正常重力平均值處地心緯度與偏心率的關(guān)系式

席夢(mèng)寒 歐陽永忠

1 海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢市解放大道717號(hào)，430033 2 南京信息工程大學(xué)遙感與測(cè)繪工程學(xué)院，南京市寧六路219號(hào)，210044

在水準(zhǔn)測(cè)量中，兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)之間的高差是指一點(diǎn)的水準(zhǔn)面相對(duì)于另一點(diǎn)水準(zhǔn)面的垂直距離。高差是由重力位差來確定的[1],但在實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量路徑不同，所得到的高差是不相同的，這對(duì)測(cè)量工作中的精度評(píng)定是不利的。而力高結(jié)合幾何上的高差測(cè)量和重力測(cè)量，使得高差與路徑無關(guān)，同時(shí)可以保證在同一個(gè)等位面上有相同的高程[2-3]。在計(jì)算力高的公式中，涉及到正常重力平均值的選取時(shí)大多以大地緯度45°處的正常重力值作為平均值，但這樣做并不科學(xué)，且容易引起系統(tǒng)性誤差。

要想從地球向各大行星發(fā)射探測(cè)器，慣性導(dǎo)航技術(shù)至關(guān)重要，加速度計(jì)是慣性導(dǎo)航中的關(guān)鍵器件，而正常重力平均值的取值是否合理將直接影響到加速度計(jì)的精度[4]。為了在未來能夠更順利地探索太陽系甚至更遠(yuǎn)的星系，就需要進(jìn)一步研究各天體的正常重力平均值所在的地心緯度隨橢球第一偏心率變化的規(guī)律。本文將正常重力公式進(jìn)行級(jí)數(shù)展開，利用牛頓迭代法等方法推導(dǎo)出正常重力平均值處地心緯度關(guān)于橢球第一偏心率的函數(shù)式。

1 正常重力平均值及其取值的地心緯度

有研究表明，當(dāng)正常重力平均值取大地緯度為35.358 7°處的正常重力值時(shí)，隨著第一偏心率的增大，正常重力平均值處的緯度逐漸增大[5]。考慮到重力為引力和離心力之和，而引力為兩質(zhì)點(diǎn)之間的作用力，對(duì)地球而言，質(zhì)點(diǎn)取在地心更為合理。

以地理緯度60°為例，其地心緯度為59.836°，兩者相差0.164°，相當(dāng)于9.84′，這在天體上的差距是較大的。因此，考慮利用地心緯度來推算正常重力平均值處緯度與第一偏心率的關(guān)系式。

正常重力公式為[6]：

(1)

在計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)中，將大地緯度B表示成地心緯度φ的閉合表達(dá)式：

(2)

將式(2)代入式(1)，得到正常重力值與地心緯度φ的函數(shù)關(guān)系式：

(3)

根據(jù)正常重力公式[7]及橢球大地測(cè)量學(xué)知識(shí)，可以得到：

(4)

要想探究正常重力平均值與地心緯度的關(guān)系，需要將子午圈曲率半徑M和平行圈曲率半徑r轉(zhuǎn)化成地心緯度φ的函數(shù)關(guān)系式：

(5)

根據(jù)式(4)，首先計(jì)算分子部分，積分后可得：

a2γe(a0+a2e2+a4e4+a6e6+a8e8)

(6)

(7)

利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)[8-9]將得到的正常重力平均值對(duì)第一偏心率e進(jìn)行級(jí)數(shù)展開：

(8)

式中，b0=9.786 77,b2=1.598 37,b4=-9.135 31×1010,b6=2.435 19×1013,b8=5.541 12×1025。

為求得正常重力平均值處的地心緯度，令正常橢球上的正常重力平均值公式與正常重力公式相等，建立方程式，得到：

(9)

在計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)中，兩邊同時(shí)約去γe，方程式的左邊部分是e的函數(shù)式Y(jié)，設(shè)t=sin2φ，再將上式兩端平方，經(jīng)過整理得到：

sin2φ=

(10)

將各參數(shù)代入式(10)求出φ0作為初始值，利用符號(hào)迭代法[10]求得正常橢球上正常重力平均值處的地心緯度與第一偏心率的函數(shù)關(guān)系式為：

φ=c0+c2e2+c4e4+c6e6+c8e8

(11)

式中，c0=0.615 48，c2=-0.047 14，c4=1.358 36，c6=80.102 1，c8=4 789.14。

代入橢球第一偏心率的數(shù)值，得到正常橢球上正常重力平均值所在的地心緯度為35.252°。因此，在正常橢球上正常重力的平均值應(yīng)當(dāng)取地心緯度為35.252°處的正常重力值。

2 正常重力平均值所處地心緯度隨橢球第一偏心率的變化規(guī)律

為探討太陽系中部分天體的正常重力平均值處地心緯度的變化規(guī)律，假設(shè)第一偏心率發(fā)生變化，推導(dǎo)正常橢球上正常重力平均值處地心緯度關(guān)于第一偏心率的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)圖像。

2.1 正常重力平均值處地心緯度隨第一偏心率的變化規(guī)律

(12)

φ=c0+c2e2+c4e4+c6e6+c8e8

(13)

式中，c0=0.615 48，c2=-0.047 141，c4=1.353 81，c6=80.252 4，c8=4 821.66。

為了得到正常重力平均值處地心緯度與第一偏心率的變化規(guī)律，在地球橢球第一偏心率(e=0.081 082 029)附近選定變化區(qū)間(0.07,0.09)，并畫出圖形(圖1)。

圖1 正常重力平均值處地心緯度隨第一偏心率變化而變化的曲線Fig.1 The geocentric latitude at the average normal gravity varying with the first eccentricity

從圖1可以看出，正常重力平均值所處的地心緯度會(huì)隨第一偏心率的增大而逐漸減小，圖中標(biāo)出的坐標(biāo)為地球偏心率和正常重力平均值所處的地心緯度。

2.2 正常重力平均值處地心緯度隨部分天體第一偏心率的變化規(guī)律

太陽系中部分天體正常重力平均值處地心緯度及其平均值數(shù)據(jù)如表1所示，利用MATLAB對(duì)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行成圖，得到圖2。

圖2 太陽系中部分天體的正常重力平均值及其所在的地心緯度隨第一偏心率變化而變化的曲線Fig.2 The average normal gravity values of some objects in the solar system and their geocentric latitudes varying with the first eccentricity

表1 部分天體正常重力平均值所處地心緯度及平均值數(shù)據(jù)的匯總

如表1所示，當(dāng)?shù)谝黄穆试龃髸r(shí)，距離地球由近及遠(yuǎn)的天體中正常橢球上正常重力平均值處的地心緯度基本穩(wěn)定在35°～38°之間，只有木星相距較大；另外，木星也是所有天體中正常重力平均值與45°處正常重力平均值相差最大的。從圖2可以看出，當(dāng)?shù)谝黄穆瘦^小時(shí)，正常重力平均值和45°處的正常重力平均值的差值較?。划?dāng)?shù)谝黄穆瘦^大時(shí)，二者差值較大。

3 結(jié) 語

本文主要研究正常重力平均值的取值問題，并探討假設(shè)第一偏心率為變量時(shí)，對(duì)于太陽系中各天體是否仍存在相符的變化規(guī)律。

1)正常重力平均值的選取影響到加速度計(jì)的精度，而加速度計(jì)的精度是影響慣性導(dǎo)航精度最直接和最重要的因素。因此，取地心緯度35.252°處的正常重力值作為正常重力平均值更嚴(yán)謹(jǐn)。

2)推導(dǎo)得出正常重力平均值處地心緯度關(guān)于橢球第一偏心率的函數(shù)關(guān)系式，并得到部分天體數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)地心緯度會(huì)隨第一偏心率增大而增大的變化規(guī)律。

3)太陽系中天體的正常重力平均值處地心緯度大多穩(wěn)定在35°～38°之間，當(dāng)橢球第一偏心率在0～0.2之間時(shí)，本文求得的正常重力平均值與45°處的正常重力平均值相差較??；但當(dāng)橢球第一偏心率大于0.25時(shí)，兩者的差值較大。另外，木星的正常重力平均值處地心緯度與其他天體相差較大，值得進(jìn)一步研究。