參數(shù)：

圖2～3分別繪制了在設(shè)計(jì)的H∞濾波器下，實(shí)際的mRNA、 蛋白質(zhì)濃度軌跡及其對應(yīng)的估計(jì)值. 由圖2～3可知，基于所設(shè)計(jì)的濾波器，輸出函數(shù)可以很好地估計(jì)mRNA和蛋白質(zhì)的濃度. 圖4給出了誤差精度的變化曲線. 上述結(jié)果顯示，本研究所設(shè)計(jì)的濾波器可以有效估計(jì)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的輸出狀態(tài).

圖2 mRNA濃度及其估計(jì)值Fig.2 mRNA conc. and estimates

圖3 蛋白質(zhì)濃度及其估計(jì)值Fig.3 Protein conc. and estimates

圖4 H∞濾波器下的誤差精度Fig.4 Estimation under the H∞ filter

5 結(jié)語

本研究分析了網(wǎng)絡(luò)丟包和數(shù)據(jù)傳輸延時(shí)影響下，基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的H∞濾波問題. 首先建立了網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的濾波系統(tǒng)模型. 基于這種模型，給出了濾波誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定并滿足H∞性能指標(biāo)的充分條件及濾波器的設(shè)計(jì)方法. 仿真示例驗(yàn)證了該方法的可行性.