陳元千，劉 攀,2，雷丹鳳

（1.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京100083；2.中國地質大學（北京）能源學院，北京100083）

Bear[1]和Fatt[2]利用室內(nèi)巖心模擬的測試資料，分別于1972年和1952年提出了啟動壓力梯度和壓敏效應。在2000年以后，隨著鄂爾多斯盆地致密低滲（K=0.1～10 mD，1 mD=0.986 9×10-3μm2）油氣藏的開發(fā)，啟動壓力梯度和壓敏效應被中國有關專家學者視為兩大重要課題，列入國家重點基礎研究發(fā)展項目（973計劃）、國家重大科技項目和國家自然科學基金項目等。大量的室內(nèi)模擬實驗研究表明對于低滲砂巖儲層啟動壓力梯度和壓敏效應是存在的。在近二十年間，盡管發(fā)表了諸如文獻[3～32]的數(shù)百篇文章，但在理論上并沒有太大的進展，仍停留在初期的感性認識階段。甚至，將線性流的常數(shù)啟動壓力梯度直接用于平面徑向流方程。同時，還將壓敏效應直接用于產(chǎn)量公式。這些不正確的做法，在近一兩年的期刊上仍然可見[30-32]，因此，可以說已到了必須指出和改正的時候。

1.對啟動壓力梯度的反思與推導

Bear[1]于1972年，通過利用一維巖心進行室內(nèi)模擬實驗，研究低滲透地層達西定律應用的下限時，提出了啟動壓力梯度的概念及啟動壓力梯度存在的示意圖（圖1）。

圖1 Bear的壓力梯度示意圖[1]Fig.1 The sketch graph of q vs.J of Bear[1]

Bear由圖1提出了如下的關系式：

當J=J0時，（1）式中的q=0；當J＞J0時，q＞0，即表明流體發(fā)生流動。

汪全林[5]發(fā)表的巖心測試資料（圖2）表明，多數(shù)巖心并不具有啟動壓力梯度，而是通過原點的直線。

1.1 線性流的推導

對于均質、單相、穩(wěn)定、恒溫和層流的一維線性流動，Darcy（1856）根據(jù)實驗建立的流量與壓力梯度關系的微分式為：

圖2 流量與壓力梯度的關系[5]Fig.2 Relation between q and ΔP/L[5]

（2）式中壓力梯度前的負號表示壓力沿流體流動的方向是下降的。對（2）式分離變量，代入積分上下限后為：

由（3）式積分后得達西的線性流壓力梯度與流量的正比關系為：

其中：

對于同一個巖心，若進行多次流量測試（一般為4次），可以得到多個相應的壓力梯度與流量數(shù)據(jù)。將這些數(shù)據(jù)點按（4）式關系繪于直角坐標系中，可以得到一條通過原點的直線。這表明該巖心不存在啟動壓力梯度。如果兩者是一條具有截距的直線，則表示存在啟動壓力梯度（圖3），而且直線的截距就是啟動壓力梯度。因此，當存在啟動壓力梯度時，由（4）式可得：

圖3 線性流測試的ΔP/L與q的關系Fig.3 Relation between ΔP/L vs.q for the linear flow testing

由于線性流動的壓力梯度和啟動壓力梯度均為常數(shù)，若將ΔP/L寫為dP/dx時，（6）式又可寫為：

由于v=q/A，故（7）式可寫為：

應該指出，線性流的上述推導，各項參數(shù)的單位均為SI 制基礎單位，當改為巖心測試的室內(nèi)實用單位（見符號注釋）表示時，（4）式和（8）式分別為：

盡管，在理論分析上可以存在啟動壓力梯度λs，但正如圖2所示，大多數(shù)巖心的測試資料并不能反映啟動壓力的存在。也就是說，個別低滲透巖心是存在啟動壓力梯度的。

1.2 平面徑向流的反思與推導

對于均質、單相、恒溫、穩(wěn)定和層流的達西定律，在地層條件下，流量的微分式為：

已知平面徑向流不同徑向位置的滲流面積為：

將（12）式代入（11）式得平面徑向流的壓力梯度為：

由（13）式看出，平面徑向流的壓力梯度與徑向半徑r為反比的函數(shù)關系，隨r數(shù)值的增加，壓力梯度會顯著的下降。現(xiàn)將（11）式改寫為下式：

由（14）式看出，平面徑向流的壓力梯度與流速成正比。但應當指出，達西定律的這一正比關系，在低速流動時是正確的。然而，在高速流動條件下，就會偏離這一正比關系。Forccheimer（1901）通過實驗與理論研究提出了如下的二項式模型：

在（15）式中a和b兩個常數(shù)，分別稱為達西流動常數(shù)和非達西流動常數(shù)[33-34]，a=μ/K和b=ρβ，這樣（15）式可寫為：

應當注意的是，對于平面徑向流，（16）式等號右邊的第1項為達西流動項，發(fā)生在遠井地帶；第2項為非達西流動項，發(fā)生在近井地帶，因滲流面積的減小，流速的增加所引起的湍流影響。式中β為高速湍流系數(shù)，或慣性阻力系數(shù)，或Forccheimer系數(shù)。應當注意的是，由于平面徑向流的壓力梯度不是常數(shù)，而是徑向半徑r的函數(shù)，因此，其啟動壓力梯度也不是常數(shù)，而是徑向半徑r的函數(shù)。當以ηs（r）表示啟動壓力梯度時，由（16）式可得：

上述平面徑向流的推導中各項參數(shù)的單位均為SI制基礎單位。當改為礦場實用單位（見符號注釋）表示時，（17）式可寫為：

應當注意的是，由于在（18）式中非常數(shù)的ηs（r）的存在，該式是不能求解的。然而，對于高滲透性的油氣井，并不存在啟動壓力梯度，即使對低滲透性的油氣井，經(jīng)過壓裂，也不存在啟動壓力梯度。因此，在進行礦場產(chǎn)能測試時，均采用如下的二項式Quadractic Formula，求解油氣井的絕對無阻流量和流入動態(tài)產(chǎn)能曲線（IPR）：

對于氣藏，（19）式中氣體在地層條件下的密度，由下式計算[35]：

在（19）式中的高速湍流系數(shù)，可由如下的相關經(jīng)驗公式確定[36]：

2.對壓敏效應的反思與推導

所謂的壓敏效應，是指地層滲透率隨地層壓力的下降而降低的現(xiàn)象。Fatt[2]于1952年利用室內(nèi)巖心模擬實驗研究結果得到了滲透率隨上覆壓力（Overburden Pressure）的增加而減小的現(xiàn)象（圖4）。對此，后人稱為壓敏效應（Pressure Sensitivity）。在20世紀70年代美國巖心公司（Core Lab）提出用凈上覆壓力（Net Overburden Pressure）代替上覆壓力，進行壓敏效應的解釋。我國的專家學者采用美國的方法，繪制壓敏效應的關系圖，但其實這樣的做法是缺少理論依據(jù)的。因此，本文給出如下的推導。

圖4 Fatt的KD與POB關系[2]（1 MPa=145.04 psi）Fig.4 Relation between KD and POB of Fatt[2]

圖5為滲透率K隨地層壓力P的變化關系。

由圖5可以看出，隨著地層壓力的下降滲透率是降低的。假設滲透率隨壓力的遞減率采用Arps（1945）的定義為：

由于滲透率隨壓力的下降而降低，因此，（22）式中的dK/dP為正號。

將（22）式分離變量，代入積分上下限為：

由（23）式積分可得下式：

由（24）式看出，滲透率K 與地層壓力降ΔP 呈指數(shù)下降的關系。為了對壓敏效應的滲透率與地層壓降進行無因次分析，設無因次滲透率和無因次地層壓力降分別為：

圖5 K與P的關系Fig.5 Relation between K and P

將（25）式和（26）式代入（24）式得無因次壓敏效應關系式為：

給予不同的ΔPD值，由（27）式求得的無因次壓敏效應圖（圖6）。由圖6看出，當ΔPD＞3時，壓敏效應的影響很小。

圖6 無因次壓敏效應圖Fig.6 Dimensionless pressure sensitivity effects

國外將凈上覆壓力定義為上覆壓力與地層壓力的差值，即：

由于POB為常數(shù)，對（28）式微分得：

將（29）式代入（22）式得：

對（30）式分離變量，代入積分上下限為：

由（31）式積分可得，利用凈上覆壓力表示的壓敏效應關系式為：

將（32）式改寫為下式：

其中：

由（33）式看出，KD與ΔPNOB成指數(shù)下降關系，見圖7。如果改為KD與PNOB作圖，則在KD=1時，對應的PNOB≠0，而應等于PNOB（i）（圖8）。在文獻[13]中已清楚地看到這一問題的存在，如圖9所示，因此，利用KD與PNOB作圖是不正確的。

如果將壓敏效應的滲透率下降關系，代入平面徑向流達西微分式為：

圖7 KD與ΔPNOB的關系Fig.7 Relation between KD and ΔPNOB

圖8 KD與PNOB關系Fig.8 Relation between KD and PNOB

圖9 KD與PNOB關系[13]Fig.9 Relation between KD and PNOB[13]

由于在（35）式中存在變量P，不但導致該式的無解，而且動搖了以常數(shù)滲透率為根基的達西定律。

3.結論

通過本文的理論研究，對于啟動壓力梯度和壓敏效應可以得到如下的初步結論。

1）對于達西的線性流動，壓力梯度和啟動壓力梯度都是常量。Bear（1972）基于一維巖心模擬實驗研究，提出了啟動壓力梯度的概念，而且線性流的壓力梯度與流量成正比的直線關系。通過原點的直線不存在啟動壓力梯度，當直線具有截距時，則存在啟動壓力梯度。并且直線的截距就是啟動壓力梯度。應當強調指出，啟動壓力梯度只存在于致密低滲油氣藏。

2）對于平面徑向流，壓力梯度和啟動壓力梯度都不是常數(shù)，而是徑向半徑r的函數(shù)，因此，得不到像線性流那樣表述啟動壓力梯度的方法。特別指出，絕不能將線性流的啟動壓力梯度，用于平面徑向流方程，筆者曾就此發(fā)表過專文[37]。對于致密低滲透地層的油氣井，由于沒有自然產(chǎn)能，必須經(jīng)過壓裂才能投產(chǎn)。因此，在這種情況下，啟動壓力梯度已失去實際意義。目前在國外的文獻中，均看不到有關啟動壓力梯度引用的內(nèi)容。

3）國內(nèi)外大量的室內(nèi)巖心模擬實驗結果表明，不同滲透率的巖心均存在壓敏效應現(xiàn)象。通過本文的研究表明，壓敏效應滲透率與地層壓力降，或與凈上覆壓力降成指數(shù)的下降關系。在國內(nèi)外的文獻中常用的無因次滲透率KD與凈上覆壓力PNOB的作圖方法是不正確的。這樣做的結果表明，在KD=1時，PNOB≠0，而應當?shù)扔赑NOB（i）。應強調指出，如果承認滲透率隨壓力而改變，那將會動搖達西定律建立的基礎。

符號注釋

（圓括號內(nèi)為實用單位）

q—測試條件和地層條件的流量和產(chǎn)量，m3/s，（巖心cm3/min，礦場m3/d）；

A—滲流面積，m2，（巖心cm2，礦場m2）；

D—滲透率隨壓降的遞減率，Pa-1，（MPa-1）；

h—厚度，m，（巖心cm）；

K—滲透率，m2，（mD）；

Ki—初始滲透率，m2，（mD）；

KD—無因次滲透率，frac，（frac）；

μ—巖心測試流體的黏度或地層流體黏度，Pa·s，（mPa·s）；

L—巖心長度，m，（巖心cm）；

r—徑向半徑，m，（m）；

x—線性流動距離，m，（巖心cm）；

P—壓力或目前地層壓力，Pa，（MPa）；

Pi—原始地層壓力，Pa，（MPa）；

P1—巖心的入口壓力，Pa，（MPa）；

P2—巖心的出口壓力，Pa，（MPa）；

POB—上覆壓力，Pa，（MPa）；

PNOB—P壓力下的凈上覆壓力，Pa，（MPa）；

PNOB（i）—Pi壓力下的凈上覆壓力，Pa，（MPa）；

ΔP—巖心的測試壓差，Pa，（MPa）；

ΔPD—無因次壓降，dim，（dim）；

ΔP/L—巖心的壓力梯度，Pa/m，（巖心MPa/cm，礦場MPa/m）；

dP/dx—線性流的壓力梯度，Pa/m，（礦場MPa/m）；

dP/dr—平面徑向流的壓力梯度，Pa/m，（礦場MPa/m）；

ΔPNOB—凈上覆壓力降，Pa，（MPa）；

J—Bear的壓力梯度，Pa/m，（巖心MPa/cm，礦場MPa/m）；

J0—Bear的啟動壓力梯度，Pa/m，（巖心MPa/cm）；

λs—線性流的啟動壓力梯度，Pa/m，（巖心MPa/cm）；

ηs（r）—平面徑向流的啟動壓力梯度，Pa/m，（MPa/m）；

v—滲流速度，m/s，（cm/s）；

ρ—流體密度，kg/m3，（g/cm3）；

ρg—地層氣體密度，kg/m3，（g/cm3）；

γg—氣體的相對密度，（dim）；

Z—氣體偏差系數(shù)，（dim）；

T—氣體絕對溫度，K，（K）；

β—高速湍流系數(shù)，m-1，（m-1）。