初中數(shù)學(xué)卓越課堂教學(xué)的實(shí)踐研究*

張 靜 (江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)教育集團(tuán) 215011)

“瘦、皺、漏、透”四個(gè)字是宋代名賢米芾對太湖石之美的藝術(shù)性概括，詮釋了太湖石瑰奇之形、紋、質(zhì)的“神”與“形”的自然韻致[1]． 在“基于高認(rèn)知的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究”課題研究中，我們提出并研究了基于學(xué)生核心素養(yǎng)提升的“初中數(shù)學(xué)卓越課堂教學(xué)”的內(nèi)在特征：瘦、皺、漏、透. 該視角下的初中數(shù)學(xué)卓越課堂有以下外顯特征：(1)倡導(dǎo)簡約(瘦). 設(shè)計(jì)精巧、思路精妙、板書精美. (2)注重生動(dòng)(皺). 語言生動(dòng)、有效互動(dòng)、思維靈動(dòng). (3)鼓勵(lì)留白(漏). 疏密相間、動(dòng)靜相宜、補(bǔ)白相機(jī). (4)旨在深刻(透). 教材析透、教師講透、學(xué)生悟透．[1]卓越課堂的內(nèi)在追求是通過課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究，課堂互動(dòng)生成研究，概念教學(xué)、解題教學(xué)等的研究實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升和教育教學(xué)質(zhì)量的全面提升．

1 重視數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的研究，體現(xiàn)其精練之美

教學(xué)設(shè)計(jì)是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和教學(xué)對象的特點(diǎn)，將教學(xué)諸要素有序安排，確定合適的教學(xué)方案的設(shè)想和計(jì)劃,一般包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)方法、教學(xué)步驟與時(shí)間分配等環(huán)節(jié)． 目前有些教學(xué)模式還是以傳統(tǒng)的灌輸式為主，忽視學(xué)生自主思考的重要性．[2]有的教學(xué)又過于注重形式，情境創(chuàng)設(shè)喧賓奪主，忽視數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)．

蘇聯(lián)教育家巴班斯基認(rèn)為：無論是教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)內(nèi)容的選擇還是教學(xué)策略、教學(xué)評價(jià)的實(shí)施都應(yīng)把簡約化作為一項(xiàng)重要原則來指導(dǎo)教學(xué). 用“簡約”理念來指導(dǎo)教學(xué)，我認(rèn)為應(yīng)該對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行“瘦身”，就是教學(xué)設(shè)計(jì)清晰、精巧，教學(xué)目標(biāo)明確，外形簡約而內(nèi)涵凸顯，關(guān)注學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)． 精益求精的教學(xué)設(shè)計(jì)是課堂教學(xué)的靈魂，展現(xiàn)的是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的神韻，同時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)該始終貫穿有效提問． 有了問題思維才有方向，有了問題思維才有動(dòng)力，有了問題思維才有創(chuàng)新．

課例1方差．

初中數(shù)學(xué)中的公式教學(xué)是一個(gè)重點(diǎn)，傳統(tǒng)教學(xué)中教師往往側(cè)重于“記憶—應(yīng)用”的平庸模式，這樣的傳統(tǒng)模式抹殺了學(xué)生的能力發(fā)展，沒有培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)． 筆者設(shè)計(jì)“方差”一課時(shí)，先利用簡單的案例讓學(xué)生通過探究學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解公式的現(xiàn)實(shí)意義；再注重公式的本質(zhì)教學(xué)，加強(qiáng)拓展訓(xùn)練，以“提升學(xué)生思維，培養(yǎng)應(yīng)用能力”為教學(xué)目標(biāo)．

例題如下：一次期中考試中，小明、小華、小麗、小軒、小玲五位同學(xué)的數(shù)學(xué)和英語成績等有關(guān)信息如下表所示，請?zhí)畋恚?/p>

小明小華小麗小軒小玲平均分方差數(shù)學(xué)/分7172696870英語/分8882948576

本題意在讓學(xué)生自主練習(xí)如何計(jì)算方差. 大部分教師在學(xué)生得到公式之后便開始利用該公式進(jìn)行大量的練習(xí)，或者進(jìn)入其他教學(xué)環(huán)節(jié)，而我在計(jì)算后根據(jù)知識層面創(chuàng)設(shè)新情境，對學(xué)生進(jìn)行有效提問，引導(dǎo)學(xué)生思考探究：

(1) 進(jìn)入初三后，數(shù)學(xué)、英語滿分成績均提高為130分，于是我們把每人的英語分?jǐn)?shù)加上30分，他們的平均分、方差如何變化？

(2) 數(shù)學(xué)成績擴(kuò)大為原來的1.3倍，則平均分、方差如何變化？

在筆者創(chuàng)設(shè)的以上2種拓展訓(xùn)練情境中，通過對原有例題進(jìn)行追問，讓學(xué)生體會方差的性質(zhì). 學(xué)生自主交流、合作探究，總結(jié)出數(shù)學(xué)規(guī)律：每個(gè)數(shù)據(jù)同時(shí)增加或者減少一個(gè)數(shù)，則方差不變；每個(gè)數(shù)據(jù)擴(kuò)大或縮小一定的倍數(shù)，則方差改變． 將性質(zhì)符號化，得到：已知數(shù)據(jù)a1,a2,a3,…,an的平均數(shù)為x，方差為y，則數(shù)據(jù)2a1-3,2a2-3,2a3-3,…,2an-3的平均數(shù)為，方差為．

提出一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題是增強(qiáng)課堂提問有效性的重要環(huán)節(jié)． 如何適時(shí)恰當(dāng)?shù)靥岢鰡栴}是一門學(xué)問，更是一門藝術(shù)，是提高教學(xué)質(zhì)量的有效手段． 上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，題目雖然簡單但引發(fā)了學(xué)生深刻的思考，拓展得到的情境簡約而不簡單，讓學(xué)生產(chǎn)生歸納意識，實(shí)現(xiàn)從自發(fā)思考到自覺思考的過渡，精準(zhǔn)達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的目標(biāo)．

教學(xué)設(shè)計(jì)的清晰和精巧除了體現(xiàn)在問題設(shè)計(jì)上，同樣體現(xiàn)在板書設(shè)計(jì)上． 好的板書給人賞心悅目的感覺，讓人過目不忘，一節(jié)好課的板書往往是隨著課堂的深入而逐步生成，最終形成完整的知識體系展現(xiàn)在學(xué)生面前，并給學(xué)生留下深刻印象．

課例2中心對稱與中心對稱圖形．

筆者在“中心對稱與中心對稱圖形”中設(shè)計(jì)的板書就充分體現(xiàn)了輕巧的特色(圖1)． 通過板書，學(xué)生了解到中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系，同時(shí)性質(zhì)中最關(guān)鍵的要素被簡潔地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，重點(diǎn)突出，結(jié)構(gòu)清晰明了．

圖1

2 重視課堂互動(dòng)生成的研究，努力培養(yǎng)學(xué)生的自主研究能力

課堂互動(dòng)是師生之間相互作用的交往活動(dòng)過程，也是實(shí)施素質(zhì)教育、培養(yǎng)新型人才的基本途徑． 互動(dòng)是課堂教學(xué)中必不可少的行為，沒有了課堂活動(dòng)就沒有了師生之間、生生之間的對話溝通． 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程． 數(shù)學(xué)教學(xué)重在知行合一，往往動(dòng)“心”之處方是動(dòng)“行”之時(shí)． 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要師生的互動(dòng)碰撞而迸發(fā)火花，形成身臨其境的體驗(yàn)感、生成感，才能始終牽動(dòng)學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)新知識的同構(gòu)；在師生互動(dòng)的“境”中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的完美． 教學(xué)問題的巧妙造就了數(shù)學(xué)教學(xué)新知識生成的生動(dòng)性、學(xué)生思維的靈動(dòng)性．

課例3公式與拼圖．

江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室董林偉先生有個(gè)課題“動(dòng)手做數(shù)學(xué)，初中‘?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)’的設(shè)計(jì)與開發(fā)研究”，研討了如何利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來充實(shí)數(shù)學(xué)課堂，使數(shù)學(xué)課變得生動(dòng)、有趣、好玩. 其中有一節(jié)典型課例“三角形紙板拼圖”，與觀摩活動(dòng)中的“公式與拼圖”有異曲同工之妙．

活動(dòng)1 課堂上，教師拿出準(zhǔn)備好的紙片：邊長為a的正方形紙片，邊長為b的正方形紙片，長寬分別為b和a的長方形紙片若干(圖2). 教師讓學(xué)生隨意拼圖形，啟發(fā)他們拼出更大的正方形或者長方形，而且可以重疊．

圖2

活動(dòng)2 選擇其中兩幅典型圖例(圖3)，歸納出完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2、平方差公式b2-a2=(a+b)(b-a)．

圖3 圖4

活動(dòng)3 教師再給出一副圖例(圖4)，讓學(xué)生歸納得出式子a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)．

活動(dòng)4 學(xué)生間互相合作，任意寫一個(gè)關(guān)于a和b的二次多項(xiàng)式，用準(zhǔn)備好的硬紙片拼成一個(gè)長方形，使這個(gè)長方形的面積可以用這個(gè)式子表示． 如果學(xué)生不能解決，則啟發(fā)學(xué)生用其他形式的二次多項(xiàng)式來表示一個(gè)長方形的面積． 該問題最終讓學(xué)生從游戲中歸納出規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)在玩中學(xué)的目的．

在這節(jié)課中教師只是一個(gè)引導(dǎo)者，學(xué)生分小組合作，通過拼圖找出其中蘊(yùn)含的乘法公式；每個(gè)小組都上臺展示自己的作品并進(jìn)行講解，其他學(xué)生對其點(diǎn)評． 整個(gè)課堂始終以學(xué)生為中心，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用．

3 重視概念教學(xué)和解題教學(xué)的研究，全面提升學(xué)生的綜合思維能力

概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心，也是基石． 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主要組成部分，要充分重視． 對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深刻打磨，有助于學(xué)生在概念生成過程中不斷理解、概括，從而獲得新概念并運(yùn)用概念去解決相關(guān)問題，這是數(shù)學(xué)教育教學(xué)的任務(wù)．[3]初中數(shù)學(xué)中涉及的概念很多，例如有理數(shù)、無理數(shù)、一元一次方程、函數(shù)等，很多教師忽視概念教學(xué)，將概念教學(xué)簡單化，往往讓學(xué)生讀一下、劃一下就當(dāng)學(xué)過了，沒有去揭示概念的深層意義，這不利于學(xué)生全面提升綜合能力．

課例4無理數(shù)．

有理數(shù)與無理數(shù)是小學(xué)數(shù)系的擴(kuò)充，是初中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)． 本節(jié)課在對學(xué)過的數(shù)進(jìn)行整理分類的基礎(chǔ)上給出有理數(shù)的概念，并通過無限逼近的思想方法探索無理數(shù)的概念． 學(xué)生進(jìn)入初中，時(shí)間不長就經(jīng)歷了數(shù)系的兩次擴(kuò)充，第一次擴(kuò)充是在小學(xué)非負(fù)有理數(shù)知識的基礎(chǔ)上引進(jìn)負(fù)數(shù)，對數(shù)的了解擴(kuò)充到有理數(shù)范圍；數(shù)系的第二次擴(kuò)充是引入無理數(shù)，實(shí)際上是將數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍，使學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識進(jìn)一步深化． 因此無理數(shù)的概念課在課時(shí)設(shè)計(jì)時(shí)設(shè)計(jì)了兩節(jié)課是有一定道理的．

課堂引入部分：設(shè)計(jì)兩個(gè)環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)2 剪一剪、拼一拼：請拿出準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長為1的小正方形和剪刀，將小正方形沿對角線剪開，設(shè)法重新拼成一個(gè)大正方形(圖5)． 你知道拼成的大正方形的邊長是多少嗎？

圖5

提問：①設(shè)大正方形的邊長為a，它滿足什么條件？②a可能是整數(shù)嗎？說說你的理由；③a可能是分?jǐn)?shù)嗎？說說你的理由．

學(xué)生們通過充分討論，研究a是否為整數(shù)、a是否為分?jǐn)?shù)，都可以通過舉例來驗(yàn)證自己的觀點(diǎn)．

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中也應(yīng)著眼于“漏”，即“留白”，給學(xué)生一個(gè)自我思考、自我領(lǐng)悟的時(shí)間和空間． 這就要求教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要點(diǎn)面合理布局，給學(xué)生創(chuàng)造自主探究的空間，利用留白空間，引導(dǎo)學(xué)生分析問題時(shí)投入數(shù)學(xué)抽象、直觀想象，親歷感悟，在自由空間中探求數(shù)學(xué)知識細(xì)微、真實(shí)的原貌，呈現(xiàn)卓越課堂的留白綿延之美．

概念教學(xué)中的留白，在于給出的實(shí)例中從面積為1.44的正方形邊長到面積為2的正方形邊長，這里是一個(gè)層層推進(jìn)的過程，a既不是整數(shù)也不可能是分?jǐn)?shù)． 學(xué)生在多次找尋過程中逐步認(rèn)識到a可能不是有理數(shù)，但在現(xiàn)實(shí)生活中確實(shí)存在像a這樣的數(shù)，由此體會到數(shù)又不夠用了，為無理數(shù)的“閃亮登場”做好了鋪墊． 同時(shí)在探索a的過程中，讓學(xué)生感受逼近思想和夾逼方法，這也是卓越課堂“透”的體現(xiàn)． 卓越課堂追求的“透”，即教師講透、學(xué)生悟透． 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)施過程是師生情感體驗(yàn)的過程，從一個(gè)個(gè)知識點(diǎn)到一個(gè)個(gè)掌握數(shù)學(xué)規(guī)律的情感升華，都是學(xué)生高效的深度學(xué)習(xí)，也正是課堂的指向．

最后，學(xué)生們從a2=2探尋得出a的值為1.414 213 562 373…，并認(rèn)定它是有理數(shù)以外的數(shù)，從而有了無理數(shù)的概念．

此外，在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，許多學(xué)生機(jī)械地模仿教師的解題過程，沒有從本質(zhì)上理解其中的數(shù)學(xué)道理，缺少獨(dú)立思考能力，在遇到復(fù)雜題時(shí)不能靈活運(yùn)用所學(xué)知識，解題遇到困難． 因此，中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練． 在習(xí)題評講課中更能體現(xiàn)教師的基本素養(yǎng)． 由一題多解到多解歸一、到通性通法，需要教師從“瘦、皺、漏、透”四個(gè)維度進(jìn)行設(shè)計(jì)和踐行． 教學(xué)設(shè)計(jì)簡約，題目不在多而在于精、在于成體系，即為“瘦”． 教師不是一講到底，而是以問題串的形式層層鋪墊，引發(fā)學(xué)生思考，甚至有時(shí)讓學(xué)生做在前，暴露問題，再引導(dǎo)學(xué)生尋找問題、解決問題，一波幾折，是為“皺”． 解題教學(xué)貴在方法的啟發(fā)與歸納，應(yīng)詳略得當(dāng)，該留給學(xué)生思考、計(jì)算、歸納的就不要越俎代庖，甚至在一節(jié)課結(jié)尾時(shí)留下懸念或思考題，讓思考延伸到課后，是為“漏”． 重點(diǎn)題型和思想方法講透、析透、悟透，是為“透”．

課例5線段最值問題．

關(guān)于求幾何最值問題，我們一般可以借助以下兩個(gè)公理來處理：

(1) 定點(diǎn)到定點(diǎn)：兩點(diǎn)之間線段最短

線段之和最短問題，又稱“將軍飲馬”問題，是中考試題研究中的一個(gè)典型案例，其本質(zhì)是利用對稱思想解決最短路程問題． 近幾年的中考試題中也常常以此為原型，將問題背景換成角、菱形、圓等幾何圖形，求解最短路程問題．

如圖6，A,B在直線l的異側(cè)，這時(shí)，連結(jié)AB即可得到點(diǎn)P，使得AP+BP最短. 這里運(yùn)用的是“兩點(diǎn)之間線段最短”． 將軍飲馬問題可以類似解決：我們只要作點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，根據(jù)軸對稱性可知PB=PB′． 因此，求AP+BP最小就相當(dāng)于求AP+BP′最小，很顯然當(dāng)A,P,B′在一條直線上時(shí)，兩點(diǎn)之間線段AB′最小(圖7)，即AP+PB′最?。?因此連結(jié)AB′，與直線l的交點(diǎn)就是要求作的點(diǎn)P． 我認(rèn)為這里首先要搞清楚為什么要利用“作對稱點(diǎn)”來解決這個(gè)問題；其次為什么這樣做線段之和最短，這里體現(xiàn)留白藝術(shù)，圖7可以讓學(xué)生自行討論體會；最后得出看似三角形兩邊之和大于第三邊，實(shí)質(zhì)也是“兩點(diǎn)之間線段最短”，這里體現(xiàn)解題教學(xué)中的“透”．

圖6 圖7

在進(jìn)行簡單練習(xí)后，可以拋出另外兩個(gè)模型：費(fèi)馬點(diǎn)問題、圓外一點(diǎn)與圓上距離的問題．

費(fèi)馬點(diǎn)問題：如圖8，△ABC的內(nèi)角都小于120°，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連結(jié)PA,PB,PC，當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，求此時(shí)∠APB與∠APC的度數(shù)．

圖8 圖9 圖10

我們要想辦法把PA,PB,PC這三條分散的線段轉(zhuǎn)化為連續(xù)的折線，然后借助兩點(diǎn)之間線段最短找到符合條件的點(diǎn)P． 在解決幾何最值問題過程中，我們常借助對稱變換、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換. 這里牽涉三條線段，因此可以考慮旋轉(zhuǎn)變換．

將△ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′C′P′，則這兩個(gè)三角形全等，CP=C′P′,AP=A′P′,∠PCP′=∠ACA′=60°，得到△PCP′是等邊三角形(圖9)． 因?yàn)镻A+PB+PC=AP′+BP+PP′≤A′B，所以當(dāng)A,P,P′,A′共線時(shí)，PA+PB+PC最小(圖10)，最小值為A′B． 此時(shí)，∠BPC=180°-∠CPP′=120°，∠APC=120°．

學(xué)生通過思考、討論，發(fā)現(xiàn)這里的實(shí)質(zhì)也是“兩點(diǎn)之間線段最短”．

可以再跟學(xué)生回憶一下圓外一點(diǎn)與圓上距離最短的問題的處理方法：如圖11，已知定圓O外有一定點(diǎn)P，圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，PQ何時(shí)最短？通過畫圖，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，這里其實(shí)也蘊(yùn)含著“兩點(diǎn)之間線段最短”．

圖11 圖12

這節(jié)課還可以繼續(xù)拓展：

(2) 定點(diǎn)到定直線：垂線段最短

在初中數(shù)學(xué)中，除了兩點(diǎn)之間線段最短以外，還有一個(gè)相關(guān)的涉及最值的命題，即“垂線段最短”. 這里可以將“將軍飲馬問題”繼續(xù)變式，便得到了下面的例題：

如圖12，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線OM上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和最?。?/p>

解析 作點(diǎn)A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A′，于是AP=PA′，PA+PQ轉(zhuǎn)化為PA′+PQ，根據(jù)“垂線段最短”，從A′向ON作垂線，垂足即為點(diǎn)Q．

圖13 圖14

4 結(jié)語

四字特征彰顯卓越課堂本色，卓越課堂落腳于核心素養(yǎng)提升． 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“瘦、皺、漏、透”是實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必由之路，也是數(shù)學(xué)教師發(fā)展自我的必然路徑． 在構(gòu)建初中數(shù)學(xué)卓越課堂的道路上，筆者將努力著眼于學(xué)生的全面、可持續(xù)發(fā)展，努力讓新的課程理念落實(shí)到每一節(jié)課上，讓課堂成為師生共同成長的空間．

在卓越課堂的引領(lǐng)下，我校中考成績節(jié)節(jié)攀升，建校17年已產(chǎn)生五位中考狀元． 在2020年中考中，700分以上12人，690分以上52人，有近千人達(dá)到四星級高中錄取分?jǐn)?shù)線，在蘇州大市范圍內(nèi)影響廣泛，全國各地多個(gè)代表團(tuán)到我校觀摩學(xué)習(xí)． 今后，我們還將繼續(xù)研究卓越課堂，努力提升教學(xué)質(zhì)量．