韓麗 徐圣斯 樸京鈺

摘? 要： 面向海量復(fù)雜的非剛性三維模型的匹配與檢索需求，提出了基于譜變換的局部匹配方法，有效提高了局部檢索的性能，為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)三維模型的形狀編輯、修補(bǔ)以及創(chuàng)新合成奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。首先，基于離散拉普拉斯映射方法，通過ICP配準(zhǔn)方法有效分析二維譜圖，提取最優(yōu)的譜特征表示;其次，構(gòu)建譜特征的形狀描述算子，計(jì)算譜空間的幾何變換參數(shù);進(jìn)而，引入?yún)^(qū)域查詢實(shí)現(xiàn)基于譜變換的區(qū)域配準(zhǔn);最終，通過區(qū)域搜索與相似性度量實(shí)現(xiàn)高效的非剛性模型局部匹配。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本方法不僅能夠有效識(shí)別同一類非剛性模型的局部結(jié)構(gòu)，而且對(duì)于不完整的模型匹配具有較強(qiáng)的魯棒性，具有更優(yōu)的局部檢索性能。

關(guān)鍵詞： 譜變換;局部匹配;非剛性模型;區(qū)域配準(zhǔn)

中圖分類號(hào)： TP391.41? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.10.006

本文著錄格式：韓麗，徐圣斯，樸京鈺. 基于譜變換的非剛性模型局部匹配[J]. 軟件，2020，41（10）：2226

【Abstract】： Aiming at the requirements of shape matching and shape retrieval of massive non-rigid 3D shapes， a novel partial matching method based on spectral transformation was proposed， it effectively improved the performance of shape retrieval and provided a solid foundation for further shape editing， mending and innovative synthesis of 3D models. First， the optimal two-dimensional spectral feature representation of non-rigid 3D shape is extracted based on the spectrum theory. Secondly， we construct shape context description of the spectral features and calculate the geometric transformation parameters of two spectral graphs; Furthermore， a region query is introduced to implement local region registration based on spectral transformation; Finally， partial matching of non-rigid shapes is achieved through local region searching and similarity estimation. Experimental results show that our method not only effectively improves the efficiency of model matching， but also can effectively identify the structural features of the same type of shape， and at the same time has strong robustness for matching between incomplete shapes.

【Key words】： Spectral transformation; Partial matching; Non-rigid shape; Region registration

0? 引言

隨著三維模型獲取以及建模技術(shù)的發(fā)展，針對(duì)海量、異構(gòu)三維模型的形狀分析、配準(zhǔn)、檢索等應(yīng)用研究日益廣泛。尤其，三維模型的局部匹配與檢索在實(shí)現(xiàn)快速的大規(guī)模場(chǎng)景重構(gòu)[1]、三維模型恢復(fù)、三維創(chuàng)新設(shè)計(jì)[2]等應(yīng)用中具有重要意義[3]。

Paul J. Besl等[4]最先提出了迭代最近點(diǎn)算法（ICP），估計(jì)匹配最近點(diǎn)的最優(yōu)剛性變換，實(shí)現(xiàn)不同三維形狀之間的配準(zhǔn)，對(duì)三維點(diǎn)集、線段集和網(wǎng)絡(luò)實(shí)體模型均適用，但時(shí)間復(fù)雜度較高，且不能達(dá)到全局最優(yōu)解。Ferreira等[5]利用層次分割樹將網(wǎng)格模型迭代地分為子部件，然后再進(jìn)行相似性匹配。Wessel等[6]提出用圖元（圓柱、圓環(huán)、球等）對(duì)模型局部做匹配。這類基于子部件的局部匹配方法需要解決模型部件分割問題，由于要設(shè)置多個(gè)閾值而失去健壯性。Stephen等[7-8]提出了利用模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的檢索方法，但拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提取算法一般對(duì)噪聲敏感，所以難以獲得穩(wěn)定的部件分割結(jié)果。

Funkhouser等和Shilane等[9-10]提出了優(yōu)先隊(duì)列比較法。該方法在模型上生成大量采樣點(diǎn)，然后提取采樣點(diǎn)周圍的形狀特征，構(gòu)建一個(gè)優(yōu)先級(jí)隊(duì)列以選取形狀區(qū)別力強(qiáng)的向量來計(jì)算相似度。其方法雖不需要對(duì)模型做部件分割，但是特征提取和區(qū)分度排序的計(jì)算量較大，因此該方法也難以應(yīng)用于檢索結(jié)構(gòu)復(fù)雜的非剛性模型。

近年來，譜分析的方法被廣泛應(yīng)用于非剛性三維模型的檢索與匹配。其利用拉普拉斯算子將三維模型映射到譜特征空間，揭示了模型的內(nèi)蘊(yùn)屬性，能夠有效提高非剛性模型的匹配精度。例如，Lipman等[11]基于譜方法實(shí)現(xiàn)全局內(nèi)蘊(yùn)的檢測(cè);Sahillioglu等[12]在譜域構(gòu)造初始化匹配，并采用貪婪算法結(jié)合等距性優(yōu)化匹配結(jié)果;Sun等[13]基于模型表面熱擴(kuò)散方程提出了熱核特征（HKS：Heat Kernel Signature）表示及形狀分析方法;Aubry等[14]將波動(dòng)方程引入模型，提出波核特征（WKS：Wave Kernel Signature）的形狀分析方法。

然而，目前的譜分析方法主要基于構(gòu)建的局部描述符或全局點(diǎn)特征表示實(shí)現(xiàn)整體形狀分析與檢索，對(duì)于局部匹配的研究還不是十分廣泛。

本文提出了一種基于譜變換的非剛性三維模型局部匹配算法。我們通過將非剛性三維模型映射到譜特征空間，提取穩(wěn)定的二維譜特征表示;基于譜空間變換來實(shí)現(xiàn)模型的譜圖配準(zhǔn)。進(jìn)而，引入?yún)^(qū)域查詢與相似性度量，實(shí)現(xiàn)基于譜變換的局部區(qū)域匹配。該算法無需對(duì)模型進(jìn)行分割，避免了三維模型中的大量點(diǎn)云計(jì)算，一系列實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的高效性與穩(wěn)定性。

1? 基于譜變換的局部匹配

本方法主要由三步驟組成：首先，通過拉普拉斯映射提取最優(yōu)的二維譜特征描述;其次，采用Shape-Context方法[15]，實(shí)現(xiàn)二維譜圖的局部輪廓匹配，并基于區(qū)域查詢點(diǎn)計(jì)算譜圖的幾何變換參數(shù)，建立局部區(qū)域的譜對(duì)應(yīng);最終，通過局部區(qū)域優(yōu)化實(shí)現(xiàn)非剛性模型的局部匹配。

1.1? 最優(yōu)二維譜特征表示

基于拉普拉斯映射的譜嵌入將高維數(shù)據(jù)嵌入到低維空間，有效保持模型的內(nèi)蘊(yùn)形狀特性（等距不變性、拓?fù)洳蛔冃裕?，不僅使計(jì)算更有效，而且對(duì)物體的姿態(tài)變化與局部形變不敏感，可有效用于非剛性模型的匹配與分類。

設(shè)無向帶權(quán)圖G=（V，E）表示網(wǎng)格模型M，其中，vi∈V代表模型頂點(diǎn)，eij∈E表示圖中任意頂點(diǎn)vi和vj的連接邊。頂點(diǎn)之間的相似性可由兩點(diǎn)之間的測(cè)地線距離表示W(wǎng)ij∈[0，1]：

模型的譜特征表示中，特征維數(shù)越高，其形狀描述能力越強(qiáng)，但同時(shí)也帶來了計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間的更大開銷。前k個(gè)特征基有效揭示了模型的內(nèi)蘊(yùn)結(jié)構(gòu)特征，被廣泛應(yīng)用于形狀匹配與檢索中[16]。然而，特征基分布存在扭曲、次序翻轉(zhuǎn)等若干問題，給形狀匹配帶來了極大的困難。本文進(jìn)一步提出了最優(yōu)二維譜嵌入表示方法，通過低維的譜空間變換，實(shí)現(xiàn)高效的非剛性模型局部形狀匹配。

我們提取模型的前k=4個(gè)特征向量，利用兩兩特征基構(gòu)建二維譜圖候選集;進(jìn)而，基于ICP（Iterative Closest Point）方法[4]進(jìn)行譜圖相似性分析，建立穩(wěn)定的二維譜特征表示。

其中，為兩個(gè)模型對(duì)應(yīng)的二維譜特征基，R 和t為旋轉(zhuǎn)、平移幾何變換，通過公式5，迭代最近距離點(diǎn)集，求解四元轉(zhuǎn)換矩陣R和t，最終，通過判斷閾值內(nèi)的匹配對(duì)數(shù)，有效獲取候選譜圖的形狀相似度。

圖1（a）為兩個(gè)不同姿態(tài)螞蟻模型的二維譜圖候選集（1-2、1-3、1-4、2-3、2-4和3-4），通過ICP迭代匹配算法衡量譜圖之間的形狀相似性。如圖1（b）所示，其中，由2-3特征基構(gòu)建的二維譜圖的匹配精度最高（紅框內(nèi)所示）。通過實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析，我們發(fā)現(xiàn)由2-3特征基構(gòu)造的二維譜圖在非剛性變換模型中具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性。因此我們將其作為模型的最優(yōu)二維譜特征表示。

1.2? 基于譜變換的局部區(qū)域匹配方法

利用穩(wěn)定的二維譜特征表示，我們進(jìn)一步提出了基于譜變換的形狀匹配方法。通過建立譜圖的輪廓配準(zhǔn)與區(qū)域查詢，有效獲取譜空間的幾何變換參數(shù);進(jìn)而，基于區(qū)域幾何變換與相似性度量，實(shí)現(xiàn)高效的非剛性模型局部形狀匹配。

1.2.1? 局部譜圖輪廓配準(zhǔn)

首先，我們采用Alpha-Shape算法提取二維譜圖輪廓點(diǎn)集（如圖2（a，b）所示），依據(jù)形狀上下文（Shape-Context）算法[15]構(gòu)建譜圖之間的局部輪廓對(duì)應(yīng)，如圖2c，藍(lán)點(diǎn)是局部模型的譜圖輪廓點(diǎn)，紅點(diǎn)是完整模型譜圖輪廓點(diǎn)。

我們以輪廓點(diǎn)為中心建立同心圓，以圓心為中心按照，12個(gè)方向，將空間分為60個(gè)區(qū)域（60個(gè)bin）。根據(jù)輪廓點(diǎn)在bin中的分布，利用直方圖表示其上下文形狀信息。

設(shè)和分別為源模型與目標(biāo)模型的最優(yōu)二維譜圖上的輪廓點(diǎn)。采用代價(jià)矩陣 計(jì)算形狀相似度：

分別表示和歸一化后的形狀直方圖的第k級(jí)，k為形狀直方圖的量化等級(jí)。的值越小，說明兩點(diǎn)之間越相似;反之，兩者之間相差越大。通過公式6可獲得兩個(gè)譜圖上所有輪廓點(diǎn)的匹配點(diǎn)對(duì)。

1.2.2? 基于譜變換的區(qū)域配準(zhǔn)

為了有效獲得模型的區(qū)域匹配，我們?cè)诙S譜圖中引入?yún)^(qū)域查詢點(diǎn)，有效建立譜圖空間的幾何變換，并運(yùn)用均值聚類及譜變換高效實(shí)現(xiàn)譜圖局部區(qū)域的配準(zhǔn)。

首先，建立源模型譜圖的包圍盒（BoundingBox），均勻放置m×m個(gè)查詢點(diǎn)，確定輪廓內(nèi)有效查詢點(diǎn)集。進(jìn)而，為每個(gè)有效查詢點(diǎn)依據(jù)半徑r進(jìn)行鄰域搜索，提取該查詢點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的輪廓點(diǎn)集。其次，根據(jù)源模型的輪廓點(diǎn)及已經(jīng)建立的與目標(biāo)模型的配準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)，計(jì)算譜圖的幾何變換：

搜索區(qū)域內(nèi)所有輪廓點(diǎn)，構(gòu)建變換空間Φ：，采用Mean-shift算法獲得變換空間Φ的中心變換參數(shù)，確定為當(dāng)前查詢點(diǎn)Si的幾何變換參數(shù)。通過查詢點(diǎn)Si以及幾何變換參數(shù)，我們獲得目標(biāo)模型的區(qū)域匹配點(diǎn)。

進(jìn)而，所有的查詢點(diǎn)及其變換參數(shù)，即可得到目標(biāo)譜圖區(qū)域中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)集合Fs。

圖3（a）左圖中的綠色點(diǎn)為譜圖輪廓內(nèi)的區(qū)域查詢點(diǎn)，通過設(shè)置每個(gè)查詢點(diǎn)的搜索區(qū)域（如黑色圓所示），確定搜索區(qū)域的輪廓點(diǎn)。進(jìn)而，通過輪廓點(diǎn)集及譜配準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)，計(jì)算變換空間，通過聚類獲得變換空間的中心參數(shù)，作為查詢點(diǎn)變換參數(shù)，從而獲得目標(biāo)模型的內(nèi)部區(qū)域點(diǎn)，如圖3（a）右圖所示。

圖3（b）為人馬的上半身局部模型及其完整模型的二維譜圖表示，依據(jù)輪廓對(duì)應(yīng)以及譜圖變換，獲得的有效局部匹配區(qū)域，如圖中黃色為局部模型的譜圖，藍(lán)色區(qū)域?yàn)橥暾Ｐ椭袑?duì)應(yīng)的局部區(qū)域。圖3（c）為從譜域到空域的轉(zhuǎn)換，非剛性模型在空域中局部區(qū)域的提取。

最終，依據(jù)所確定的源模型與目標(biāo)模型所對(duì)應(yīng)的譜圖區(qū)域，我們通過區(qū)域搜索與特征相似性度量，實(shí)現(xiàn)空域中模型的局部結(jié)構(gòu)匹配。

Hausdorff距離是描述兩組點(diǎn)集之間相似程度的一種量度，計(jì)算時(shí)首先要計(jì)算兩組點(diǎn)集之間的有向Hausdorff距離，有向的Hausdorff距離被定義為：

其中d（x， y）表示點(diǎn)集X與點(diǎn)集Y間的馬氏距離（公式10）。公式10中，是源模型的點(diǎn)集，是目標(biāo)模型中對(duì)應(yīng)的局部區(qū)域的點(diǎn)集，S是和的協(xié)方差矩陣。

如圖4為兩組非剛性模型的局部匹配實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

本文的算法主要步驟可歸納如下：

輸入：源模型M1和目標(biāo)模型M2

輸出：局部區(qū)域匹配點(diǎn)對(duì)D（M1，M2）

Step1：最優(yōu)二維譜圖提?。和ㄟ^拉普拉斯映射及ICP方法，提取模型的最優(yōu)二維譜圖表示（P，Q）。

Step2：譜圖輪廓配準(zhǔn)：通過輪廓提取與形狀上下文算法得到模型的譜圖輪廓點(diǎn)集與配準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)C。

Step3：譜變換：設(shè)置源模型的查詢點(diǎn)集Si，計(jì)算鄰域內(nèi)輪廓點(diǎn)的幾何變換空間，通過Mean-shift獲得中心變換點(diǎn)集參數(shù)。

Step4：譜圖區(qū)域配準(zhǔn)：通過譜變換函數(shù)，計(jì)算目標(biāo)模型的對(duì)應(yīng)區(qū)域點(diǎn)集，

Step5：模型局部匹配：采用區(qū)域搜素與相似性特征度量，計(jì)算模型的區(qū)域匹配點(diǎn)對(duì)D。

2? 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本文方法的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為Intel（R）Core（TM）3.2 GHz CPU，8 GB內(nèi)存的惠普PC，并使用VC++6.0，Matlab圖形可視化軟件開發(fā)環(huán)境。

實(shí)驗(yàn)中，我們使用標(biāo)準(zhǔn)的非剛性三維模型數(shù)據(jù)庫(kù)SHREC2010、SHREC2011。SHREC2010數(shù)據(jù)庫(kù)中包含10個(gè)類，每類中含有20個(gè)姿態(tài)各異的三維模型，SHREC2011數(shù)據(jù)庫(kù)包含600個(gè)非剛性三維模型，分為30類，每類有20種不同姿態(tài)模型。

我們分別對(duì)本文算法、ICP[4]、文獻(xiàn)[17]、SGC[18]和SHOT[19]進(jìn)行了綜合分析。圖5顯示了基于SHREC2010數(shù)據(jù)庫(kù)與SHREC2011數(shù)據(jù)庫(kù)的PR曲線結(jié)果。

ICP的基本原理是通過就近點(diǎn)之間的最小距離約束模型的配準(zhǔn)過程，要求配準(zhǔn)ICP的基本原理是通過就近點(diǎn)之間的最小距離約束模型的配準(zhǔn)過程，要求配準(zhǔn)模型具有較高的相似性，而對(duì)于不相似的模型會(huì)出現(xiàn)較大誤差。同時(shí)，該方法只能實(shí)現(xiàn)剛性配準(zhǔn)，對(duì)于具有不同姿態(tài)及局部形變的同類模型會(huì)產(chǎn)生較大差異。

文獻(xiàn)[17]的算法使用了融合空間結(jié)構(gòu)特征的方法，通過提取模型優(yōu)化后的骨架，轉(zhuǎn)換為骨架樹進(jìn)行基于圖結(jié)構(gòu)的篩選，并融入空間結(jié)構(gòu)特征與幾何細(xì)節(jié)，最后利用EMD距離方法實(shí)現(xiàn)模型匹配，這一算法可以有效的實(shí)現(xiàn)局部匹配，但是總體匹配時(shí)間較長(zhǎng)。

SGC[18]是對(duì)于三維點(diǎn)云的穩(wěn)定幾何質(zhì)心特征進(jìn)行編碼的局部描述符，如圖8中PR曲線可見，其在三維模型局部匹配中具有較好的效果，但是，由于需要從每個(gè)體素提取的幾何質(zhì)心和點(diǎn)密度特征來構(gòu)造描述符，需要消耗大量時(shí)間。

SHOT[19]通過查詢點(diǎn)的空間方向直方圖特征實(shí)現(xiàn)局部匹配，對(duì)于扭曲比較大的非剛性三維模型，會(huì)產(chǎn)生較大的差異，而且對(duì)于有噪聲的模型魯棒性比較差。

本文提出了基于譜空間變換的局部匹配方法，將復(fù)雜的三維模型通過拉普拉斯算子映射到譜空間，建立最優(yōu)的二維譜特征表示，其有效保持了模型的內(nèi)蘊(yùn)形狀特性。進(jìn)而，基于譜空間的幾何變換，實(shí)現(xiàn)二維譜圖配準(zhǔn)。最終通過查詢點(diǎn)及區(qū)域搜索，實(shí)現(xiàn)局部區(qū)域匹配。本方法基于二維譜圖進(jìn)行區(qū)域搜索與匹配，不僅大幅度減少計(jì)算時(shí)間，而且對(duì)于非剛性變換及噪聲模型具有極強(qiáng)的魯棒性。

圖6（a）分別是SHREC2010數(shù)據(jù)庫(kù)中人馬和螞蟻的局部匹配結(jié)果，圖6（b）是SHREC2011數(shù)據(jù)庫(kù)中恐龍1和恐龍2的局部匹配結(jié)果?？梢?，本文方法在不同種類的非剛性模型局部匹配中具有極強(qiáng)的穩(wěn)定性。

表1是ICP算法、SHOT算法、SGC算法以及本文算法在不同模型上的檢索率;圖7為不同方法在不同測(cè)地誤差下的配準(zhǔn)率?？梢钥闯?，本算法的性能明顯優(yōu)于其他算法。

為了驗(yàn)證本文算法的魯棒性，本文在實(shí)驗(yàn)中對(duì)原模型隨機(jī)加入高斯噪聲。如圖7（a）為螞蟻模型以及加入4%，8%，12%的隨機(jī)高斯噪聲的模型。圖7（b）為對(duì)應(yīng)模型的最優(yōu)二維譜圖表示，可見，不同噪聲的螞蟻模型的二維譜圖變化非常小，具有較強(qiáng)的魯棒性。圖7（c）為每個(gè)算法對(duì)噪聲的魯棒性測(cè)試結(jié)果。

3? 結(jié)語

本文面向非剛性三維模型的局部匹配與檢索的需求，提出高效、穩(wěn)定的三維模型形狀分析與局部匹配方法。通過基于拉普拉斯映射的譜嵌入，構(gòu)建最優(yōu)二維譜特征描述，其不僅實(shí)現(xiàn)了有效降維，而且有效保留了模型的統(tǒng)一內(nèi)蘊(yùn)結(jié)構(gòu)特征。我們通過二維譜空間進(jìn)行局部輪廓配準(zhǔn)，有效建立譜空間的幾何變換，實(shí)現(xiàn)區(qū)域的配準(zhǔn)與相似性度量。一系列實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本方法對(duì)于不同姿態(tài)及不同種類模型的識(shí)別具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性與高效性。在未來的工作中，我們將深度開展模型的協(xié)同分割與語義標(biāo)注的研究，建立高層次的模型結(jié)構(gòu)分割與描述機(jī)制，并對(duì)殘缺模型修補(bǔ)進(jìn)行更進(jìn)一步的研究。

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