一道高考含參恒成立問題求解的幾個角度*

新疆烏魯木齊市實驗學(xué)校 (830026) 符強如

縱觀近幾年的高考壓軸題，命題人比較熱衷偏愛于對導(dǎo)數(shù)知識的考查，其中求參數(shù)的取值范圍問題是重點考查的題型.其求解往往從分離變量法、直接討論法及圖像法三個角度去實施以2020年全國Ⅰ卷理數(shù)21題具體闡述筆者的思考.

1 問題呈現(xiàn)及背景

背景：這道題第(2)問從問題表述來看，傳承了全國卷高考命題樸實、簡約、穩(wěn)健的風(fēng)格.從函數(shù)的角度考察導(dǎo)數(shù)與含參不等式恒成立的綜合應(yīng)用，而現(xiàn)階段以指數(shù)函數(shù)與三次函數(shù)為載體的導(dǎo)數(shù)與含參恒成立求解參數(shù)范圍問題，在高考壓軸題中頻繁出現(xiàn)，它不僅考查了考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，并對考生的思維能力要求較高，真正起到了壓軸的功能.

2 含參恒成立求解的多個視角

角度1 參變分離.若所求參數(shù)比較好分離時，學(xué)生普遍慣用分離變量法求解，這也是平時教學(xué)中講解思路及方向最多的.

角度3 圖像結(jié)合.從圖像方向?qū)ふ彝黄泣c，找到兩個函數(shù)相切這一臨界位置，可以大大簡化運算.

評注：不同的表征形式的求解著眼點就有不同，角度3需要敏銳的眼光，但有時具有一定的局限性.角度2通過變形后能較好找到分離討論的標(biāo)準(zhǔn)，一定要利用好端點.角度1較容易想到，但是需要較強的運算能力.

3 解題反思

數(shù)學(xué)知識體系中的各個知識點并不是孤立存在的，在各個知識之間存在一定的關(guān)聯(lián)，正因為數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，使我們可以從多個不同的角度來思考問題的解決策略，同時也最大程度地證明了數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性.正如本題可以發(fā)現(xiàn)，含有參數(shù)恒成立問題可從以上幾個角度去求解，其求解思路切入各有其特征、使用的范圍和求解步驟.因求解的思路與著眼點也各不相同，所以表現(xiàn)出得解題過程難易程度就亦深亦淺.如，分離變量這一思路最易想到，也好操作，但是最后幾步需要較強的運算能力.又有時候這一思路有時需要多次求導(dǎo)，多次轉(zhuǎn)化.這樣經(jīng)過多角度探究學(xué)生就能夠建立起相關(guān)知識體系，能夠以“一覽眾山”小的姿態(tài)來看待數(shù)學(xué)問題.作為教師唯有如此為學(xué)生的知識延伸和深度做指導(dǎo)，我們的復(fù)習(xí)才能真正優(yōu)質(zhì)高效，學(xué)生認知結(jié)構(gòu)才能更加穩(wěn)定，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育才能更深入落實.