“[2]”引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)

徐志強(qiáng)

在古埃及，尼羅河年年洪水泛濫，洪水退后，便會出現(xiàn)不規(guī)則的新田。在當(dāng)時(shí)，如何分地才能使得每塊田都有合適的尺寸和形狀呢？古埃及人用12個(gè)等距離的繩結(jié)，就能構(gòu)造出邊長為3、4、5的直角三角形，然后又通過拼湊三角形，得到許多其他圖形。

3、4、5是滿足勾股定理的3個(gè)整數(shù)，被稱為勾股三元數(shù)。在西方，勾股定理又叫作畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是由畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的。畢達(dá)哥拉斯青年時(shí)期遠(yuǎn)赴埃及，甚至到印度，學(xué)到了很多知識，尤其是數(shù)學(xué)。對他而言，數(shù)字是神圣的，他相信整個(gè)宇宙都是以整數(shù)建立的。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，小數(shù)不屬于自然界，任何事物都可以用整數(shù)解釋。

但是，這個(gè)想法有個(gè)大問題，恰恰來自勾股定理本身。

例如，我們設(shè)正方形的邊長是1，從一個(gè)角畫一條對角線，就得到兩個(gè)直角三角形，那么它的弦有多長呢？勾和股都是1，弦長就是[2]。什么數(shù)自乘等于2呢？這可沒有整數(shù)解，只有一串復(fù)雜的小數(shù)。因此，這個(gè)簡單的勾股定理例子表明了畢達(dá)哥拉斯的理念并不成立。

希帕索斯是畢達(dá)哥拉斯的門徒，相傳他最先發(fā)現(xiàn)了[2]的問題并把這個(gè)大秘密泄露了出去。當(dāng)時(shí)，這一“悖論”直接觸犯了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致人們在數(shù)學(xué)認(rèn)識上出現(xiàn)了“危機(jī)”。這次危機(jī)也被稱為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

同學(xué)們現(xiàn)在知道[2]是無理數(shù)，但是你們能證明嗎？讓我們一起來試試。

同學(xué)們現(xiàn)在大致能理解這個(gè)危機(jī)中的矛盾，但是數(shù)學(xué)史上卻有很多問題讓數(shù)學(xué)家花了大量的時(shí)間進(jìn)行研究。

公元前370年，這個(gè)矛盾被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的歐多克索斯通過給比例下新定義的方法解決了。按照“萬物皆數(shù)”的理論，這個(gè)對角線是數(shù)，但是人們無法用數(shù)將它表示出來，也無法從幾何角度解釋“邊長為1的正方形的對角線”是什么。歐多克索斯的比例新定義出現(xiàn)后，人們知道了：正方形對角線的長度和邊長成比例，它是比例當(dāng)中的一個(gè)變量。人們能從幾何角度解釋“邊長為1的正方形對角線”了，也就消除了幾何上的危機(jī)。關(guān)于歐多克索斯的比例論，感興趣的同學(xué)可以閱讀歐幾里得的《幾何原本》第二卷“比例論”的相關(guān)內(nèi)容。

雖然如此，但是代數(shù)上的危機(jī)一直沒有被消除，由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)下半葉。

1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上持續(xù)2000多年的第一次大危機(jī)。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比值來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。

這次由“[2]”引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)表明，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的。從此希臘人開始重視演繹推理，并由此建立了幾何公理體系，這不得不說是數(shù)學(xué)思想史上的一次革命。

（作者單位：江蘇省常州市第二十四中學(xué)天寧分校）