吳定能
(貴州電子信息職業(yè)技術學院,貴州 凱里 556000)
積分中值定理是積分學的重要內容,也是一直以來研究的熱點課題。以前大多是集中于研究它的推廣與深化。目前,研究出不同類型的積分中值公式已成為中值定理研究的重點課題。本文在總結了微積分的理論之后,對帶參數(shù)積分建立了一類帶參數(shù)的積分中值定理,并且完成了證明。
(1)
證明:證明分三步完成。
1)當n=1時,我們直接計算
從而,若ρ≠0且ρ∈(-1,1)時,我們有
(2)
很顯然,當ρ=0時,恒等式(2)也成立。
2)當n=2時,利用分部積分公式直接計算,可得
(3)
于是
(4)
結合(4)及(3)可以得到
因此,若ρ≠0且ρ∈(-1,1)時,可得到
(5)
此外,很顯然,當ρ=0時,恒等式(5)也成立。
這意味著恒等式(1)適用于n=1或n=2的情況。
3)為了證明一般性結論,讓|ρ|<1,n≥3。一方面,利用分部積分公式,我們有
(6)
另一方面,將積分函數(shù)中分子sinnθ拆為sin2θsin2θ,可得到
從而,可得到
(7)
結合恒等式(6)及(7)可得到
移項整理后,得到
(8)
由于fn(ρ)在區(qū)間(-1,1)連續(xù),那么對恒等式(8),fn(ρ)滿足微分方程
ρfn′(ρ)+(n-1)fn(ρ)=0
(9)
在ρ∈(-1,1),令Fn(ρ)=ρn-1fn(ρ)
那么Fn(0)=0,而且
Fn′(ρ)=(n-1)ρn-2fn(ρ)+ρn-1fn′(ρ)
=ρn-2[(n-1)fn(ρ)+ρfn′(ρ)]
進而,由微分方程(9),可以得到Fn′(ρ)=0,ρ∈(-1,1)。
從而,結合Fn(0)=0,得到Fn(ρ)=0,ρ∈(-1,1)。
因此,當ρ≠0時,一方面,可以得到fn(ρ)=0,ρ∈(-1,1)。
另一方面,根據(jù)fn(ρ)的定義可得fn(0)=0。
因此,可得
(10)
(11)
結合恒等式(6)
因此,當ρ≠0時,我們可以得到
(12)
此外,當ρ=0時,恒等式(12)也成立。
若m≥2,|ρ|<1時,對恒等式(12),可得到
當n為2m時,有
(13)
當n為2m-1時,有
(14)
結合恒等式(13)及(14),當n≥3,|ρ|<1時,我們可以推出恒等式(1)成立。再結合恒等式(2)及(3),可以得到,當n≥1,|ρ|<1,時,恒等式(1)恒成立。
(15)
證明:證明分為五步完成
1)當n=1時,我們直接計算
因此,如果ρ≠0時,可以得
(16)
當ρ=0時,恒等式(16)顯然成立。
2)當n=2時,我們直接計算
結合恒等式(4),可得到
因此,若ρ≠0時,可得
(17)
同時,也很顯然,當ρ=0時,恒等式(17)也成立。這意味著恒等式(15)也適用于n=1或者n=2的情況。
3)當ρ=1時,利用二倍角公式,可以得到
(18)
4)當ρ=-1時,同理,根據(jù)二倍角公式,可以得到
(19)
由恒等式(18)及(19),我們可以立即得到
這意味著恒等式(15)也適用于|ρ|=1的情況[2]。
5)為了證明一般性,假設|ρ|<1,n≥3時,根據(jù)fn(ρ)=0,可以得到
結合恒等式(1),可以得到
(20)
因此,由恒等式(17)、(18)、(19)及(20)可以得出,對于n≥1且|ρ|≤1時,等式(15)恒成立。
(21)
證明:證明分為兩步完成。
1)當n=2時,等式(21)顯然成立。
2)為了證明一般性,當n≥3,|ρ|≤1時,利用恒等式(21),替換n(n+2→n),可直接得到
再結合恒等式(15),可以得到
因此,可以得到
(22)
從而,當n≥3,|ρ|≤1時,恒等式(21)成立。
因此,由(1)和(2),我們可以得到,當n≥2且|ρ|≤1時,恒等式(21)恒成立。