羅寅

高中三角函數(shù)是數(shù)學(xué)課程中相對比較抽象的一部分，一些學(xué)生感覺三角學(xué)習(xí)與實(shí)際問題關(guān)聯(lián)太多，理解起來比較困難。怎樣才能讓學(xué)生突破學(xué)習(xí)三角道路上的一道道難關(guān)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？筆者經(jīng)過多年教學(xué)實(shí)踐，覺得數(shù)學(xué)建模是解決學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的一條有效途徑。

一、數(shù)學(xué)建模在三角函數(shù)中的運(yùn)用

（一）對稱問題

三角函數(shù)內(nèi)容的抽象性和公式變化多樣性使學(xué)生難以把握，若是再加上有復(fù)雜文化背景的題目更是無從下手。在教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模來突破這類題型，可以借助直角坐標(biāo)系這一有效工具，直觀解決抽象的問題。比如，在遇到三角函數(shù)對稱問題時，可以先分析問題、建立模型，找到合適的函數(shù)模型之后，找出函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)加以解決。請看下面的問題：

例題1.在現(xiàn)代社會中，信號處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，我們通過每天都在使用的電話或者互聯(lián)網(wǎng)就能感受到，而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)。函數(shù)f（x）=∑7i=1sin[（2i-1）x]2i-1的圖象，就可以近似的模擬某種信號的波形，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)f（x）是最小正周期為 π的周期函數(shù)

B.函數(shù)f（x）是偶函數(shù)

C.函數(shù)f（x）的圖象對稱軸是直線x=π2

D.函數(shù)f（x）的對稱中心為（π2，0）

【解析】∵f（π-x）=sin（π-x）+sin3（π-x）3+sin5（π-x）5+…+sin13（π-x）13

=sinx+sin3x3+sin5x5+…+sin13x13=f（x）

即f（π-x）=f（x）

∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π2對稱，故選C.

【點(diǎn)評】由“模擬某種信號的波形”可抽象為正弦型函數(shù)——數(shù)學(xué)建模，再運(yùn)用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)——對稱性，根據(jù)f（π-x）=f（x），得到函數(shù)對稱軸方程。本題考查學(xué)生正弦型函數(shù)模型掌握的程度，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識，合理建模、正確計算，判斷A、B、D選項(xiàng)均有誤，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

（二）最值問題

在三角函數(shù)最值問題的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)教師需要幫助學(xué)生掌握三角函數(shù)最值問題的幾種基本模型，讓學(xué)生在解題過程中不斷提高抽象思維、邏輯思維能力，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

三角函數(shù)最值問題有下列四種基本模型：

1.形如f（x）=asinx+bcosx型函數(shù);

2.形如f（x）=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型函數(shù);

3.形如f（x）=asinx+cbcosx+d型函數(shù);

4.含有sinx，cosx和與積的函數(shù)式。

這四種模型的特點(diǎn)分別是：

1.正余弦函數(shù)，并且是一次式。方法是把正余弦轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)，此類函數(shù)可化為：f（x）=a2+b2sin（x+φ），其中tanφ=ba;

2.含有sinx和cosx的二次式，方法是先降次、整理，再化為形式1進(jìn)行求解;

3.分式和分子分母都是sinx和cosx的一次式。方法是去分母或者看成兩點(diǎn)斜率來解決;

4.化簡整理后出現(xiàn)sinxcosx和sinx+cosx的式子。方法是利用（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而變?yōu)槎魏瘮?shù)的最值問題。

對于不同模型，有著不同的解答途徑和方法。在遇到三角函數(shù)與向量綜合的最值問題時，利用向量的知識，將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，合理的建系設(shè)點(diǎn)能起到事半功倍的效果。比如2021年3月深圳一模數(shù)學(xué)卷的第8題：

例題2.（2021年深圳一模，8）騎自行車是一種有氧運(yùn)動，能有效改善心肺功能，深受大眾喜愛。下圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪）、圓D（后輪）的半徑均為3 ，⊿ABE，⊿BEC，⊿ECD均是邊長為4的等邊三角形。設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在啟動該自行車的過程中，AC·BP的最大值為（）

A.18 B.24

C.36 D.48

【解析】向量坐標(biāo)法，應(yīng)用三角函數(shù)求最值。

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-4，0），C（2，23），B（-2，23）;

連結(jié)動點(diǎn)P與點(diǎn)D，令∠xDP=θ，則P（4+3cosθ，3sinθ）

∴AC=（6，23），BP=（6+3cosθ，-23+3sinθ）

∴AC·BP=24+6（3cosθ+sinθ）=24+12sin（π3+θ），

由-1sin（π3+θ）1，得AC·BP最大值為36，故選C.

【點(diǎn)評】本題從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)立意下命題，合理的建系設(shè)點(diǎn)是關(guān)鍵，它考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，檢測學(xué)生計算能力，是向量與三角函數(shù)知識融為一體的好題。運(yùn)用向量知識來解決三角函數(shù)的最值問題，從三角與向量的關(guān)聯(lián)點(diǎn)（角）切入，把向量的夾角與三角函數(shù)的角統(tǒng)一為一類問題，真正展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。二、結(jié)束語

在三角函數(shù)教學(xué)過程中，教師必須緊緊抓住教材中的數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)文化背景下形成學(xué)習(xí)情景，鼓勵學(xué)生在知識形成點(diǎn)、思維發(fā)生點(diǎn)、能力成長點(diǎn)創(chuàng)設(shè)問題，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中體驗(yàn)獲得模型、形成方法、感悟文化的成長過程。教師通過揭示三角函數(shù)的數(shù)學(xué)文化背景，讓學(xué)生知曉三角函數(shù)在推動人類進(jìn)步中的巨大作用，讓學(xué)生真實(shí)體悟到數(shù)學(xué)建模可以有效解決社會生產(chǎn)與現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題。通過學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的不斷攀升，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)真正意義上“三會”：會用數(shù)學(xué)的眼光洞察世界，會用數(shù)學(xué)的思維剖析世界，會用數(shù)學(xué)的語言交流世界，從而將立德樹人目標(biāo)落到實(shí)處。

責(zé)任編輯李少杰