熊斌 蔣培杰

摘要：國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克是最重要的、影響最大的全球青少年智力競(jìng)賽之一，但在國(guó)家層面如何有效組織這項(xiàng)賽事使它助力于數(shù)學(xué)和科技英才培養(yǎng)的研究非常少，數(shù)學(xué)奧林匹克起源于求解數(shù)學(xué)難題的競(jìng)賽，不少卓越的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家都曾是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的優(yōu)勝者，他們或多或少從中受益，數(shù)學(xué)奧林匹克有助于選拔和培養(yǎng)數(shù)學(xué)資優(yōu)學(xué)生已經(jīng)是共識(shí).中國(guó)參與國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克所取得的優(yōu)異成績(jī)是世所矚目的，中國(guó)在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中表現(xiàn)優(yōu)異的隊(duì)員后來很多都成為杰出的數(shù)學(xué)家和科技工作者.這些成績(jī)有必要得到宣傳，數(shù)學(xué)奧林匹克的中國(guó)經(jīng)驗(yàn)需要總結(jié)和推廣.本文主要對(duì)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的歷史作了簡(jiǎn)單梳理，并基于文獻(xiàn)對(duì)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國(guó)實(shí)踐進(jìn)行了述評(píng)，中國(guó)通過全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng)和國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)三級(jí)選拔，選出參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克選手的數(shù)學(xué)競(jìng)賽組織方式，以校級(jí)培訓(xùn)為主陣地的多級(jí)培訓(xùn)體系，以及相關(guān)學(xué)習(xí)資料的積累和出版，是中國(guó)在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中取得卓越成績(jī)的重要保障.新冠肺炎疫情暴發(fā)對(duì)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的正常開展產(chǎn)生了影響，但中國(guó)以成功的實(shí)踐給出了有效的應(yīng)對(duì)措施.當(dāng)下中國(guó)社會(huì)各界對(duì)數(shù)學(xué)奧林匹克仍存在一些誤解，適當(dāng)?shù)亟榻B一些參與過國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽并因此在以后的工作中取得卓越貢獻(xiàn)的代表性人物，有助于大眾更全面地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)奧林匹克.同時(shí)，國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國(guó)經(jīng)驗(yàn)對(duì)于其他國(guó)家組織數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)以及選拔和培養(yǎng)數(shù)學(xué)資優(yōu)學(xué)生具有借鑒價(jià)值.

關(guān)鍵詞：國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克;數(shù)學(xué)競(jìng)賽;歷史;數(shù)據(jù);經(jīng)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：0119;G630文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.001

The Chinese experience at the International Mathematical Olympiad

XIONG Bin1，2，JIANG Peijie1，3

（1. School of Mathematical Sciences，East China Normal University，Shanghai 200241，China;

2. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice，Shanghai 200241，China;

3. School of Mathematics and Statistics. Hunan Normal University^ Changsha 410081，China）

Abstract：The International Mathematical Olympiad （IMO）is one of the most important and influential global youth intellectual competitions. However，there is little research on how to effectively organize the competition at the national level to help cultivate talent in mathematics，science，and technology. The Mathematical Olympiad originated from a competition to solve mathematical problems. Many outstanding mathematicians and scientists have been prior winners of the IMO and have reaped benefits subsequently to some extent. The Mathematical Olympiad helps to select and train gifted students in mathematics. China's outstanding historical achievements in the IMO have attracted the attention of the world. Many of China's students，who exhibited exceptional performance at the IMO. later became outstandingmathematicians，scientists，and technologists. These achievements need to be publicized，and the Chinese experience at the Mathematical Olympiad needs to be summarized and promoted. This article summarizes the history of the IMO and reviews the practices of the IMO in China based on the literature. China uses a number of strategies to ensure outstanding results in the IMO，including：the selection of contestants from existing domestic programs （National High School Mathematics Joint Competition. Chinese Mathematical Olympiad，and National Training Team）;a multi-level educational system based on school training;and the accumulation and publication of relevant learning materials. The outbreak of the novel coronavirus has affected the normal proceedings of the IMO，but China has implemented effective countermeasures. There are still some misunderstandings about the Mathematical Olympiad in China. By introducing prior contestants，who have participated in the IMO and made outstanding contributions. China can help the public better appreciate the Mathematical Olympiad. At the same time，the Chinese experience at the IMO is an important reference for other countries in organizing competition training and selecting and nurturing gifted students in mathematics.

Keywords：IMO;mathematics competition;history;data;experience

0引言

中國(guó)應(yīng)該成為21世紀(jì)的數(shù)學(xué)大國(guó)[1].中國(guó)的數(shù)學(xué)已經(jīng)取得了很大的進(jìn)步，在國(guó)際數(shù)學(xué)界已經(jīng)有了一定地位，但我們與數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)還有距離，最主要的差距是我們?nèi)狈σI(lǐng)國(guó)際數(shù)學(xué)研究方向的強(qiáng)有力的學(xué)術(shù)領(lǐng)軍人物，缺乏大師級(jí)的數(shù)學(xué)家[2].建設(shè)數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)，數(shù)學(xué)人才的早期發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)十分重要.一個(gè)國(guó)家的國(guó)力、科技的水平很大程度上是通過其精英來體現(xiàn)的.雖然數(shù)學(xué)奧林匹克的優(yōu)勝者不一定能成為數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)資優(yōu)生的培養(yǎng)也不是只有數(shù)學(xué)奧林匹克這一個(gè)途徑，但是數(shù)學(xué)奧林匹克在發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才的工作中起著不容忽視的作用[3].數(shù)學(xué)競(jìng)賽有助于選拔出有數(shù)學(xué)才能的青少年[4]，數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)于普及數(shù)學(xué)文化、發(fā)展青少年的數(shù)學(xué)興趣以及錘煉青少年的思維品質(zhì)具有特殊的、不可替代的價(jià)值.現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)競(jìng)賽源于1894年匈牙利組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，一批世界一流的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家都曾是匈牙利數(shù)學(xué)競(jìng)賽的優(yōu)勝者，數(shù)學(xué)競(jìng)賽由此引起了歐美各國(guó)的重視[5].自從1980年國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)決定成立國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)作為其下設(shè)的一個(gè)專業(yè)委員會(huì)（1981年4月正式成立），關(guān)于國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克及相關(guān)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的研究成為數(shù)學(xué)教育研究中的一個(gè)重要課題.由于數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)青少年的數(shù)學(xué)才能具有重要影響，每年世界上許多國(guó)家都會(huì)舉辦各種各樣的中小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽. 中國(guó)自1985年以來在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中取得了輝煌的成績(jī)[6]，舉世矚目.為什么中國(guó)的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克成績(jī)能做到長(zhǎng)期保持國(guó)際領(lǐng)先地位？中國(guó)成功的經(jīng)驗(yàn)是什么？同時(shí)，盡管中國(guó)在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中的表現(xiàn)卓越，但是中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克的價(jià)值受到過質(zhì)疑叫社會(huì)媒體以及廣大家長(zhǎng)對(duì)數(shù)學(xué)奧林匹克的認(rèn)識(shí)仍然較為片面，甚至還存在誤解.為澄清人們對(duì)數(shù)學(xué)奧林匹克的認(rèn)識(shí)，更好地發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)資優(yōu)人才，助力我國(guó)早日成為數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)，有必要對(duì)中國(guó)參與國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的各方面情況做一個(gè)總結(jié).

1國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克及中國(guó)參與情況

1.1國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽簡(jiǎn)介

1.1.1數(shù)學(xué)競(jìng)賽的發(fā)展和國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的誕生

誕生于1959年的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（International Mathematical Olympiad，IMO），是世界范圍內(nèi)青少年最高級(jí)別的智力活動(dòng)之一.數(shù)學(xué)奧林匹克起源于解數(shù)學(xué)難題的競(jìng)賽.一般認(rèn)為，世界上第一個(gè)真正有組織的中學(xué)生解數(shù)學(xué)題目的競(jìng)賽開始于匈牙利.

1894年，匈牙利教育部門通過一項(xiàng)決議，準(zhǔn)備在中學(xué)舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽.當(dāng)時(shí)著名的科學(xué)家J.埃特沃什（J. von Et?v?s）男爵擔(dān)任教育部部長(zhǎng).在他的積極支持下，這項(xiàng)中學(xué)生的比賽逐漸發(fā)揚(yáng)光大[8].部長(zhǎng)的兒子、物理學(xué)家R.埃特沃什（R. von Et?v?s）成功地用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了愛因斯坦廣義相對(duì)論的等效原理，這是匈牙利科學(xué)家在世界舞臺(tái)上嶄露頭角的標(biāo)志性事件，從此，匈牙利數(shù)學(xué)競(jìng)賽的獎(jiǎng)勵(lì)亦被稱作“埃特沃什獎(jiǎng)”.之后，匈牙利產(chǎn)生的許多著名科學(xué)家都曾從數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲益，比如分析學(xué)家費(fèi)葉爾（L. Fejér）、舍貴（G. Szeg?）、拉多（T. Radó）、哈爾（A. Haar）、黎斯（M. Riesz），組合數(shù)學(xué)家寇尼希（D. K?nig），以及舉世聞名的空氣動(dòng)力學(xué)家馮·卡門（T. von Kármán），1994年獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的博弈論大師豪爾紹尼（J. C. Harsanyi）等，他們都是數(shù)學(xué)競(jìng)賽的優(yōu)勝者.

1934年，在當(dāng)時(shí)的列寧格勒（今圣彼得堡），由著名數(shù)學(xué)家狄隆涅（B. Deione）主持舉辦了中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽;1935年，莫斯科也開始舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽.除了因“二戰(zhàn)”曾中斷過幾年，這兩個(gè)競(jìng)賽都延續(xù)至今.蘇聯(lián)和俄羅斯是數(shù)學(xué)奧林匹克大國(guó)，包括最偉大的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫（A. N. Kolmogorov）在內(nèi)的許多大師級(jí)人物都熱心于數(shù)學(xué)競(jìng)賽事業(yè)，親自參與命題.蘇聯(lián)還把數(shù)學(xué)競(jìng)賽稱作“數(shù)學(xué)奧林匹克”，認(rèn)為數(shù)學(xué)是“思維的體操”，這些觀點(diǎn)在教育界的影響很大.1998年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者康采維奇（M. Kontsevich）曾獲全蘇競(jìng)賽第二名;享譽(yù)全世界的國(guó)際象棋棋王卡斯帕羅夫（G. Kasparov）曾獲第三名.

在美國(guó)，由于著名數(shù)學(xué)家伯克霍夫（Birkhoff）父子和波利亞（G. Pólya）的積極提倡，于1938年開始舉辦低年級(jí)大學(xué)生的普特南（Putnam）數(shù)學(xué)競(jìng)賽，這項(xiàng)競(jìng)賽中的很多題目是屬于中學(xué)數(shù)學(xué)范圍的[9].普特南競(jìng)賽中成績(jī)排在前五位的人，就可以成為普特南會(huì)員.在這些人中出現(xiàn)了許多杰出人物，包括大名鼎鼎的費(fèi)曼（R. Feynman，獲1965年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)），還有威爾遜（K. Wilson，獲1982年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)）、米爾諾（J. Milnor，獲1962年菲爾茲獎(jiǎng)）、芒福德（D. Mumford，獲1974年菲爾茲獎(jiǎng)）、奎倫（D. Quillen，獲1978年菲爾茲獎(jiǎng)）等.

在許多國(guó)家（尤其是東歐國(guó)家）已有的國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基礎(chǔ)上，羅馬尼亞在1956年向東歐7國(guó)倡議舉辦國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽，并于1959年主辦了首屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克，簡(jiǎn)稱IMO[3].國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克是當(dāng)前最有影響力的中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，近年來參與這一賽事的國(guó)家和地區(qū)已經(jīng)超過100個(gè)，并且世界上的主要大國(guó)全部參與該項(xiàng)賽事.

在獲得IMO獎(jiǎng)牌的學(xué)生中，有不少日后成為大數(shù)學(xué)家.據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，IMO獲獎(jiǎng)學(xué)生日后獲得菲爾茲獎(jiǎng)的有：1959年銀牌得主Gregory Margulis （俄羅斯，1978年）;1969年金牌得主Valdimir Drinfeld（烏克蘭，1990年）;1974 年金牌得主Jean-Ghristophe Yoccoz（法國(guó)，1994年）;1977年金牌、1978年銀牌得主Richard Borcherds（英國(guó)，1998年）;1981年金牌得主Timothy Gowers（英國(guó)，1998年）;1982年金牌得主Grigori Perelman（俄羅斯，2006年）（解決了龐加萊猜想）;1985年銀牌得主Laurant Lafforgue（法國(guó)，2002年）;1986年銅牌、1987年銀牌、1988年金牌得主Terence Tao（美國(guó)，2006年）;1986年金牌、1987年金牌得主Stansi-lav Smirnov（俄羅斯，2010年）;1988年銅牌得主Elon Lindenstrauss（以色列，2010年）;1988 年金牌、1989年金牌得主Ngo Bao Chau（越南，2010年）;1994年金牌、1995年金牌得主Maryam Mirzakhani（女，伊朗，2014年）;1995年金牌得主Artur Avila（巴西，2014年）;2004年銀牌、2005年金牌、2006年金牌、2007年金牌得主Peter Scholze（德國(guó)，2018年）;1994年銅牌得主Akshay Venkatesh（澳大利亞，2018年）.可見，參與國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的經(jīng)歷與成為大數(shù)學(xué)家的關(guān)系十分密切.

1.1.2國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的試題和評(píng)分

國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題的合理性與有效性是很重要的，每屆IMO試題都會(huì)對(duì)各國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克的培訓(xùn)工作產(chǎn)生不同程度的影響[10].

IMO試題涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容包括：代數(shù)、組合、幾何、數(shù)論4大板塊，各國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題圍繞這4個(gè)板塊的內(nèi)容進(jìn)行.除了最初幾屆外，IMO都是6道試題，比賽時(shí)間定于每年的7月.正式比賽分兩天，每天4個(gè)半小時(shí)做3道題目.每題滿分7分，總分42分;團(tuán)體總分252分.約有一半選手可獲獎(jiǎng)牌，其中有1/12左右的選手獲得金牌，2/12左右的選手獲得銀牌，3/12左右的選手獲得銅牌.如果有哪個(gè)學(xué)生提供了比主試委員會(huì)的官方解答更別致的解答，可以獲得特別獎(jiǎng).

IMO由參賽國(guó)輪流主辦，經(jīng)費(fèi)由東道國(guó)提供.IMO規(guī)定，正式參加比賽國(guó)家和地區(qū)的代表隊(duì)由6名學(xué)生組成，另派1名領(lǐng)隊(duì)（Leader）和1名副領(lǐng)隊(duì)（Deputy Leader）.試題由各參賽國(guó)提供，然后由東道國(guó)組織專家組成選題委員會(huì)對(duì)這些試題進(jìn)行研究和挑選，從中選出約30道試題作為預(yù)選題（shortlist problems），代數(shù)、幾何、組合、數(shù)論這4塊內(nèi)容各7～8道試題，然后提交給由每個(gè)國(guó)家的領(lǐng)隊(duì)組成的主試委員會(huì)（July meeting）討論投票表決，最終產(chǎn)生6道試題作為正式考題.東道國(guó)不提供試題.試題確定之后，寫成英語、法語、德語、俄語、西班牙語這5種工作語言，各國(guó)領(lǐng)隊(duì)將試題翻譯成本國(guó)語言，每個(gè)學(xué)生可以有兩種語言的試題.

學(xué)生的答卷先由本國(guó)領(lǐng)隊(duì)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)判，然后與東道國(guó)組織的協(xié)調(diào)員進(jìn)行協(xié)商，如有分歧，再到主試委員會(huì)上仲裁.主試委員會(huì)由各國(guó)的領(lǐng)隊(duì)及主辦國(guó)指定的主席組成.主試委員會(huì)除了選定試題，還有以下幾個(gè)方面的職責(zé)：確定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn);確定如何用工作語言準(zhǔn)確表達(dá)試題，并翻譯、核準(zhǔn)譯成各參加國(guó)文字的試題;比賽期間，確定如何回答學(xué)生用書面提出的關(guān)于試題的疑問;處理個(gè)別領(lǐng)隊(duì)與協(xié)調(diào)員之間在評(píng)分上的不同意見;根據(jù)學(xué)生成績(jī)決定金牌、銀牌和銅牌的個(gè)數(shù)與分?jǐn)?shù)線（因?yàn)槊磕暝囶}難度不完全相同）.

1.2中國(guó)參與國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的情況

在中國(guó)，從老一輩數(shù)學(xué)家、中青年數(shù)學(xué)家直至中小學(xué)老師，成千上萬人的共同努力才在數(shù)學(xué)競(jìng)賽方面獲得了今天的成就[11].中國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽始于1956年，這一年在北京、天津、上海、武漢四大城市分別舉辦了高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽[12].華羅庚、蘇步青、江澤涵等當(dāng)時(shí)中國(guó)最有威望的數(shù)學(xué)家都積極領(lǐng)導(dǎo)和參與這項(xiàng)工作.但是從1956年至1965年這十年間，只零零星星舉辦過6屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽.“文化大革命”開始后，數(shù)學(xué)競(jìng)賽更被戴上“封、資、修”的帽子，被完全加以禁止[13].1978年，我國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)又重新開始，并從此走上了高速發(fā)展的道路.1980年，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)成立了普及工作委員會(huì)，我國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)有了明確的組織，完成了一些規(guī)范化、制度化的建設(shè)后情況才開始轉(zhuǎn)變[14].自1985年起我國(guó)開始參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克，國(guó)內(nèi)各級(jí)各類競(jìng)賽活動(dòng)蓬勃開展，學(xué)習(xí)材料豐富多樣，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的培訓(xùn)成為部分學(xué)生的第二課堂，甚至成為數(shù)學(xué)資優(yōu)生的“第二學(xué)?！?，我國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽迅速達(dá)到并常年保持國(guó)際領(lǐng)先水平.

關(guān)于中國(guó)首次參加IMO的經(jīng)歷，裘宗滬先生曾做過回憶[15].1980年三四月份的時(shí)候，鄧小平辦公室的工作人員詢問過中國(guó)科學(xué)院院部：我們國(guó)家可不可以組隊(duì)參加IMO？中科院有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)就此詢問王壽仁與裘宗滬的意見，他們表示中國(guó)可以參加而且應(yīng)該參加.1981年IMO在美國(guó)舉行，這是IMO第一次在歐洲以外舉行，所以美國(guó)很重視.從1980年夏天開始，中國(guó)前后共收到美國(guó)IMO組委會(huì)發(fā)來的四封邀請(qǐng)信.不料在1980年11月中國(guó)科協(xié)的負(fù)責(zé)人未予批準(zhǔn)參賽.從1981年開始，在很多人的努力下，歷經(jīng)曲折，1985年中國(guó)首次非正式地參加了第26屆IMO，當(dāng)時(shí)只有兩名學(xué)生參賽.裘宗滬和王壽仁作為觀察員帶隊(duì)，兩名學(xué)生分別是北大附中的王鋒和上海向明中學(xué)的吳思皓，中國(guó)科技大學(xué)的單博老師受邀輔導(dǎo)這兩位學(xué)生.中國(guó)第一支數(shù)學(xué)奧林匹克代表隊(duì)提前到達(dá)芬蘭赫爾辛基熟悉比賽環(huán)境，并于到達(dá)赫爾辛基的第三天正式到IMO組委會(huì)報(bào)到.由于是第一次參與IMO，隊(duì)員比較緊張，并且當(dāng)年的賽題偏難，兩名隊(duì)員中只有吳思皓獲得了銅牌，這是中國(guó)參與IMO獲得的第一塊獎(jiǎng)牌.從赫爾辛基回國(guó)后，王壽仁和裘宗滬等即著手準(zhǔn)備下一屆IMO，并思考如何將IMO引進(jìn)中國(guó).1985年12月，基于為IMO選拔學(xué)生的需要，“數(shù)學(xué)冬令營(yíng)”作為活動(dòng)名稱在中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)50周年紀(jì)念會(huì)上首次被提出.

從1986年開始，除了1998年在中國(guó)臺(tái)灣舉行的那次，中國(guó)隊(duì)都派足了6名隊(duì)員正式參加IMO.其中，1989年在原德意志聯(lián)邦共和國(guó)舉辦的第30屆IMO，中國(guó)隊(duì)獲4金2銀，首次獲得總分第一.這次比賽的正副領(lǐng)隊(duì)是馬希文與單博.1987年，IMO的常設(shè)委員會(huì)同意了中國(guó)承力、IMO的申請(qǐng)，并確定由中國(guó)舉辦1990年的第31屆IMO.

自從1987年確立1990年在中國(guó)舉辦第31屆IMO后，中國(guó)的數(shù)學(xué)家與中學(xué)老師們都深受鼓舞，從各個(gè)方面進(jìn)行了積極的籌備，最后取得了成功[13].第31屆IMO由國(guó)家教委、北京市政府、中國(guó)科協(xié)、國(guó)家自然科學(xué)基金委及中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)5個(gè)單位聯(lián)合舉辦.組織委員會(huì)主任為李鐵映（國(guó)務(wù)委員兼教委主任）、副主任由王元（中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)）、柳斌（國(guó)家教委副主任）、陸宇澄（北京市副市長(zhǎng)）、曹令中（中國(guó)科協(xié)書記處書記）和王仁（國(guó)家自然科學(xué)基金委副主任）擔(dān)任.組織委員會(huì)任命王壽仁為秘書長(zhǎng)，裘宗滬為常務(wù)副秘書長(zhǎng).第31屆IMO的參賽隊(duì)伍多達(dá)54個(gè)，在參賽隊(duì)數(shù)量上破了紀(jì)錄.由于財(cái)政部批準(zhǔn)的120萬元經(jīng)費(fèi)比預(yù)算少20萬元，秘書處委派吳建平與晁洪由北京至廣州一路集資，經(jīng)一個(gè)月集資20萬元，其中大部分是由各地教育出版社資助的.我國(guó)參加第31屆IMO的代表隊(duì)由單博與劉鴻坤任正副領(lǐng)隊(duì)，杜錫錄協(xié)助訓(xùn)練和照顧隊(duì)員日常生活，賽前隊(duì)員在北戴河集訓(xùn)了一個(gè)多月.在這屆IMO中，中國(guó)隊(duì)以5金、1銀及總分230分的總成績(jī)獲得總分第一.經(jīng)過這屆IMO，中國(guó)高中生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽模式已經(jīng)程序化、制度化地固定下來，即經(jīng)由全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng)、國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)選出參加IMO的選手.

截至2021年8月，我國(guó)IMO參賽隊(duì)員共218人（其中女生9人），他們來自五湖四海，其中湖北33人，上海32人，北京29人，廣東22人，湖南21人，浙江12人，江蘇11人，遼寧7人，山東7人，四川7人，吉林5人，天津5人，河南4人，陜西4人，重慶4人，福建3人，河北3人，黑龍江3人，江西3人，安徽2人，新疆1人.

人數(shù)分布見條形圖（見圖1），湖北、上海、北京、廣東、湖南、浙江和江蘇產(chǎn)出的IMO隊(duì)員是最多的，這些省份都是教育文化濃厚、教育水平較高的省份，廣西、云南和甘肅等省份還沒有產(chǎn)出過IMO隊(duì)員，可見數(shù)學(xué)奧林匹克的培訓(xùn)質(zhì)量與當(dāng)?shù)亟逃接嘘P(guān).

截至2021年8月，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家隊(duì)領(lǐng)隊(duì)和副領(lǐng)隊(duì)情況見表1.領(lǐng)隊(duì)和副領(lǐng)隊(duì)等相關(guān)人員的辛勤付出為國(guó)家隊(duì)取得優(yōu)異成績(jī)提供了重要的保障.其中，裘宗滬、熊斌和冷崗松教授因?qū)χ袊?guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的發(fā)展做出突出貢獻(xiàn)，分別于1994年、2018年和2020年獲得由世界數(shù)學(xué)競(jìng)賽國(guó)家聯(lián)盟頒發(fā)的保羅·厄爾多斯獎(jiǎng)（Paul Erd?s Award）.

1.3疫情對(duì)IMO的影響及中國(guó)的應(yīng)對(duì)措施

2020年年初，新冠肺炎疫情暴發(fā)，對(duì)IMO的正常開展產(chǎn)生了影響.原定于7月在俄羅斯圣彼得堡舉行的第61屆IMO，被延期至2020年9月18—28日在線上遠(yuǎn)程舉行，來自105個(gè)國(guó)家和地區(qū)的616名選手參加了此次比賽.

為了確保競(jìng)賽的保密性和公正性，每個(gè)參賽的國(guó)家和地區(qū)都按組委會(huì)的要求設(shè)置了獨(dú)立的考試中心，并由中立的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克專員在現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)考，考試試題在考前3小時(shí)發(fā)給領(lǐng)隊(duì)翻譯，經(jīng)過確認(rèn)的試題在考前15分鐘發(fā)給IMO專員進(jìn)行打印，然后發(fā)給學(xué)生.

考試時(shí)間按照格林威治標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為每個(gè)參賽的國(guó)家和地區(qū)選擇了特定的時(shí)間窗口，時(shí)長(zhǎng)為4小時(shí)30分鐘.組委會(huì)給出的時(shí)間窗口是格林威治時(shí)間（UTC）上午7點(diǎn)30分到中午12點(diǎn).所有參賽隊(duì)伍都必須在這個(gè)時(shí)間段里選擇開始考試的時(shí)間，中國(guó)隊(duì)選擇的是最早開始考試的時(shí)間：9月21日UTC 07：30～12：00，北京時(shí)間是15：30～20：00;9月22日UTC 07：30～12：00，北京時(shí)間15：30～ 20：00.中國(guó)隊(duì)的考試場(chǎng)地在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院內(nèi).

在中國(guó)國(guó)家隊(duì)隊(duì)員的選拔和集訓(xùn)上，由于疫情的影響，原定于3月份舉行的選拔出6位國(guó)家隊(duì)隊(duì)員的國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)集訓(xùn)沒能如期舉行，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)一直希望在疫情緩解時(shí)舉行國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)的集訓(xùn)活動(dòng)，但到5月底需要報(bào)送國(guó)家隊(duì)名單時(shí)，還未能進(jìn)行國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)的活動(dòng)，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)決定將2019年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（冬令營(yíng)）成績(jī)排在前6名的學(xué)生作為2020年的國(guó)家隊(duì)隊(duì)員.自2020年6月初確定國(guó)家隊(duì)名單后，國(guó)家隊(duì)教練組就開始對(duì)6名學(xué)生進(jìn)行了線上培訓(xùn)，基本上是每周1～2次.9月17—19日，中國(guó)國(guó)家隊(duì)在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院進(jìn)行了考試前的集訓(xùn)和準(zhǔn)備.

在這不平凡的第61屆IMO中，中國(guó)隊(duì)以總分215分獲得團(tuán)體第一名.獲得團(tuán)體總分前10名的隊(duì)分別是：中國(guó)（215分）、俄羅斯（185分）、美國(guó)（183分）、韓國(guó)（175分）、泰國(guó)（174分）、意大利（171 分）、波蘭（171分）、澳大利亞（168分）、英國(guó)（167分）、巴西（164分）.這屆IMO中國(guó)隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)為熊斌，副領(lǐng)隊(duì)為何憶捷，觀察員為姚一雋、瞿振華、付云皓.中國(guó)隊(duì)的6名隊(duì)員分別是重慶市巴蜀中學(xué)校（高二，42分，金牌）的李金琨，浙江省樂清市知臨中學(xué)（高三，40分，金牌）的韓新淼，中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)（高二，37分，金牌）的依嘉，浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)（高三，36分，金牌）的梁敬勛，華南師范大學(xué)附屬中學(xué)（高二，31分，金牌）的饒睿，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)（高三，29分，銀牌）的嚴(yán)彬瑋（女）.這屆IMO的金牌分?jǐn)?shù)線是31分，銀牌分?jǐn)?shù)線是24分，銅牌分?jǐn)?shù)線是15分.在全球幾乎所有活動(dòng)都受到疫情影響的環(huán)境下，中國(guó)隊(duì)準(zhǔn)備IMO的應(yīng)對(duì)措施積極有效，再次取得世所矚目的成績(jī).

2021年7月14—24日在俄羅斯圣彼得堡市舉行的第62屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克，來自107個(gè)國(guó)家和地區(qū)的619名選手參加了此次比賽.經(jīng)過7月19日和20日的兩場(chǎng)考試，中國(guó)隊(duì)以總分208分獲得團(tuán)體第一名.上海華東師范大學(xué)二附中王一川同學(xué)獲得唯一的滿分，所有隊(duì)員都獲得金牌并進(jìn)入個(gè)人前20名.

2中國(guó)參與國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克取得的成績(jī)

2.1團(tuán)體總分和獲得獎(jiǎng)牌情況

根據(jù)IMO官網(wǎng)的數(shù)據(jù)（以下原始數(shù)據(jù)均來自官網(wǎng)）[16]，截至2021年8月，中國(guó)隊(duì)自1985年首次參加IMO以來，共參加了36屆IMO，有22次為團(tuán)體第一名，8次為團(tuán)體第二名，獲得168枚金牌（其中有35人共38次獲滿分），36枚銀牌，6枚銅牌.中國(guó)隊(duì)獲團(tuán)體總分第一的次數(shù)和金牌總數(shù)均位居世界第一.團(tuán)體總分和獲獎(jiǎng)等具體情況見表2.

從表2可以看到，歷屆IMO中國(guó)隊(duì)團(tuán)體總分的波動(dòng)較大，這或許與題目的難度波動(dòng)有關(guān).中國(guó)隊(duì)6名隊(duì)員全都獲得金牌共13次，并且近年來中國(guó)隊(duì)的團(tuán)體成績(jī)已經(jīng)穩(wěn)定在前三名，并主要集中在第一名，中國(guó)的IMO成績(jī)是所有參賽國(guó)成績(jī)中最為優(yōu)異的.

圖2為我國(guó)自第27屆以來歷屆代表隊(duì)獲得金牌數(shù)及團(tuán)體名次的柱形圖（其中深色條形表示金牌數(shù)，淺色條形表示名次）.淺色條形圖顯示中國(guó)團(tuán)體名次多數(shù)分布在前2名，只有1次獲得第8名，1次獲得第6名，1次獲得第4名，2次獲得第3名.

在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（截至2021年）中獲得金牌3枚及以上（全國(guó)前十六）的中國(guó)學(xué)校獲獎(jiǎng)情況見表3.表中學(xué)校在數(shù)學(xué)奧林匹克教育中都是有專長(zhǎng)、有特色的學(xué)校，這些學(xué)校共獲得金牌102枚，它們分布在北京、上海、湖北、廣東、湖南和浙江等省份.

2.2典型的成功個(gè)案

在近20年的菲爾茲獎(jiǎng)獲得者中，有一半以上是IMO的優(yōu)勝者.中國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手中已經(jīng)涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的青年數(shù)學(xué)人才，例如惲之瑋、張偉和許晨陽等，未來可期.以下是對(duì)他們中一部分代表所取得成就的簡(jiǎn)介.

惲之瑋是2000年第41屆IMO滿分金牌獲得者，2012年獲得拉馬努金獎(jiǎng)，2018年獲得科學(xué)突破獎(jiǎng)之?dāng)?shù)學(xué)新視野獎(jiǎng)，2019年獲得華人數(shù)學(xué)家大會(huì)金獎(jiǎng)，2018年應(yīng)邀在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做45分鐘報(bào)告，2019年入選美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)士，獲美國(guó)Packard基金和Simons學(xué)者基金支持.

張偉是2000年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（冬令營(yíng)）選手，2010年獲得拉馬努金獎(jiǎng)，2013年獲得斯隆研究獎(jiǎng)，2016年獲得ICCM數(shù)學(xué)Morningside金獎(jiǎng)，2017年獲得Simons獎(jiǎng)，2019年獲得克雷研究獎(jiǎng)（Clay Research Awards）.

許晨陽是1999年中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)隊(duì)員，2016年獲得拉馬努金獎(jiǎng)，2017/2018擔(dān)任龐加萊講座教席（The PoincaréChair），2017年榮獲“未來科學(xué)大獎(jiǎng)——數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)”，并獲得100萬美元獎(jiǎng)金，2021年獲得科爾代數(shù)獎(jiǎng).

劉一峰是2003年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)隊(duì)員，2017年獲斯隆研究獎(jiǎng)，2018年獲得拉馬努金獎(jiǎng).

張瑞祥是2008年IMO金牌獲得者，美國(guó)普林斯頓大學(xué)博士，師從Wolf獎(jiǎng)得主Peter Sarnak，其3篇論文已在世界數(shù)學(xué)界四大頂級(jí)期刊中的Annals of Mathematics和Inventiones Mathematicae上發(fā)表.

韋東奕是2008年、2009年IMO滿分金牌獲得者，獲得丘成桐大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽代數(shù)、分析、幾何、概率、應(yīng)用及個(gè)人全能金獎(jiǎng)，已經(jīng)完成了25篇學(xué)術(shù)論文，多數(shù)文章已發(fā)表在國(guó)際一流期刊上.

孫斌勇是1995年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)隊(duì)員，2014年獲得陳嘉庚青年科學(xué)獎(jiǎng)，2016年獲得中國(guó)優(yōu)秀青年科技人才獎(jiǎng)，2016年獲得中國(guó)科學(xué)院青年科學(xué)家獎(jiǎng)，2018年獲得國(guó)家自然科學(xué)二等獎(jiǎng)，2019年成為中科院院士，2020年獲得第二屆全國(guó)創(chuàng)新爭(zhēng)先獎(jiǎng).

袁新意是2000年IMO金牌獲得者，2008年博士畢業(yè)時(shí)獲得美國(guó)克雷研究獎(jiǎng)，成為第一位榮獲該獎(jiǎng)的華人.

以上僅是一部分代表所取得的成績(jī)，中國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)勝者中已經(jīng)有很多在數(shù)學(xué)研究上取得了重要的成果，做出了突出的貢獻(xiàn).相信在不遠(yuǎn)的將來，中國(guó)將會(huì)出現(xiàn)不少菲爾茲獎(jiǎng)獲得者.無論從整體還是從個(gè)別、從國(guó)外還是從國(guó)內(nèi)來看，數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)數(shù)學(xué)與科學(xué)英才的教育都有非常重要的價(jià)值.

3國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國(guó)經(jīng)驗(yàn)

3.1國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國(guó)組織方式

經(jīng)過多年的探索與實(shí)踐，中國(guó)已形成比較完整的數(shù)學(xué)競(jìng)賽組織體系，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)（現(xiàn)為中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì)）負(fù)責(zé)全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽和數(shù)學(xué)科普活動(dòng)，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)奧林匹克委員會(huì)（現(xiàn)為中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì)）負(fù)責(zé)中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）選手的選拔、國(guó)家代表隊(duì)的培養(yǎng)和對(duì)外聯(lián)系.國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國(guó)組織方式是圍繞IMO中國(guó)國(guó)家隊(duì)的選拔工作，發(fā)展出金字塔式的數(shù)學(xué)奧林匹克選拔體系.IMO中國(guó)國(guó)家隊(duì)的現(xiàn)行選拔流程大致可由圖3表示.以下對(duì)各個(gè)賽事做簡(jiǎn)單介紹.

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽是一項(xiàng)群眾性的、影響力頗大的課外數(shù)學(xué)活動(dòng).近些年，全國(guó)每年約有5萬名中學(xué)生參與此項(xiàng)競(jìng)賽（如果算上各省市組織的預(yù)賽，則有大約100萬人）.因?yàn)閰⑴c人數(shù)眾多，數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)數(shù)學(xué)的普及工作有著重要的作用.同時(shí)，全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽還肩負(fù)著一項(xiàng)重要的選拔任務(wù)——每年選出各省市最優(yōu)秀的選手（每年共350～400人）獲得中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）的參賽資格.

中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克（CGMO）每年舉行一屆，已經(jīng)舉辦了20屆（2021年），比賽時(shí)間在每年8月中旬，每次比賽大約有40個(gè)代表隊(duì)參加，每隊(duì)派4名選手，美國(guó)、俄羅斯、菲律賓、新加坡、英國(guó)、日本、韓國(guó)、中國(guó)香港、中國(guó)澳門和中國(guó)臺(tái)灣也都曾派隊(duì)參加中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克.中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克與IMO接軌，進(jìn)行兩天的筆試，每天上午考4道題目，考試時(shí)間為4小時(shí)（8點(diǎn)到12點(diǎn)）.中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克命題的范圍與IMO一樣，涉及代數(shù)、幾何、組合、數(shù)論等4個(gè)領(lǐng)域，但賽題的難度低于IMO.競(jìng)賽評(píng)出團(tuán)體總分第一名和個(gè)人金、銀、銅牌.從2019年起，總分前15位的選手獲得參加中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克的資格.

中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）即全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng)，由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)組織，是面向高中生的頂級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽之一.CMO的參賽者包括各?。ㄖ陛犑校└咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的優(yōu)勝者，CGMO的優(yōu)勝者，中國(guó)香港、中國(guó)澳門以及應(yīng)邀參加的其他國(guó)家的代表隊(duì).中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克的難度與IMO相當(dāng)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng).從中再選拔60名學(xué)生組成CMO中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì).這60名學(xué)生可以保送進(jìn)入國(guó)內(nèi)的頂尖大學(xué)就讀.國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)在每年的3月份進(jìn)行集訓(xùn)，通過若干次考試，從中選拔出6名學(xué)生組成中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家隊(duì)，參加當(dāng)年的IMO.

3.2國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國(guó)培訓(xùn)體系

中國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)體系呈現(xiàn)“校級(jí)一省市級(jí)一省際級(jí)”的結(jié)構(gòu)，兼顧普及與提高，交叉覆蓋到學(xué)生的各個(gè)年齡段以及各學(xué)習(xí)水平層次.其中，省際級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)主要由一些區(qū)域性數(shù)學(xué)競(jìng)賽和特色夏令營(yíng)活動(dòng)組成，每年可以生成大量的共享資源.此外，教練員培訓(xùn)也是整個(gè)培訓(xùn)體系的一部分.

3.2.1校級(jí)培訓(xùn)的組織方式

數(shù)學(xué)資優(yōu)生的選拔是校級(jí)培訓(xùn)的首要任務(wù)，不能面向所有學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)競(jìng)賽的培訓(xùn).數(shù)學(xué)資優(yōu)生的識(shí)別有以下值得關(guān)注的幾個(gè)方面[17]：對(duì)數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟力與理解的深刻性（體現(xiàn)在模式遷移、方法遷移、思想遷移和創(chuàng)新與突破上），對(duì)數(shù)學(xué)的癡迷度與專注度（體現(xiàn)在釋疑的堅(jiān)持性、探究的堅(jiān)持性、成敗的堅(jiān)持性和完美的堅(jiān)持性上）和數(shù)學(xué)思維的縝密性與跳躍性等.

校級(jí)培訓(xùn)是我國(guó)廣泛開展奧林匹克數(shù)學(xué)教育的基層力量，主要采取第二課堂的形式，有興趣小組、拓展課程等，貫穿中學(xué)的各個(gè)年級(jí)，大多屬于數(shù)學(xué)競(jìng)賽的普及教育，作為課堂學(xué)習(xí)的補(bǔ)充.但在一些有理科特長(zhǎng)的重點(diǎn)中學(xué)中，校級(jí)培訓(xùn)的專門性強(qiáng)、訓(xùn)練水平高，成為培養(yǎng)高水平數(shù)學(xué)奧林匹克選手的主陣地.

從課程與教學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)資優(yōu)教育主要有3種基本形式：充實(shí)、區(qū)分和加速[18].充實(shí)是指為資優(yōu)生提供更豐富的學(xué)習(xí)材料，以擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)視野;區(qū)分則是在某種意義下進(jìn)行能力分組，改編課程，以便為不同水平的學(xué)生提供合適的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì);加速則是提供給學(xué)生密集的材料或更多的信息，以更快的速度進(jìn)行教學(xué)，使資優(yōu)生盡早獲得進(jìn)一步發(fā)展所需的高級(jí)知識(shí)體系.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽的校級(jí)培訓(xùn)中，這3種形式并存.

充實(shí)是指學(xué)校開設(shè)不同主題的數(shù)學(xué)拓展型課程，涵蓋數(shù)學(xué)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)解題思想與方法、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化等，以提供給不同興趣、不同層次的學(xué)生多樣化的選擇，有益于學(xué)生加深數(shù)學(xué)理解，提升素養(yǎng)，開闊視野.對(duì)于數(shù)學(xué)資優(yōu)生，有的學(xué)校組織數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組，利用一些課余時(shí)間進(jìn)行拓展講座或訓(xùn)練，學(xué)生自愿參加，為一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽做準(zhǔn)備.區(qū)分是將少數(shù)有數(shù)學(xué)天賦、成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生匯集在一個(gè)班級(jí)內(nèi)，凡是上數(shù)學(xué)課時(shí)就分到另一個(gè)教室進(jìn)行小班化教學(xué).競(jìng)賽水平突出的學(xué)校，會(huì)在每個(gè)年級(jí)開設(shè)數(shù)學(xué)重點(diǎn)班或理科重點(diǎn)班，學(xué)生入校時(shí)即對(duì)整個(gè)學(xué)段的教學(xué)作整體規(guī)劃，且對(duì)于重點(diǎn)班內(nèi)的學(xué)生進(jìn)行更細(xì)的分層教學(xué).以上海市上海中學(xué)為例，學(xué)校自2008年至2014年，連續(xù)7年培養(yǎng)出IMO金牌選手，其分層模式從1990年開始建立，每年從上千名對(duì)數(shù)學(xué)感興趣、有較強(qiáng)學(xué)習(xí)能力、參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的上海市高一新生中選拔40多名組成數(shù)學(xué)班，創(chuàng)設(shè)專門的課程進(jìn)行培育.從1998年開始，每年又從數(shù)學(xué)班挑選10余名數(shù)學(xué)領(lǐng)悟能力強(qiáng)的學(xué)生組成數(shù)學(xué)小班，進(jìn)行小班化教育，并對(duì)其中涌現(xiàn)的3～4名具有數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能、高天分學(xué)生進(jìn)行個(gè)別化教育[17].許多情況下，采取區(qū)分教學(xué)的組織方式是為了便于對(duì)數(shù)學(xué)資優(yōu)生進(jìn)行加速教學(xué)，即讓學(xué)生更快速地掌握課本知識(shí)以及數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的基礎(chǔ)知識(shí)與常規(guī)技能，為進(jìn)一步提高打好基礎(chǔ).加速是在區(qū)分教學(xué)完成之后，進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的強(qiáng)化訓(xùn)練.

在以上3種數(shù)學(xué)資優(yōu)教育的形式中，“充實(shí)”更著眼于數(shù)學(xué)競(jìng)賽的普及教育，“區(qū)分”與“加速”則兼有普及與提高的功能.區(qū)分教學(xué)與加速教學(xué)會(huì)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，因此并不適合大多數(shù)學(xué)生.

對(duì)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，較多學(xué)校采用“1+n”的導(dǎo)師帶教模式叫即對(duì)有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生安排一個(gè)數(shù)學(xué)教師作為長(zhǎng)期帶教的核心教師，同時(shí)整合校內(nèi)數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)成員（甚至是校外數(shù)學(xué)教授指導(dǎo)團(tuán)隊(duì)）的智慧.核心教師要充分了解每名學(xué)生的特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生未來作預(yù)測(cè)，觀察他們?cè)诟咧须A段的表現(xiàn)與能達(dá)到的高度，制訂出個(gè)性化的培養(yǎng)計(jì)劃，同時(shí)設(shè)計(jì)好每一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)完成適當(dāng)?shù)娜蝿?wù)，并在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間邀請(qǐng)各方向上的專家教授來做專門指導(dǎo).這個(gè)模式的優(yōu)勢(shì)在于基礎(chǔ)與提高并重，讓學(xué)生接觸到不同的老師思考數(shù)學(xué)問題的不同習(xí)慣、切入角度等個(gè)性化的東西，得到更大的發(fā)展.

校級(jí)培訓(xùn)往往會(huì)從課內(nèi)教學(xué)開始，到競(jìng)賽普及，再到競(jìng)賽提高.整個(gè)過程大致可分為基礎(chǔ)訓(xùn)練、專題訓(xùn)練、強(qiáng)化訓(xùn)練、賽前訓(xùn)練這4個(gè)階段，各個(gè)階段強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)有所不同[19]。

基礎(chǔ)訓(xùn)練階段的教學(xué)任務(wù)是教完高中（初中）教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)達(dá)到畢業(yè)水平.其教學(xué)形式和教學(xué)方法與常規(guī)教學(xué)相近，但在內(nèi)容上有適當(dāng)?shù)募由钆c拓寬，在方法上注重滲透競(jìng)賽中的思想方法.專題訓(xùn)練階段的主要任務(wù)是系統(tǒng)講解數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)、問題與方法，同時(shí)也要正確引導(dǎo)，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，進(jìn)一步提升自學(xué)意識(shí)和自學(xué)能力，并始終保持積極向上的學(xué)習(xí)情感.經(jīng)過此階段，學(xué)生可以加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，建立結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，領(lǐng)悟思維方法，拓寬知識(shí)面.強(qiáng)化訓(xùn)練一般僅針對(duì)極少數(shù)水平突出的學(xué)生（主要是CMO及以上水平的參賽選手）.這個(gè)階段是用高水平的競(jìng)賽題來訓(xùn)練學(xué)生，讓頂尖層次的學(xué)生相互競(jìng)爭(zhēng)與合作，并輔以心理引導(dǎo)工作.強(qiáng)化訓(xùn)練的主要目的是讓學(xué)生進(jìn)入較好的賽前狀態(tài)，比如通過模擬測(cè)試，讓學(xué)生熟悉將要參加的比賽形式，增強(qiáng)臨場(chǎng)考試的經(jīng)驗(yàn)，以及通過較平和的填空題訓(xùn)練，使學(xué)生避免知識(shí)的生疏，并對(duì)知識(shí)和方法的缺陷做進(jìn)一步彌補(bǔ).在參加一些省市級(jí)以上的重要數(shù)學(xué)競(jìng)賽之前，不少學(xué)校會(huì)利用假期、課余時(shí)間，或是賽前一到兩周的時(shí)間，為參賽選手組織賽前集訓(xùn)，這也是校級(jí)培訓(xùn)的一個(gè)重要組成部分.大體上說，前兩個(gè)階段與課內(nèi)學(xué)習(xí)的關(guān)系相對(duì)密切，后兩個(gè)階段則著眼于競(jìng)技水平和競(jìng)技狀態(tài)的提升.

3.2.2省市級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽與培訓(xùn)組織

我國(guó)有多項(xiàng)省、市級(jí)的初、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽.這些競(jìng)賽活動(dòng)一般由省、市的數(shù)學(xué)會(huì)主辦.北京、上海等地常年開展初中、高中的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，并有歷年試題解答等系統(tǒng)性的出版資料.有些省份則將省數(shù)學(xué)競(jìng)賽作為全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽的預(yù)賽.

除舉辦比賽之外，各省、市的數(shù)學(xué)會(huì)還組織一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽的培訓(xùn)工作.多個(gè)省市常年舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽夏令營(yíng)活動(dòng)，聘請(qǐng)高校教授、中學(xué)特級(jí)教師、一線教練員為學(xué)生授課.以浙江為例，浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系與浙江省數(shù)學(xué)會(huì)每年聯(lián)合舉辦浙江高中數(shù)學(xué)夏令營(yíng)活動(dòng)，按“高考、高中聯(lián)賽一試、高中聯(lián)賽加試”分層次開展培訓(xùn)，旨在提高中學(xué)生的競(jìng)賽水平和高考水平.

上海則采用另一種頗有特色的培訓(xùn)模式——中學(xué)生業(yè)余數(shù)學(xué)學(xué)校.近二十年來，上海學(xué)生在國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中取得好成績(jī)與上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)校有很大關(guān)系.上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)校是由著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生倡議，經(jīng)上海市教委同意，由上海市數(shù)學(xué)會(huì)主辦、接受市教委教研室指導(dǎo)的一所中學(xué)生業(yè)余數(shù)學(xué)學(xué)校.學(xué)校自1987年建校至今已開辦二十多年.學(xué)生分布于六年級(jí)至十二年級(jí)，每個(gè)年級(jí)有400名左右學(xué)生，集中了上海市最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)尖子.學(xué)校聘請(qǐng)了復(fù)旦大學(xué)、華東師大的教授及上海市最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)競(jìng)賽教練員給學(xué)生進(jìn)行授課，每個(gè)周日給學(xué)生進(jìn)行2小時(shí)左右的數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo).

數(shù)學(xué)學(xué)校的課程與中學(xué)普通課程的節(jié)奏大致吻合，故比較符合資優(yōu)教育中的“充實(shí)”形式.另外，受上海市數(shù)學(xué)會(huì)的委托，上海市中學(xué)生業(yè)余數(shù)學(xué)學(xué)校還承辦了上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題和組織工作，從中選拔一些最優(yōu)秀的學(xué)生組織成一個(gè)小班再進(jìn)行特殊的輔導(dǎo).從1987年以來，上海市進(jìn)國(guó)家隊(duì)的學(xué)生基本上都在數(shù)學(xué)學(xué)校經(jīng)歷過特殊的輔導(dǎo).省市級(jí)培訓(xùn)與校級(jí)培訓(xùn)交叉配合，使數(shù)學(xué)尖子生進(jìn)一步得到發(fā)展，同時(shí)也推動(dòng)教練員隊(duì)伍的建設(shè).

3.2.3數(shù)學(xué)競(jìng)賽教練員的培訓(xùn)

中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)于1988年起建立了“中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克等級(jí)教練員制度”，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)及各省市的數(shù)學(xué)會(huì)，經(jīng)常開設(shè)有中學(xué)青年教師的培訓(xùn)班，最后通過解題、教案等考核來作出相關(guān)的評(píng)定.教練員在職前也有一些學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，例如在一些師范院校，除了數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)課程與教學(xué)實(shí)習(xí)之外，還會(huì)開設(shè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽與解題原理、數(shù)學(xué)方法論等選修課程，為師范生踏上教練員崗位做好前期準(zhǔn)備.

為了不斷提高中國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題水平，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽教練員的命題水平，讓一線的中學(xué)數(shù)學(xué)教練員能參與各級(jí)各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題工作，加強(qiáng)各學(xué)校間的交流，原中國(guó)數(shù)學(xué)普及工作委員會(huì)主任裘宗滬教授提議舉行一項(xiàng)全國(guó)性的數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題研討活動(dòng).2010年，由華東師范大學(xué)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克研究中心主辦的首屆全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題研討會(huì)在上海中學(xué)舉辦.截至2021年，全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題研討會(huì)已經(jīng)順利舉辦了11屆.命題研討會(huì)為命題和訓(xùn)練提供了切磋交流的平臺(tái).在歷屆命題研討會(huì)中，對(duì)如下主題進(jìn)行了深入的探討、研究和交流：什么是好的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題;數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的常用方法;命題教師的命題經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)分享;國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽的歷史與現(xiàn)狀;數(shù)學(xué)資優(yōu)生發(fā)現(xiàn)與培養(yǎng)的理論與實(shí)踐;數(shù)學(xué)競(jìng)賽與數(shù)學(xué)研究等.

3.3國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中國(guó)學(xué)習(xí)資料的出版

雖然中國(guó)的數(shù)學(xué)奧林匹克圖書市場(chǎng)規(guī)模在縮小[20]，但是中國(guó)的數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)習(xí)資料已經(jīng)十分豐富.中國(guó)剛開始舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽的時(shí)候，華羅庚等老一輩數(shù)學(xué)家直接給中學(xué)生做報(bào)告，在這些報(bào)告的基礎(chǔ)上，出版了一批優(yōu)秀的課外讀物——《數(shù)學(xué)小叢書》[21]，在中國(guó)流行頗廣.自1985年中國(guó)正式參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克以來，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的研究和閱讀材料在中國(guó)蓬勃發(fā)展，其內(nèi)容廣泛，風(fēng)格多樣，可以為不同層次的學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)資源.以華東師范大學(xué)出版社為例，它不僅為高于平均水平的學(xué)生出版書籍，如《從課本到奧數(shù)》《優(yōu)等生數(shù)學(xué)》和《解題高手》等，也出版競(jìng)賽科普書籍，如《奧數(shù)教程》[22]和《數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書》[23]系列等，書中問題均有解答或提示.此外，國(guó)內(nèi)還出版了《高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊(cè)》（當(dāng)年各省市預(yù)賽題匯編）和《IMO：奧林匹克數(shù)學(xué)問題集錦》等收集國(guó)內(nèi)外不同層次、不同類別高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題與解答的書籍.

與此同時(shí)，在著名數(shù)學(xué)家、教育家波利亞問題解決思想的影響下，我國(guó)開展了一些基于數(shù)學(xué)方法論的競(jìng)賽數(shù)學(xué)問題解決理論與實(shí)踐的研究.這些書主要講方法論和策略，與課堂教學(xué)重疊，有利于加深對(duì)知識(shí)的理解和尋找解決問題的思路.例如，單博的《解題研究》[24]等書籍是將數(shù)學(xué)問題中的競(jìng)賽數(shù)學(xué)與解題策略相結(jié)合的優(yōu)秀作品，對(duì)競(jìng)賽參與者和指導(dǎo)老師都有很大的啟發(fā).

由于信息獲取和交流的便利，從事競(jìng)賽數(shù)學(xué)教育工作的中國(guó)專家收集了各種國(guó)際資料，并逐步將IMO預(yù)選題和其他國(guó)家的數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的問題和解答發(fā)表出來.這些資料開闊了學(xué)生們的視野，成為奧數(shù)愛好者了解世界各地?cái)?shù)學(xué)競(jìng)賽的一個(gè)窗口.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究和普及的浪潮中，數(shù)學(xué)家、教育研究者和高中教師（甚至學(xué)生）都紛紛在各種數(shù)學(xué)教育刊物上報(bào)道他們的研究成果.其中一些雜志為參賽選手和教練提供了很好的閱讀材料.例如，《中等數(shù)學(xué)》是天津師范大學(xué)、天津市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)、CMS普及委員會(huì)主辦的專業(yè)月刊，內(nèi)容以高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和課外活動(dòng)為主.該刊設(shè)有“數(shù)學(xué)活動(dòng)課程講座”“問題提出與問題解決”“學(xué)生寫作”“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究”“競(jìng)賽之窗”和“課后訓(xùn)練”等欄目.每年，它還發(fā)行兩種特別補(bǔ)充刊.一系列學(xué)習(xí)資料的出版是中國(guó)IMO成績(jī)卓越的重要助力.

4總結(jié)

數(shù)學(xué)奧林匹克是青少年的一項(xiàng)智力競(jìng)賽，在以基礎(chǔ)科學(xué)為競(jìng)賽內(nèi)容的智力競(jìng)賽中歷史最久、舉辦國(guó)家最多、影響最大.開展世界范圍的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，對(duì)于提高中學(xué)生數(shù)學(xué)水平、實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化和發(fā)現(xiàn)有數(shù)學(xué)天賦的青少年都有著重要作用[25].雖然中國(guó)是從1985年才開始參加IMO，但自從參加IMO后便迅速取得了優(yōu)異的成績(jī)，至今一直處于世界領(lǐng)先水平.這是值得自豪的，也是值得宣傳的.但是成績(jī)的取得并不容易，中國(guó)之所以在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中取得優(yōu)異成績(jī)，是因?yàn)橹袊?guó)具備了符合本土特點(diǎn)的、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽的培訓(xùn)體系和豐富的數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)組織形式，并且有一批熱愛數(shù)學(xué)普及事業(yè)、專注數(shù)學(xué)資優(yōu)教育的專家教授和一線教練們?cè)诓恍概?雖然當(dāng)下社會(huì)各界對(duì)數(shù)學(xué)奧林匹克還存在一些誤解，但數(shù)學(xué)奧林匹克發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)資優(yōu)生的作用是毋庸置疑的.很多在數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)上做出突出貢獻(xiàn)的工作者曾經(jīng)有過數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)習(xí)和獲獎(jiǎng)的經(jīng)歷，數(shù)學(xué)奧林匹克優(yōu)勝者日后做出重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的案例有必要讓大眾了解.同時(shí)，中國(guó)在IMO中取得佳績(jī)是很多人努力的結(jié)果，他們中有數(shù)學(xué)家、一線數(shù)學(xué)教師、校長(zhǎng)和教練員等，其不平凡的歷程應(yīng)該為世人所知.此外，中國(guó)組織數(shù)學(xué)奧林匹克的經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)奧林匹克的中國(guó)培訓(xùn)方案應(yīng)該得到梳理和總結(jié)，以便在中國(guó)以及更大的范圍內(nèi)更好地發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)資優(yōu)生，從一個(gè)側(cè)面助力中國(guó)乃至世界數(shù)學(xué)拔尖人才和科技創(chuàng)新人才的培養(yǎng).

[參考文獻(xiàn)]

[1]鄧明立.華夏赤子心，數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)夢(mèng)：評(píng)《陳省身傳》（修訂版）[J].科學(xué)，2014，66（6）：56-57.

[2]馬志明.我們與數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)的差距：關(guān)于我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的點(diǎn)滴思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010，49（11）：1-6.

[3]張君達(dá)，吳建平.數(shù)學(xué)奧林匹克的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)[J].北京師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1990（2）：75-82.

[4]朱華偉.從數(shù)學(xué)競(jìng)賽到競(jìng)賽數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[5]張麗玉，牛偉強(qiáng)，熊斌.奧林匹克數(shù)學(xué)的“誤區(qū)”“價(jià)值”“局限”與“思考”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（3）：99-102.

[6]中國(guó)隊(duì)獲第50屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克團(tuán)體總分第一名[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（9）：66.

[7]周玲.數(shù)學(xué)競(jìng)賽在中國(guó)的實(shí)踐質(zhì)問其教育價(jià)值[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（5）：28-30.

[8]熊斌.奧數(shù)無奈被“綁”被“異化”[J].湖南教育（數(shù)學(xué)教師），2009（7）：27-28.

[9]牛偉強(qiáng)，何憶捷，熊斌.普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽的歷史與啟示：一項(xiàng)實(shí)證研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（1）：76-80.

[10]張君達(dá)，郭春彥.關(guān)于第31屆IMO的分析與評(píng)估[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1991（2）：33-39.

[11]王元.數(shù)學(xué)競(jìng)賽之我見[J].自然雜志，1990（12）：787-790.

[12]華羅庚.寫在1956年“數(shù)學(xué)競(jìng)賽”結(jié)束之后[J]，數(shù)學(xué)通報(bào)，1956（6）：1-2.

[13]王元.回憶三十一屆IMO（上）[J].中等數(shù)學(xué)，2008（10）：2-4.

[14]陳傳理，張同君.競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程[M]. 3版.北京：高等教育出版社，2013.

[15]裘宗滬.數(shù)學(xué)奧林匹克之路：我愿意做的事[M].北京：開明出版社，2008.

[16]International Mathematical Olympiad [EB/OL]. （2021-5-22）[2021-05-23]. http：//imo-official.org/default.aspx.

[17]唐盛昌，馮志剛.數(shù)學(xué)英才的早期識(shí)別與培育初探：基于案例的研究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011，50（3）：11-15.

[18]盛志榮，周超.國(guó)際數(shù)學(xué)資優(yōu)教育的研究綜述[J].浙江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（3）：9-15.

[19]馮躍峰.奧林匹克數(shù)學(xué)教育的理論和實(shí)踐[M].上海：上海教育出版社，2006：225-227.

[20]孔令志，倪明.奧數(shù)圖書的市場(chǎng)表現(xiàn)及應(yīng)對(duì)策略[J].中國(guó)出版，2016（10）：42-45.

[21]華羅庚，段學(xué)復(fù)，吳文俊，等.數(shù)學(xué)小叢書（合訂本）[M].北京：科學(xué)出版社，2021.

[22]單墫，熊斌.奧數(shù)教程[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2018.

[23]何憶捷，熊斌.高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的解題方法與策略[M]//數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書高中卷（8）.3版.上海：華東師范大學(xué)出版社，2020.

[24]單墫.解題研究[M].上海：上海教育出版社，2016.

[25]王元.王元同志在第31屆IMO開幕式上的講話[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1990（8）：44.

（責(zé)任編輯：林磊）