例析充分性與必要性常見的三種判斷方法

許萬成

(江蘇省建湖縣第二中學(xué) 224700)

邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，條件與結(jié)論的充分性與必要性是邏輯推理內(nèi)容的重要組成部分.不少同學(xué)在學(xué)習(xí)這一部分的內(nèi)容時(shí)，由于缺少方法的積累常常將自己“繞進(jìn)”去，從而出現(xiàn)丟分的現(xiàn)象.針對(duì)這種情況，筆者根據(jù)平時(shí)的教學(xué)，現(xiàn)結(jié)合部分例題提供三種解決方法，希望能夠給同學(xué)們提供一些幫助.

1.定義法

如果命題“若p則q”為真命題，則p為q的充分條件，q為p的必要條件.

例1“x=2”是“x2-x-2=0”的____條件.

解析易見當(dāng)x=2作為條件時(shí)，結(jié)論x2-x-2=0肯定成立.即命題“x=2時(shí)，x2-x-2=0”為真命題，所以“x=2”是“x2-x-2=0”的充分條件，但是當(dāng)x2-x-2=0作為條件時(shí)，x=2作為結(jié)論則不一定成立.即命題“x2-x-2=0時(shí)，x=2”為假命題.所以“x=2”不是“x2-x-2=0”的必要條件.

故答案為充分不必要.

評(píng)注若“條件?結(jié)論”則具備充分性；若“結(jié)論?條件”則具備必要性.

2.集合法

若條件P所對(duì)應(yīng)的集合為A，結(jié)論q所對(duì)應(yīng)的集合為B，若A?B,則p為q的充分條件，若B?A,則p為q的必要條件.

例2x>2是x>1的____條件.

解析因?yàn)槿我鈞∈{x|x>2}都有x∈{x|x>1}，所以命題“若x>2則x>1”是真命題，故“x>2”是“x>1”的充分條件.又因?yàn)榇嬖趚>1,但是x<2，所以命題“若x>1則x>2”是假命題，即“x>2”不是“x>1”的必要條件.

故答案為充分不必要.

評(píng)注設(shè)集合A={x|x滿足條件p},集合B={x|x滿足條件q}，

如果A?B,那么p是q的充分條件；

如果A?B，那么p是q的充分不必要條件；

如果B?A,那么p是q的必要條件；

如果B?A,那么p是q的必要不充分條件；

如果A=B,那么p是q的充要條件.

3.等價(jià)法

因?yàn)樵}與逆否命題的真假性一致，所以當(dāng)條件與結(jié)論中含有的否定較多時(shí)，我們可以使用等價(jià)法來判斷條件與結(jié)論之間的充分性與必要性.

例3x≠2或y≠8是x+y≠10的____條件.

解析因?yàn)樵}與逆否命題的真假性相同，而命題“若x+y=10，則x=2且y=8”是假命題，所以命題“x≠2或y≠8，則x+y≠10”是假命題，故“x≠2或y≠8”不是“x+y≠10”的充分條件.

又因?yàn)槊}“若x=2且y=8，則x+y=10”是真命題，所以命題“x+y≠10，則x≠2或y≠8”是真命題，所以“x≠2或y≠8”是“x+y≠10”的必要條件.

故答案為必要不充分.

評(píng)注一般遇到命題無法判斷真假時(shí)，我們可以利用它的逆否命題來判定.