馬益聰，邰亞麗

(1.集美大學(xué) 理學(xué)院，福建 廈門 361021；2.集美大學(xué) 誠毅學(xué)院，福建 廈門 361021)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于自然界與人類社會(huì)的各種現(xiàn)象中，引起了人們的廣泛關(guān)注。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的時(shí)滯包括節(jié)點(diǎn)時(shí)滯和耦合時(shí)滯，已經(jīng)成為影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步及同步控制的重要因素。人們曾試圖將應(yīng)用于混沌系統(tǒng)的脈沖控制[1-3]、自適應(yīng)控制方法[4-5]以及它們之間的組合[6-7]運(yùn)用于復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，將網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)加入控制器，以達(dá)到對網(wǎng)絡(luò)的全局控制，但實(shí)現(xiàn)起來較為困難。為此，Li等[8]提出將牽制控制的思想用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步，其控制思想是控制系統(tǒng)的部分節(jié)點(diǎn)，通過節(jié)點(diǎn)間的相互作用，達(dá)到控制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，使系統(tǒng)達(dá)到同步的目的。

本文研究節(jié)點(diǎn)含時(shí)變時(shí)滯的連續(xù)時(shí)間線性耗散耦合網(wǎng)絡(luò)全局指數(shù)漸近同步控制問題，通過給部分節(jié)點(diǎn)添加自適應(yīng)牽制控制器實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步，得到網(wǎng)絡(luò)的同步準(zhǔn)則；所設(shè)計(jì)的控制器能夠節(jié)約控制成本且易于實(shí)現(xiàn)，數(shù)值仿真結(jié)果也證實(shí)了該控制器的有效性。

1 網(wǎng)絡(luò)模型及預(yù)備條件

考慮由N個(gè)具有時(shí)變時(shí)滯的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

i=1,2,...,N

(1)

式中：xi(t)=(xi1(t),xi2(t),...,xin(t))T∈n是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量；f(·,·)是非線性連續(xù)可微的向量函數(shù)；τ(t)是節(jié)點(diǎn)時(shí)變時(shí)滯；aij是從節(jié)點(diǎn)j到節(jié)點(diǎn)i的耦合強(qiáng)度，矩陣A=(aij)∈N×N表示網(wǎng)絡(luò)連接的耦合矩陣，如果節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間有連接，則aij>0，否則aij=0(i≠j)，且對角元素矩陣G∈n×n是內(nèi)連耦合常數(shù)矩陣；ui∈n是待設(shè)計(jì)的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)控制器。

假設(shè)1 若函數(shù)f(·,·)滿足一致Lipschitz條件，即對于任意xi(t)=(xi1(t),xi2(t),...,

xin(t))T、s(t)=(s1(t),s2(t),...,sn(t))T，總存在正常數(shù)L1,L2>0，使得

(xi(t)-s(t))[f(xi(t),xi(t-τ(t)))-

f(s(t),s(t-τ(t)))]

≤L1‖xi(t)-s(t)‖2+

L2‖xi(t-τ(t))-s(t-τ(t))‖2,

i=1,2,...,N.

(2)

成立，其中‖·‖表示歐幾里得范數(shù)。

2 控制器設(shè)計(jì)及同步分析

令復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(1)與孤立節(jié)點(diǎn)的誤差ei(t)=xi(t)-s(t)，i=1,2,...,N， 則誤差狀態(tài)方程為：

f(xi(t),xi(t-τ(t)))-f(s(t),s(t-τ(t)))+

(3)

式中ei(t)=(ei1(t),ei2(t),...,ein(t))T。

定義2 如果存在常數(shù)P>0、α>0，使得對于任意初始條件，有‖ei(t)‖≤Pexp(-αt)，i=1,2,

...,N，則稱網(wǎng)絡(luò)(1)是全局指數(shù)同步的。

下文將設(shè)計(jì)合適的自適應(yīng)牽制網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)控制器ui∈n，使任意初始狀態(tài)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)實(shí)現(xiàn)全局指數(shù)漸近同步。

現(xiàn)給出自適應(yīng)牽制控制器ui(t)的定義，并選擇前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制，具體如下：

μ>0,δi>0

(4)

式中di為控制器增益，δi為控制器增益參數(shù)。

這時(shí)誤差狀態(tài)方程(3)可變?yōu)椋?/p>

(5)

引理1[9](Schur補(bǔ)定理)：

(2)A(x)<0且C(x)-BT(x)A-1(x)B(x)<0；

(3)C(x)<0且A(x)-B(x)C-1(x)·BT(x)<0

式中:如果AT(x)=A(x),CT(x)=C(x),則上述(1)、(2)、(3)等價(jià)。

主要結(jié)果由下面的定理給出。

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

對V(t)求導(dǎo)，并利用不等式xTy≤|xTy|≤

‖x‖‖y‖,得

W1+W2+W3

利用假設(shè)1、假設(shè)2及式(5),得

‖ei(t-τ(t))‖2(1-ε2))]exp(μt)

經(jīng)整理得，

式中e=(‖e1‖,‖e2‖,...,‖eN‖)T。

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證定理1的有效性，考慮N=20的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)是如下的時(shí)滯Chua系統(tǒng)[11]。

可以驗(yàn)證當(dāng)L1=12.68,L2=0.25時(shí)，非線性函數(shù)f(·，·)滿足假設(shè)1的條件，此時(shí)該時(shí)滯Chua系統(tǒng)是混沌的，外部耦合矩陣取

內(nèi)部耦合矩陣為

圖1為網(wǎng)絡(luò)各個(gè)節(jié)點(diǎn)在不施加控制器時(shí)的誤差狀態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線。由圖1可知，網(wǎng)絡(luò)自身無法達(dá)到同步。

利用MATLAB易知γ=‖G‖=4.788,取μ=0.2,k=0.8,ε1=0.1,ε2=0.2,經(jīng)計(jì)算得

顯然，存在常數(shù)l=8滿足λ9=-6.240 6<

圖2給出了網(wǎng)絡(luò)的前8個(gè)節(jié)點(diǎn)施加文中自適應(yīng)牽制控制器后的同步誤差ei1(t)、ei2(t)、ei3(t),i=1,2,...,20的演化曲線。由圖2可以看出，系統(tǒng)在自適應(yīng)牽制控制下很快實(shí)現(xiàn)了同步。顯然，通過對網(wǎng)絡(luò)中的一小部分節(jié)點(diǎn)施加控制器來實(shí)現(xiàn)控制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)既節(jié)約了成本又能夠易于實(shí)現(xiàn)。

圖1 節(jié)點(diǎn)未施加控制器時(shí)誤差系統(tǒng)的狀態(tài)曲線Fig 1 The state curve of the error system when no controller is applied to the node

圖2 前8個(gè)節(jié)點(diǎn)施加控制器后誤差系統(tǒng)的演化曲線Fig 2 The evolution curve of the error system after the controller is applied to the first 8 nodes

4 結(jié)語

針對一類節(jié)點(diǎn)含時(shí)變時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的同步問題，設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)牽制控制器，對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的部分節(jié)點(diǎn)實(shí)施牽制控制；構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到全局指數(shù)漸近同步的充分條件；最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了文中方法的有效性。