劉道生，袁 威，魏博凱，李家晨

（江西理工大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，贛州 341000）

0 引言

非晶合金干式變壓器的鐵心損耗較低，比傳統(tǒng)硅鋼片鐵心變壓器的空載損耗低75%，空載電流下降80%，是較理想的節(jié)能型變壓器[1]。與硅鋼鐵心相比，非晶合金鐵心的疊片系數(shù)低，制造工藝復(fù)雜，材料用量多，所以非晶合金干式變壓器的價(jià)格比硅鋼片干式變壓器高[2]。為降低非晶合金干式變壓器的材料成本，需對變壓器設(shè)計(jì)方案進(jìn)行優(yōu)化。

在函數(shù)優(yōu)化領(lǐng)域，基于現(xiàn)代智能理論的算法主要有遺傳算法[3,4]、粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[5]、混合蛙跳算法[6]和差分進(jìn)化算法[7]等，計(jì)算效率相比窮舉法和其他傳統(tǒng)算法得到較大提高。在變壓器優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域，Zhang L.用多目標(biāo)遺傳算法對海上直流電網(wǎng)中的中頻變壓器損耗計(jì)算進(jìn)行了優(yōu)化[8]。Omorogiuwa E.提出一種與遺傳算法相結(jié)合的非線性規(guī)劃算法，并應(yīng)用于變壓器的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，當(dāng)優(yōu)化不同容量的變壓器時(shí)，該算法表現(xiàn)出一定的魯棒性[9]。Zhang Y.P.在有限元方法基礎(chǔ)上提出一種針對電力變壓器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的改進(jìn)遺傳算法[10]。Tsili M.針對變壓器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題提出一種多目標(biāo)對數(shù)正態(tài)-β差分進(jìn)化算法，該算法有一定的能力保持迭代過程中種群的多樣性和避免過早的收斂[11]。PSO因其獨(dú)特的解空間搜索模式，在解決維數(shù)較多的工程優(yōu)化問題時(shí)，收斂速度較其他算法快，但PSO存在易收斂于局部最優(yōu)的問題。為解決PSO易收斂于局部最優(yōu)的問題，本文提出一種自適應(yīng)粒子交叉搜索策略，改進(jìn)后的粒子群算法（Improved Particle Swarm Optimization，IPSO）提高了收斂成功率。

本文分析了非晶合金干式變壓器優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，描述了非晶合金干式變壓器的人工優(yōu)化計(jì)算過程，選取了優(yōu)化變量，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了基于PSO的變壓器材料成本優(yōu)化模型，為增強(qiáng)PSO的搜索性能，提高收斂成功率，提出一種帶自適應(yīng)粒子交叉搜索策略的IPSO。對基于PSO和IPSO的變壓器優(yōu)化模型進(jìn)行了實(shí)例優(yōu)化，驗(yàn)證了IPSO比PSO擁有更好的搜索性能。對IPSO優(yōu)化算法的研究有益于提高非晶合金干式變壓器優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率，降低變壓器的材料成本，提高非晶合金干式變壓器的市場競爭力。

1 變壓器優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

非晶合金干式變壓器優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型表述為：

式中f（X）、gj（X）分別為目標(biāo)函數(shù)和約束條，j表示約束條件序號，X為優(yōu)化問題的解空間。模型求解即在解空間X內(nèi)尋找目標(biāo)函數(shù)f（X）最優(yōu)且滿足約束條件的方案。

1.1 目標(biāo)函數(shù)和約束條件

根據(jù)優(yōu)化目的選取變壓器的材料成本為目標(biāo)函數(shù)。表1為某廠家315kVA非晶合金干式變壓器人工設(shè)計(jì)方案的成本參數(shù)，變壓器材料成本主要有鐵心、導(dǎo)線和夾件等成本，對各部分材料成本進(jìn)行綜合優(yōu)化，以達(dá)到降低材料成本的目的。

表1 變壓器材料成本參數(shù)

目標(biāo)函數(shù)可表達(dá)如下：

式中，Ch為高壓導(dǎo)線成本，Cl為低壓導(dǎo)線成本，Cco為鐵心成本，Ccl為夾件成本。

在滿足約束條件下，對變壓器的優(yōu)化才有意義。非晶合金干式變壓器參數(shù)優(yōu)化的主要約束條件如下：

1）空載損耗：P0≤Pm1，W；

2）空載電流：I0≤Im，%；

3）負(fù)載損耗：Pk≤Pm2，W；

4）短路阻抗：Umin≤Uz≤Umax，%；

5）線圈溫升：高壓繞組溫升T1

6）鐵心磁通密度：Bmin≤B≤Bmax，T；

7）導(dǎo)線電流密度：J≤Jmax，A/mm2；

8）導(dǎo)線線規(guī)符合線規(guī)表；

9）變壓器效率：E>Emin。

1.2 人工優(yōu)化計(jì)算過程

非晶合金干式變壓器材料成本的人工優(yōu)化計(jì)算過程如圖1所示，跟窮舉法相似，通過逐一計(jì)算解空間X內(nèi)的所有變量組合，找到材料成本更優(yōu)且滿足約束條件的解。各優(yōu)化變量的取值范圍受當(dāng)前經(jīng)驗(yàn)的限制，不一定能找到滿足約束條件的潛在的最優(yōu)解。非晶合金干式變壓器電磁參數(shù)的計(jì)算順序依次為繞組參數(shù)、鐵心參數(shù)、空載損耗、空載電流、負(fù)載損耗、阻抗電壓、低壓和高壓繞組溫升。

1.3 優(yōu)化變量選取

對材料成本和約束條件有影響的參數(shù)主要有繞組參數(shù)、鐵心參數(shù)和絕緣參數(shù)等，根據(jù)設(shè)計(jì)原則僅選其中影響較大的參數(shù)作為優(yōu)化變量，其他參數(shù)作為常量。

非晶合金材質(zhì)鐵心的片寬受工藝影響，有142.24mm、170.18mm和213.36mm三種規(guī)格可選。將鐵心迭厚作為優(yōu)化變量，對鐵心性能和鐵心成本進(jìn)行調(diào)整。

圖1 人工優(yōu)化計(jì)算流程

如式(3)所示，磁通密度B是影響空載損耗P0大小的重要參數(shù)。

式中Pav、K0和GF分別為空載損耗系數(shù)、鐵心單位損耗（W/kg）和鐵心重量（kg）。

如式(4)所示，根據(jù)低壓繞組匝數(shù)和鐵心磁通密度的關(guān)系，將低壓繞組匝數(shù)作為優(yōu)化變量，對鐵心磁通密度進(jìn)行調(diào)整。

式中N為低壓匝數(shù)，B為鐵心磁通密度（T），f為頻率（Hz），U為低壓繞組相電壓（V），S為鐵心凈截面積（m2）。

調(diào)整高壓繞組成本Ch和低壓繞組成本Cl，即調(diào)整繞組導(dǎo)線用材的總重量，將導(dǎo)線線規(guī)作為優(yōu)化變量，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)線用材調(diào)整，同時(shí)實(shí)現(xiàn)對溫升和負(fù)載損耗進(jìn)行調(diào)整。

如式(5)所示，高低壓繞組間主空道寬度是影響有效總漏磁寬度λ的重要參數(shù)，進(jìn)而影響阻抗電壓電抗分量的大小，將其作為優(yōu)化變量。

式中Ux為阻抗電壓電抗分量，K為橫向漏抗系數(shù)，In為低壓額定相電流（A），W為低壓每相匝數(shù)，∑Sd為總漏磁面積（m2），Hx為電抗高度（m），λ為有效總漏磁寬度（m），et為匝電勢（V/匝）。

綜上選用以下參數(shù)作為優(yōu)化變量：鐵心迭厚x1、低壓匝數(shù)x2、低壓繞組的線寬x3和線厚x4、高壓繞組的線寬x5和線厚x6、高低壓繞組間主空道寬x7，自變量間相互獨(dú)立。上述7個(gè)變量實(shí)現(xiàn)了對材料成本和所有約束條件的調(diào)整，并間接影響鐵心和繞組的結(jié)構(gòu)。

2 基于PSO的變壓器優(yōu)化模型

PSO模仿鳥類的覓食過程對解空間進(jìn)行迭代搜索，是一種基于群智能理論的優(yōu)化算法，最早由社會心理學(xué)博士Kennedy和電子工程學(xué)博士Eberhart提出[5]。PSO用于無約束連續(xù)函數(shù)的優(yōu)化，為將其應(yīng)用于變壓器的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，引進(jìn)變量離散化編碼方法和懲罰函數(shù)形成基于PSO的變壓器優(yōu)化模型。

因制造工藝與標(biāo)準(zhǔn)化等限制，優(yōu)化變量中涉及的高壓和低壓線規(guī)變量必須符合目前的工藝要求（標(biāo)準(zhǔn)線規(guī)表），是離散型非整數(shù)變量。受實(shí)際工藝精度影響，其他原本連續(xù)的優(yōu)化變量全部作為離散變量處理。離散變量無法直接參與粒子群算法的迭代計(jì)算，采用整數(shù)編碼的方式對變量進(jìn)行編碼。根據(jù)相應(yīng)精度對所有自變量均采用以數(shù)字1開始的連續(xù)整數(shù)進(jìn)行編碼，PSO的解空間由變量的編碼構(gòu)成，編碼對應(yīng)實(shí)際變量值參與PSO的適應(yīng)度計(jì)算。對變量進(jìn)行編碼時(shí)，根據(jù)實(shí)際設(shè)置變量的取值間隔即精度，如鋁箔和銅箔的厚度以0.1mm為精度。

基于PSO[12,13]的變壓器優(yōu)化模型如下：

式(6)為PSO的迭代方程，w為慣性權(quán)重，wmax和wmin分別為慣性權(quán)重最大和最小值；T為總迭代次數(shù)，t為當(dāng)前迭代次數(shù)；i表示粒子序號，i=1，2，3，···，M，M為粒子總數(shù)；Vi為第i個(gè)粒子的迭代速度；Xi為第i個(gè)粒子，對應(yīng)的實(shí)際變量值為Yi，每個(gè)粒子分別對應(yīng)一個(gè)變壓器參數(shù)方案；pi為第i個(gè)粒子的歷史最優(yōu)位置；pg為粒子群的歷史最優(yōu)位置；c1、c2為大于零的學(xué)習(xí)因子；r1、r2是區(qū)間[0，1]上的隨機(jī)數(shù)。

如式(6)所示，PSO通過粒子群位置的更新迭代實(shí)現(xiàn)對解空間的搜索。迭代過程每個(gè)粒子同時(shí)向自身的歷史最優(yōu)位置pi和粒子群的歷史最優(yōu)位置pg逼近，逼近速度Vi受慣性權(quán)重w影響。慣性權(quán)重w代表粒子有維持自己先前速度的趨勢，較大的w使粒子群收斂速度較慢，偏向?qū)饪臻g的全局搜索，較小w使粒子群收斂速度較快，偏向?qū)饪臻g的局部搜索。粒子位置的優(yōu)劣由適應(yīng)度函數(shù)來評價(jià)，適應(yīng)度越小，粒子位置越優(yōu)。

式(7)為PSO的適應(yīng)度函數(shù)fitness（Yi），引進(jìn)懲罰函數(shù)對約束條件進(jìn)行處理[14]。式(7)中p（Yi）為懲罰函數(shù)，由懲罰系數(shù)λ（t）和標(biāo)準(zhǔn)化約束違反程度vnorm（Yi）兩部分構(gòu)成，fnorm（Yi）為標(biāo)準(zhǔn)化目標(biāo)函數(shù)值。懲罰函數(shù)的作用是增加不可行解的適應(yīng)度，使適應(yīng)度最佳的解是可行解，懲罰力度由懲罰系數(shù)λ（t）控制。

懲罰系數(shù)λ（t）的控制策略如式(8)所示，式中，t為當(dāng)前迭代的代數(shù)，迭代前期t≤n1時(shí)，懲罰系數(shù)取最小值λmin；g為當(dāng)前種群的最優(yōu)解連續(xù)為不可行解的代數(shù)，當(dāng)t>n1，g>y1時(shí)，增大懲罰系數(shù)，ɑ<1；y2>y1，增大懲罰系數(shù)后，當(dāng)前種群最優(yōu)解仍然是不可行解，則持續(xù)增大懲罰系數(shù)，μ<ɑ。

式(7)中標(biāo)準(zhǔn)化約束違反程度vnorm（Yi）和標(biāo)準(zhǔn)化目標(biāo)函數(shù)fnorm（Yi）計(jì)算方式如下：

將粒子的第j個(gè)約束條件表述為：

第i個(gè)粒子在第j個(gè)約束條件上的約束違反程度Gj（Yi）為：

由于約束條件的差異，會出現(xiàn)約束條件對個(gè)體的約束違反程度v（Yi）起主導(dǎo)性作用，用標(biāo)準(zhǔn)化方法處理每個(gè)約束條件的違反程度。找到第一代粒子群中粒子違反各個(gè)約束條件的最大值Gmaxj：

第一代及后續(xù)粒子群的vnorm（Yi）定義為每個(gè)約束違反程度標(biāo)準(zhǔn)值的和，如下所示：

為均衡目標(biāo)函數(shù)和約束條件之間差異，通過標(biāo)準(zhǔn)化方法使目標(biāo)函數(shù)和vnorm（Yi）的量級相同。找到第一代粒子群的最小和最大目標(biāo)函數(shù)值fmin和fmax：

3 IPSO的改進(jìn)策略

為解決PSO易收斂于局部最優(yōu)的問題，增強(qiáng)PSO的搜索能力，提高收斂成功率，提出一種自適應(yīng)粒子交叉搜索策略。當(dāng)粒子群的收斂陷入停滯時(shí)，通過粒子間的交叉，尋找新的全局最優(yōu)解。在迭代過程，每個(gè)粒子以概率Pr與其他隨機(jī)一個(gè)粒子進(jìn)行交叉，概率Pr由當(dāng)前粒子群的收斂情況決定，定義為：

Re為pg連續(xù)不更新的代數(shù)，μ為交叉概率增加系數(shù)。

交叉操作定義為：

其中Xnew1和Xnew1是交叉操作生成的新粒子；X1是當(dāng)前粒子，X2是X1外的隨機(jī)粒子；Rnd是一個(gè)（0，1）區(qū)間的7維隨機(jī)向量。計(jì)算Xnew1和Xnew1的適應(yīng)度，如果比pg優(yōu)則替換pg。

當(dāng)進(jìn)行上述粒子交叉后，pg仍然連續(xù)N代不更新時(shí)，粒子群有可能早熟陷入局部最優(yōu)，將pg與隨機(jī)粒子進(jìn)行交叉，尋找新的全局最優(yōu)解，交叉操作同上，如果新粒子比pg優(yōu)，則新粒子替代pg。

IPSO的計(jì)算流程如圖2所示。

IPSO的計(jì)算流程描述如下：

1）設(shè)置約束條件和變量取值范圍等參數(shù)，生成變量的編碼及對應(yīng)的變量取值數(shù)組。

2）隨機(jī)生成第一代粒子群的位置。

3）計(jì)算所有粒子的適應(yīng)度，更新pi和pg。

4）根據(jù)當(dāng)前pg的更新情況，執(zhí)行粒子交叉搜索策略，如果發(fā)現(xiàn)比pg優(yōu)的新粒子，則新粒子替換pg。

5）判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，如果沒有則根據(jù)pi和pg更新種群位置，進(jìn)行下一次迭代計(jì)算，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)。

4 優(yōu)化實(shí)例分析

圖2 IPSO的計(jì)算流程

以廠家非晶合金干式變壓器SCLBH15-315/10的人工設(shè)計(jì)方案為例，以降低材料成本為目標(biāo)，滿足約束條件下，對變壓器方案進(jìn)行優(yōu)化。性能參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)參考GBT 22072-2008。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，單項(xiàng)損耗可在±10%，總損耗控制在±15%?？紤]到制造誤差與其他因素，單項(xiàng)損耗控制在5%，阻抗電壓控制在±2.5%。根據(jù)非晶合金鐵心固有特性，磁通密度為：1.200T≤B≤1.300T。

PSO和IPSO相同部分的參數(shù)設(shè)置：粒子個(gè)數(shù)M設(shè)置為100個(gè)；最大迭代代數(shù)T設(shè)置為4000代；學(xué)習(xí)因子c1和c2設(shè)置為2；最小慣性權(quán)重wmin設(shè)置為0.3，最大慣性權(quán)重wmax設(shè)置為1.1；最小懲罰系數(shù)λmin設(shè)置為1.5。IPSO的粒子交叉搜索策略參數(shù)設(shè)置：μ設(shè)置為0.005，N設(shè)置為700代。分別用PSO和IPSO進(jìn)行優(yōu)化。PSO和IPSO計(jì)算所得變壓器設(shè)計(jì)方案如表2所示。

表2 PSO與IPSO優(yōu)化方案

表2 （續(xù)）

IPSO優(yōu)化后的材料成本較人工設(shè)計(jì)方案降低9.23%。分別記錄PSO和IPSO的200次計(jì)算結(jié)果，PSO收斂成功率為70.5%，IPSO收斂成功率為89%，IPSO的收斂成功率提高18.5%。

5 結(jié)語

本文以降低非晶合金干式變壓器的材料成本為目標(biāo)，設(shè)計(jì)了基于PSO的變壓器優(yōu)化模型，提出了IPSO的改進(jìn)策略，對非晶合金干式變壓器的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究。得到以下結(jié)論：

1）IPSO優(yōu)化后的材料成本比人工設(shè)計(jì)方案降低9.23%。

2）基于IPSO的變壓器優(yōu)化模型收斂成功率為89%，相比PSO提高18.5%。

3）相比PSO，IPSO更容易尋得滿足約束條件且成本更優(yōu)的解，IPSO可應(yīng)用于其他變壓器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。