射流碎裂過(guò)程的不穩(wěn)定性理論研究*

曹建明，彭 暢

（長(zhǎng)安大學(xué) 汽車(chē)學(xué)院，西安 710064）

0 前 言

目前，對(duì)三種典型的射流——平面液膜、圓射流和環(huán)狀液膜氣液相界面的數(shù)理?；退榱褭C(jī)理的研究已經(jīng)有所進(jìn)展，但尚未完善[1]。液體表面波線性不穩(wěn)定性理論（或者稱(chēng)為線性穩(wěn)定性理論）是以氣、液體的質(zhì)量、動(dòng)量守恒為基礎(chǔ)，以連續(xù)性方程和納維?斯托克斯（NAVIER-STOKES）方程組作為控制方程組，代入運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件、附加邊界條件和動(dòng)力學(xué)邊界條件，考慮到氣液體速度、密度、液體的表面張力和黏性及氣體可壓縮性等影響，推導(dǎo)得到色散關(guān)系式（dispersion relation）。它是一個(gè)復(fù)數(shù)指數(shù)方程。表面波增長(zhǎng)率隨表面波的波數(shù)或波長(zhǎng)的變化關(guān)系是隱含給出的。波數(shù)k與波長(zhǎng)λ的關(guān)系為k=2π/λ（m?1）。由于色散關(guān)系式很復(fù)雜，無(wú)法得到其解析解。故應(yīng)用穆勒（MULLER）方法[2]編制FORTRAN 語(yǔ)言程序，可以求得色散關(guān)系式的數(shù)值解，得到表面波增長(zhǎng)率隨表面波數(shù)的變化曲線或者曲面。線性不穩(wěn)定性理論模型將不考慮雷諾應(yīng)力的影響，這樣方程組就是封閉的，不需要補(bǔ)充模型。在推導(dǎo)連續(xù)性方程和納維?斯托克斯方程組時(shí)，并沒(méi)有限制流動(dòng)狀態(tài)是層流還是湍流，因而其對(duì)層流和湍流同樣成立[3]。對(duì)于環(huán)境氣流馬赫數(shù)Ma≤1的小擾動(dòng)，可采用線性不穩(wěn)定性理論進(jìn)行研究，實(shí)際上大多數(shù)噴霧應(yīng)用都屬于此范疇；但對(duì)于Ma＞1的超聲速?gòu)?qiáng)湍流，就要基于雷諾方程，采用非線性不穩(wěn)定性理論，并考慮激波和氣體的可壓縮性進(jìn)行分析，研究接受性問(wèn)題，其數(shù)值解還可多支分叉，牽涉混沌問(wèn)題。雖然目前已有基于雷諾方程的解析解研究，但討論的是定常流進(jìn)入靜止氣體環(huán)境中的簡(jiǎn)單模型[3]。對(duì)于液體射流，要探討多級(jí)表面波、氣液交界面相互垂直的瑞利波（Rayleigh wave）和泰勒波（Taylor wave）、表面波的時(shí)間（temporal）、空間（spatial or convective）和時(shí)空（absolute）模式、擾動(dòng)的維數(shù)、線性和非線性不穩(wěn)定性，逐步建立起液體噴射不穩(wěn)定性的理論體系。

1 液體噴射的多級(jí)表面波

在對(duì)柴油機(jī)缸內(nèi)超臨界噴霧油束空間形態(tài)的觀察中發(fā)現(xiàn)，在油束的邊緣有一些梳子狀結(jié)構(gòu)[4]，亞臨界射流與超臨界射流在空間形態(tài)上存在區(qū)別，超臨界油束邊緣的梳子狀結(jié)構(gòu)是由于亞臨界油束邊緣的衛(wèi)星油滴氣化造成的。要從理論上解釋油束邊緣衛(wèi)星油滴的形成過(guò)程，則需要對(duì)射流的碎裂機(jī)理進(jìn)行更為深入的研究。射流的多級(jí)表面波和瑞利?泰勒聯(lián)合表面波理論的共同應(yīng)用以期用來(lái)解釋噴霧液束邊緣析出衛(wèi)星液滴的物理現(xiàn)象[5]。射流表面波是多級(jí)的，由此使得亞臨界噴霧液束的邊緣呈現(xiàn)出粗糙的表面。多級(jí)表面波是疊加而成的，第二級(jí)波附著在第一級(jí)波之上，而第三級(jí)波又附著在第二級(jí)波之上。該方式是由NAYFEH[6]、JAZAYERI 等[7]建立的。多級(jí)疊加之后的氣液交界面變得不再光滑，而是錯(cuò)落有致，粗糙不平。而粗糙不平表面的進(jìn)一步碎裂最終將會(huì)導(dǎo)致衛(wèi)星液滴的析出。目前，對(duì)于多級(jí)表面波的研究是采用非線性不穩(wěn)定性理論進(jìn)行的，根據(jù)表面波振幅解數(shù)值計(jì)算得到的疊加波形圖還能夠預(yù)測(cè)射流的碎裂長(zhǎng)度和碎裂時(shí)間。由于非線性不穩(wěn)定分析的推導(dǎo)過(guò)程異常繁復(fù)，僅第三級(jí)波的動(dòng)力學(xué)邊界條件已經(jīng)有50 余項(xiàng)，微分方程的求解就更加困難，目前最高研究到三級(jí)波。

2 氣液交界面的瑞利波和泰勒波

射流流體團(tuán)塊在周?chē)鷼怏w的擾動(dòng)下會(huì)在氣液體交界面處形成表面波，沿射流噴射方向的表面波稱(chēng)為瑞利波或者R 波，沿橫向或者旋轉(zhuǎn)方向的表面波稱(chēng)為泰勒波或者T 波。對(duì)于平面液膜沿液體噴射的x方向的是瑞利波，沿y方向的是泰勒波。通常，泰勒波的振幅要比瑞利波的小得多，因此目前大多數(shù)學(xué)者都忽略了射流氣液交界面的泰勒波，而僅研究瑞利波。在這種情況下，對(duì)于平面液膜，沿x方向液膜是一個(gè)波動(dòng)的曲面，而沿y方向液膜則是一個(gè)未經(jīng)擾動(dòng)的面。假設(shè)a為平面液膜在噴嘴出口處的半厚度（m），ξ為表面波的振幅（m）。則a+ξ為瑞利波的波峰面，a-ξ為瑞利波的波谷面。當(dāng)考慮有泰勒波時(shí)，沿y方向液膜是一個(gè)經(jīng)過(guò)擾動(dòng)的波形曲面。對(duì)于僅考慮瑞利波的情況，表面波為一光滑曲面，沒(méi)有衛(wèi)星液滴的形成。液膜僅在頂端裂開(kāi)，形成帶狀斷裂帶，斷裂帶隨后在液體表面張力的作用下聚集成棒狀或線狀，再碎裂成大量的離散液滴。對(duì)于圓射流，沿液體噴射的z方向的是瑞利波，沿旋轉(zhuǎn)θ方向的是泰勒波。與平面液膜同樣，圓射流的泰勒波的振幅也要比瑞利波的小得多，沿θ方向是一個(gè)未經(jīng)擾動(dòng)的圓面，而沿z方向則是波動(dòng)的曲面。假設(shè)a為圓射流在噴嘴出口處的半徑，ξ為表面波的振幅。則圓面a+ξ為瑞利波的波峰面，圓面a-ξ為瑞利波的波谷面。當(dāng)考慮有泰勒波時(shí)，沿θ向是一個(gè)經(jīng)過(guò)擾動(dòng)的波形圓面。對(duì)于環(huán)狀液膜，沿θ方向是兩個(gè)內(nèi)環(huán)半徑為ri、外環(huán)半徑為ro的未經(jīng)擾動(dòng)的圓面，而沿z方向則是兩個(gè)波動(dòng)的內(nèi)外環(huán)曲面。其中：圓面ri+ξ、ro+ξ為瑞利波的波峰面，圓面ri-ξ、ro-ξ為瑞利波的波谷面。當(dāng)考慮有泰勒波時(shí)，沿θ方向是內(nèi)外環(huán)兩個(gè)經(jīng)過(guò)擾動(dòng)的波形圓面。環(huán)狀液膜受環(huán)境氣體的擾動(dòng)作用，在噴嘴出口處就產(chǎn)生了波動(dòng)，其碎裂長(zhǎng)度比平面液膜的短。當(dāng)不考慮泰勒波時(shí)，環(huán)狀液膜的內(nèi)外環(huán)均為光滑的曲面，沒(méi)有衛(wèi)星液滴形成。液膜在頂端碎裂形成環(huán)形斷裂帶，隨后再碎裂成大量的細(xì)小液滴。RAYLEIGH[8]認(rèn)為環(huán)形斷裂帶的厚度就等于液膜碎裂時(shí)頂端的厚度，寬度等于一個(gè)波長(zhǎng)。在我們對(duì)瑞利?泰勒聯(lián)合波的理論研究中發(fā)現(xiàn)，如果沒(méi)有了瑞利波，泰勒波將不復(fù)存在；但如果沒(méi)有了泰勒波，瑞利波仍然存在。說(shuō)明瑞利波是主波，在液體射流的碎裂過(guò)程中起主導(dǎo)作用。

3 表面波的時(shí)間、空間和時(shí)空模式

對(duì)射流表面波的研究分為時(shí)間模式、空間模式和時(shí)空模式。時(shí)間模式表面波擾動(dòng)表達(dá)式的形式與空間和時(shí)空模式的不同，而空間模式和時(shí)空模式擾動(dòng)表達(dá)式的形式相同，只是各參數(shù)的含義不同。對(duì)于線性不穩(wěn)定性理論，目前大多數(shù)學(xué)者研究的只是時(shí)間模式，對(duì)于空間模式和時(shí)空模式的研究較少。對(duì)于非線性不穩(wěn)定性理論，則采用時(shí)空模式以及共軛復(fù)數(shù)方式進(jìn)行研究。

對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù) exp（a+ib），如果虛部b=0，稱(chēng) ea為該指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)項(xiàng)。如果a=0，則稱(chēng)eib為該指數(shù)函數(shù)的波動(dòng)項(xiàng)。如果用 exp（a+ib）來(lái)描述液體射流氣液交界面處的表面波行為，那么當(dāng)a為正時(shí)，表面波振幅持續(xù)波動(dòng)增長(zhǎng)，射流變得越來(lái)越不穩(wěn)定；當(dāng)a為負(fù)時(shí)，表面波振幅持續(xù)波動(dòng)減小，射流變得越來(lái)越穩(wěn)定。波動(dòng)項(xiàng)eib的值介于?1～1 之間，即-1≤eib≤1。當(dāng)b=0時(shí)，eib=1；而當(dāng)b=π時(shí)，eib=-1。如果增長(zhǎng)項(xiàng)ea僅與時(shí)間t相關(guān)，即a=f（t），則稱(chēng)之為時(shí)間模式；如果增長(zhǎng)項(xiàng)ea僅與位移x相關(guān)，即a=f（x），則稱(chēng)之為空間模式；如果增長(zhǎng)項(xiàng)ea與時(shí)間t和位移x均相關(guān)，即a=f（x,t），則稱(chēng)之為時(shí)空模式。在時(shí)間模式與空間模式中，a與b中的一個(gè)為復(fù)數(shù)，則另一個(gè)必須為實(shí)數(shù)。對(duì)于線性不穩(wěn)定性分析，時(shí)間模式瑞利波的擾動(dòng)表達(dá)式的一般形式為 exp（ωt+ikx）。式中：對(duì)于直角坐標(biāo)系的平面液膜，ω稱(chēng)為復(fù)數(shù)特征頻率（eigenfrequency）（r/s 或s?1），ω=ωr+iωi；t為時(shí)間（s）；k為實(shí)數(shù)波數(shù)（wave number），簡(jiǎn)稱(chēng)波數(shù)（m?1）；x為位移（m）。將ω=ωr+iωi代入exp（ωt+ikx），得擾動(dòng)表達(dá)式 exp（ωrt+iωit+ikx）。式中：ωr為時(shí)間軸表面波增長(zhǎng)率（s?1）；k為空間軸波數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)波數(shù)（m?1）；ωi為時(shí)間軸波數(shù)，即實(shí)數(shù)特征頻率（s?1）；推導(dǎo)得到的色散關(guān)系式為f（ωr,k）=0和f（ωr,ωi）=0，研究多采用前者。空間模式瑞利波的擾動(dòng)表達(dá)式的一般形式為exp（iωt+ikx），式中：ω為實(shí)數(shù)特征頻率，k為復(fù)數(shù)波 數(shù)。將 實(shí) 數(shù)ω和復(fù)數(shù)k=kr+iki代入exp（iωt+ikx），得擾動(dòng)表達(dá)式 exp（-kix+iωt+ikrx）。則-ki為空間軸表面波增長(zhǎng)率，由于ki本身為負(fù)，因此-ki為正；kr為波數(shù)；ω為實(shí)數(shù)特征頻率，色散關(guān)系式為f（-ki,kr）=0和f（-ki,ω）=0，研究多采用前者。時(shí)空模式瑞利波擾動(dòng)表達(dá)式的一般形式與空間模式相同，為 exp（iωt+ikx），式中：ω為復(fù)數(shù)特征頻率，k為復(fù)數(shù)波數(shù)。將復(fù)數(shù)特征頻率ω=ωr+iωi和復(fù)數(shù)波數(shù)k=kr+iki代入，得擾動(dòng)表達(dá)式 exp（-ωit-kix+iωrt+ikrx）。式中：-ki為空間軸表面波增長(zhǎng)率，-ωi為時(shí)間軸表面波增長(zhǎng)率，同樣因ωi本身為負(fù)，故-ωi為正；ωr為特征頻率（s?1），kr為波數(shù)。色散關(guān)系式分別取f（-ki,ωr,kr）=0和f（-ωi,ωr,kr）=0，研究多采用前者。非線性不穩(wěn)定性分析采用 exp（iωt+ikx）形式，與線性不穩(wěn)定性分析對(duì)比時(shí)采用 exp（-ωit-kix+iωrt+ikrx）形式，色散關(guān)系式通常取f（-ωi,kr）=0進(jìn)行研究。時(shí)間模式僅有時(shí)間軸表面波增長(zhǎng)率ωr，而沒(méi)有空間軸表面波增長(zhǎng)率，表達(dá)了射流氣液交界面表面波的時(shí)域特征；空間模式僅有空間軸表面波增長(zhǎng)率-ki，而沒(méi)有時(shí)間軸表面波增長(zhǎng)率，表達(dá)了表面波的空域特征。時(shí)空模式既有時(shí)間軸表面波增長(zhǎng)率-ωi，又有空間軸表面波增長(zhǎng)率-ki；既有特征頻率ωr，又有波數(shù)kr，表達(dá)了表面波的時(shí)空域特征。

GASTER、LI、史紹熙的時(shí)間模式和空間模式擾動(dòng)表達(dá)式不同，但時(shí)空模式的擾動(dòng)表達(dá)式均相同，為 exp（iωt+ikx）。對(duì)于時(shí)間模式、空間模式和時(shí)空模式擾動(dòng)表達(dá)式有三種劃分方法：①GASTER[9]的時(shí)間模式和空間模式擾動(dòng)表達(dá)式均為 exp（iωt+ikx），則時(shí)間模式、空間模式和時(shí)空模式擾動(dòng)表達(dá)式都是完全相同的；②LI 等[10-13]的時(shí)間模式擾動(dòng)表達(dá)式為exp（ωt+ikx），空間模式和時(shí)空模式的是exp（iωt+ikx）；③CHEN 等[14]、史紹熙等[15]的時(shí)間模式和空間模式擾動(dòng)表達(dá)式為 exp（ωt+ikx），時(shí)空模式的是exp（iωt+ikx）。史紹熙還選用時(shí)間模式f（ωr,ωi）=0與空間模式f（-ki,ωr）=0的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，顯示正反對(duì)稱(chēng)波形的時(shí)間模式與空間模式?jīng)]有明顯的差別。其實(shí)，對(duì)于模式的劃分是可以相互轉(zhuǎn)化的，只是參數(shù)符號(hào)代表的含義不同而已，大多數(shù)學(xué)者采用的是第2 種劃分方法。GASTER 和史紹熙分別從不同的表面波擾動(dòng)表達(dá)式出發(fā)，分析了時(shí)空模式以及時(shí)間模式和空間模式之間的參數(shù)變換關(guān)系。

3.1 GASTER 變換

假設(shè)擾動(dòng)如實(shí)際射流表現(xiàn)的那樣，既在時(shí)間上擾動(dòng)與發(fā)展，又在空間上擾動(dòng)與發(fā)展。以平面液膜表面波為例，將縱向位移，即振幅記為

式中：ξ0為噴嘴出口處的初始擾動(dòng)振幅（m）。將時(shí)間模式記為（T），空間模式（S），時(shí)空模式（T,S）。則時(shí)空模式擾動(dòng)表達(dá)式可以滿(mǎn)足柯西?黎曼關(guān)系式

和

3.2 史紹熙變換

史紹熙時(shí)間模式和空間模式擾動(dòng)振幅表達(dá)式采用

則時(shí)空模式擾動(dòng)表達(dá)式可以滿(mǎn)足柯西?黎曼關(guān)系式（2）。時(shí)間模式與空間模式的相互變換為

應(yīng)該注意的是，史紹熙空間模式對(duì)于參數(shù)的定義與GASTER 的不同。其ωr（S）對(duì)應(yīng)于GASTER 的-ωi（S），而ωi（S）對(duì)應(yīng)于GASTER 的ωr（S）=ω（S）。此外，對(duì)于三種模式中大多數(shù)學(xué)者所采用的第2 類(lèi)劃分方法，時(shí)空模式的時(shí)間軸表面波增長(zhǎng)率-ωi對(duì)應(yīng)于時(shí)間模式的時(shí)間軸表面波增長(zhǎng)率ωr，即-ωi（T,S）～ωr（T）；時(shí)空模式的波數(shù)kr對(duì)應(yīng)于時(shí)間模式的波數(shù)k，即kr（T,S）～k（T）；時(shí)空模式的特征頻率ωr對(duì)應(yīng)于時(shí)間模式的特征頻率ωi，即ωr（T,S）～ωi（T）。時(shí)空模式的空間軸表面波增長(zhǎng)率-ki對(duì)應(yīng)于空間模式的空間軸表面波增長(zhǎng)率-ki，即-ki（T,S）～-ki（S）；時(shí)空模式的波數(shù)kr對(duì)應(yīng)于空間模式的波數(shù)kr，即kr（T,S）～kr（S）；時(shí)空模式的特征頻率ωr對(duì)應(yīng)于空間模式的特征頻率ω，即ωr（T,S）～ω（S ）。

實(shí)際上，在進(jìn)行時(shí)間模式或空間模式色散準(zhǔn)則關(guān)系式和穩(wěn)定極限推導(dǎo)時(shí)，都不會(huì)將ω或k寫(xiě)成（ωr+iωi）或（kr+iki）的復(fù)數(shù)形式。只是在編制數(shù)值計(jì)算程序時(shí)，時(shí)間模式要將ω定義為雙精度型復(fù)數(shù)，k定義為雙精度型實(shí)數(shù)?？臻g模式要將ω定義為雙精度型實(shí)數(shù)，k定義為雙精度型復(fù)數(shù)。時(shí)空模式要將ω和k寫(xiě)成（ωr+iωi）和（kr+iki）的復(fù)數(shù)形式，并且要將ωr、ωi、kr、ki分別定義為雙精度型實(shí)數(shù)。對(duì)于數(shù)值計(jì)算的復(fù)數(shù)結(jié)果，要根據(jù)模式選擇復(fù)數(shù)的實(shí)部和/或虛部進(jìn)行輸出。

4 擾動(dòng)的維數(shù)

平面液膜采用x、y、z方向的直角坐標(biāo)系；圓射流和環(huán)狀液膜采用r、θ、z方向的圓柱坐標(biāo)系。三維擾動(dòng)的質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件、附加邊界條件、動(dòng)力學(xué)邊界條件，推導(dǎo)得到擾動(dòng)振幅、擾動(dòng)壓力和擾動(dòng)速度表達(dá)式都是三維的。對(duì)于平面液膜，由于液膜很薄，即沿z方向上的厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于沿x方向上的長(zhǎng)度以及沿y方向上的寬度。因此，液膜碎裂主要受到振幅在z方向上表面波的影響。對(duì)于圓射流和環(huán)狀液膜，液束沿r方向的變形比沿θ方向和z方向變形大得多[16-18]。一維擾動(dòng)有兩個(gè)動(dòng)量守恒方程，一個(gè)質(zhì)量守恒方程、一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件、一個(gè)附加邊界條件、一個(gè)動(dòng)力學(xué)邊界條件，推導(dǎo)得到一個(gè)一維振幅、一個(gè)一維壓力、一個(gè)一維速度表達(dá)式。三維擾動(dòng)可簡(jiǎn)化為一個(gè)三維質(zhì)量守恒方程、三個(gè)三維動(dòng)量守恒方程、一個(gè)一維運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件、兩個(gè)二維附加邊界條件、一個(gè)一維動(dòng)力學(xué)邊界條件，推導(dǎo)得到一個(gè)一維振幅、一個(gè)一維壓力、三個(gè)三維速度表達(dá)式。

5 液體噴射的線性和非線性不穩(wěn)定性理論

5.1 線性和非線性不穩(wěn)定性的區(qū)分

通常，流體運(yùn)動(dòng)基本方程還要加上初始條件和邊界條件才能構(gòu)成流體力學(xué)的定解問(wèn)題[19]。流體運(yùn)動(dòng)所遵循的控制方程組是普適的，因此流動(dòng)的個(gè)性就體現(xiàn)在初始條件和邊界條件的差異上。初始條件是對(duì)不恒定流動(dòng)指定初始時(shí)刻流場(chǎng)的某些流動(dòng)參數(shù)。也就是說(shuō)，能夠滿(mǎn)足某流場(chǎng)初始條件的流體流動(dòng)形態(tài)可能有多種，流體流動(dòng)方程可能有很多個(gè)，并不是唯一的。這些流體流動(dòng)方程在某一設(shè)定的初始時(shí)刻均受限于流場(chǎng)的初始條件，但這些流體流動(dòng)方程卻是彼此不相同的，這就構(gòu)成了滿(mǎn)足初始條件的不恒定流動(dòng)問(wèn)題。邊界條件是指運(yùn)動(dòng)方程的解在流場(chǎng)的邊界上必須滿(mǎn)足的運(yùn)動(dòng)學(xué)、附加和動(dòng)力學(xué)條件。線性不穩(wěn)定性理論對(duì)于控制方程組的定解只需要引入邊界條件，即運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件、附加邊界條件和動(dòng)力學(xué)邊界條件，而不必設(shè)置初始條件就能夠解決流體不恒定流動(dòng)的定解問(wèn)題。由 LI 和JAZAYERI[7]建立的共軛復(fù)數(shù)模式非線性不穩(wěn)定性理論對(duì)于連續(xù)性和動(dòng)能守恒控制方程組的定解則除了要引入邊界條件，即運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)邊界條件以外，還要設(shè)置初始條件才能夠解決流體不恒定流動(dòng)的定解問(wèn)題，否則定解的條件就不夠。從他們的研究角度說(shuō)明，非線性不穩(wěn)定性理論不如線性不穩(wěn)定性理論那樣普適。而由曹建明和研究生王德超、舒力、張凱妹等建立的時(shí)空模式非線性不穩(wěn)定性理論對(duì)于連續(xù)性和動(dòng)能守恒控制方程組的定解僅引入邊界條件，即運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)邊界條件，而不必設(shè)置初始條件也能夠求得氣液相微分方程的定解，盡管時(shí)空模式的擾動(dòng)振幅也同樣能夠滿(mǎn)足共軛復(fù)數(shù)模式的初始條件。而且時(shí)空模式非線性不穩(wěn)定性理論能夠很好地與線性不穩(wěn)定性理論相銜接。

線性不穩(wěn)定性理論的研究對(duì)象是小擾動(dòng)，對(duì)于小擾動(dòng)來(lái)說(shuō)，納維?斯托克斯方程組中的非線性項(xiàng)可以忽略不計(jì)。動(dòng)量守恒方程組中擾動(dòng)速度對(duì)于位移或者旋轉(zhuǎn)角度坐標(biāo)一階偏導(dǎo)數(shù)前面的系數(shù)如果是變量，則認(rèn)為是非線性項(xiàng)；如果是常數(shù)，則認(rèn)為是線性項(xiàng)。線性不穩(wěn)定性理論即將動(dòng)量守恒方程組中的非線性項(xiàng)直接刪除，而保留線性項(xiàng)。該推導(dǎo)過(guò)程稱(chēng)為對(duì)動(dòng)量守恒方程組的線性化。此外，在動(dòng)力學(xué)邊界條件中，表面波擾動(dòng)振幅ξ對(duì)于順流方向位移坐標(biāo)x的一階偏導(dǎo)數(shù)ξ,x表示ξ在x方向變化曲線的斜率。在射流噴射的不穩(wěn)定性理論中，當(dāng)ξ,x=1時(shí)，表面波的切線為一條45°直線。如果ξ,x≤1，表面波波動(dòng)曲線比較平緩，ξ,x可以被忽略，則認(rèn)為擾動(dòng)為小擾動(dòng)，其表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為線性的；如果ξ,x＞1，ξ在x方向的曲線的斜率較大，則認(rèn)為擾動(dòng)不再是小擾動(dòng)，而是大擾動(dòng)，其表達(dá)式為非線性的。非線性表面波將比線性表面波更加不穩(wěn)定，也更接近于液體噴射與霧化的實(shí)際情況。因此，ξ,x=1是區(qū)分小擾動(dòng)與大擾動(dòng)的界限，也是采用線性不穩(wěn)定性分析與非線性不穩(wěn)定性理論進(jìn)行分析的界限。在推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)邊界條件時(shí)，將ξ,x忽略掉的推導(dǎo)過(guò)程稱(chēng)為線性化。

5.2 時(shí)間和空間模式線性不穩(wěn)定分析

通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)形式色散關(guān)系式的數(shù)值計(jì)算，可以對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行不穩(wěn)定性分析。對(duì)于時(shí)間模式，色散關(guān)系式將分別得到f（ωr,k）=0和f（ωr,ωi）=0曲線，由于兩條曲線幾乎重合，通常取前者進(jìn)行研究。曲線最高點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的表面波增長(zhǎng)率為時(shí)間軸支配表面波增長(zhǎng)率ωr-dom，所對(duì)應(yīng)的波數(shù)為支配波數(shù)kdom。ωr-dom-kdom就是射流的最不穩(wěn)定工況點(diǎn)，該點(diǎn)處射流最易碎裂，其所具備的流動(dòng)條件就是射流碎裂的必要條件。曲線與橫坐標(biāo)的遠(yuǎn)端交點(diǎn)為截?cái)嗖〝?shù)k0，或者稱(chēng)為穩(wěn)定極限，它表示波數(shù)的范圍。

對(duì)于空間模式，色散關(guān)系式為f（-ki,kr）=0和f（-ki,ω）=0，兩條曲線也幾乎重合，通常取前者進(jìn)行研究?？臻g模式的支配工況點(diǎn)為（-ki-dom）-kr-dom。

5.3 時(shí)空模式線性不穩(wěn)定分析

5.3.1 三維曲面圖

對(duì)于時(shí)空模式，色散關(guān)系式為f（-ωi,ωr,kr）=0和f（-ki,ωr,kr）=0，可以繪制出兩個(gè)三維曲面圖。每個(gè)曲面均有一個(gè)峰值點(diǎn)，其支配表面波增長(zhǎng)率：時(shí)間軸為-ωi-dom，空間軸為-ki-dom。支配波數(shù)分別是（ωr-dom,kr-dom）T或者（ωr-dom,kr-dom）S。如果繪制的是f（ωi,ωr,kr）=0和f（ki,ωr,kr）=0三維曲面圖，那么求取的就不是一個(gè)峰值點(diǎn)，而是鞍點(diǎn)，即曲面的最低點(diǎn)。以前可以繪制三維曲面圖的等高線圖（contour map），再尋求等高線圖的夾點(diǎn)（pinch point），LI 等[13]在進(jìn)行時(shí)空模式不穩(wěn)定分析中采用的就是這種方法，計(jì)算效率很低?，F(xiàn)在計(jì)算機(jī)的運(yùn)行速度已經(jīng)飛速發(fā)展，無(wú)需采用繪制等高線圖的方法來(lái)求取鞍點(diǎn)的數(shù)值解，直接繪制三維曲面圖就可以了。然而，盡管計(jì)算機(jī)技術(shù)已經(jīng)十分先進(jìn)，但是數(shù)值計(jì)算仍然會(huì)面臨不小的困難。在數(shù)值計(jì)算中，要預(yù)設(shè)一個(gè)公差數(shù)Nt。對(duì)于時(shí)間模式或空間模式的一維計(jì)算，預(yù)設(shè)Nt=10?4。當(dāng)采用穆勒方法前后兩次相鄰計(jì)算的相對(duì)誤差小于等于Nt時(shí)，計(jì)算即被中止。也就是說(shuō)，當(dāng)兩次計(jì)算的相對(duì)誤差在萬(wàn)分之一以?xún)?nèi)時(shí)，就可以認(rèn)為計(jì)算已經(jīng)相當(dāng)精確地得到了數(shù)值解。對(duì)于時(shí)空模式的三維計(jì)算，計(jì)算網(wǎng)格劃分得越細(xì)，則越接近于數(shù)值解。要想達(dá)到與一維數(shù)值計(jì)算同樣的計(jì)算精度，三維網(wǎng)格數(shù)就要?jiǎng)澐譃?013～1014，少了會(huì)使得網(wǎng)格過(guò)粗，極有可能漏掉數(shù)值解；如果采用網(wǎng)格搜索方法縮小網(wǎng)格范圍，網(wǎng)格分區(qū)的計(jì)算量也很龐大。即使對(duì)于鞍點(diǎn)有所預(yù)估而減少分區(qū)的搜索數(shù)目，也有可能搜索到謬根。如此巨大的計(jì)算量，目前的計(jì)算機(jī)很難完成。因此，三維曲面圖很難繪制。我們將采用穆勒方法，得到數(shù)值解的三維空間曲線圖，以代替三維空間曲面圖。BERS[20]認(rèn)為三維曲線數(shù)值解與三維曲面解等效，可以用來(lái)分析時(shí)空模式不穩(wěn)定性。

5.3.2 波動(dòng)的相速度與群速度

指數(shù)函數(shù)可以與三角函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍相互轉(zhuǎn)換，并且以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)表示。對(duì)于正/余弦波，相速度（phase velocity）的定義為：?jiǎn)我活l率波的位相面在介質(zhì)中的傳播速度。對(duì)于擾動(dòng)振幅為ξ=ξ0exp［i（ωt+kx）］的液體射流，相速度定義式為

群速度（group velocity）定義為波包的包絡(luò)在介質(zhì)中的增長(zhǎng)速度。群速度定義式為

將方程（11）代入方程（10），可得群速度與相速度之間的關(guān)系

按照色散類(lèi)型可以分為：①vp,ω＜0，則vg＜vp，稱(chēng)為正常色散；②vp,ω＞0，則vg＞vp，稱(chēng)為反常色散；③vp,ω=0，則vg=vp，稱(chēng)為無(wú)色散。當(dāng)群速度和相速度均為變量時(shí)，為正常色散或者反常色散；當(dāng)群速度與相速度均為固定的常數(shù)時(shí)，那么vp,ω=0。根據(jù)方程（12），則vg=vp=c（式中c 為常數(shù)），為無(wú)色散。例如，對(duì)于群速度的均值和相速度的均值，必然有。

5.3.3 三維曲線圖

時(shí)空模式的三維曲線圖的縱坐標(biāo)為時(shí)間軸表面波增長(zhǎng)率或者空間軸表面波增長(zhǎng)率-ωi/-ki，橫坐標(biāo)為特征頻率ωr和波數(shù)kr。在BERS[20]的論文中，縱坐標(biāo)為波的增長(zhǎng)率，橫坐標(biāo)為速度Vx和Vy。此處角標(biāo)“0”表示支配參數(shù)“dom”。ω′=ω-kV，在“dom”點(diǎn)，，則kV=k0V0=ω0i。那么，。式中：ω0i為常數(shù)，和ω i均為變量?？梢赃M(jìn)行縱坐標(biāo)變換為，同理，也可以對(duì)進(jìn)行縱坐標(biāo)變換為-ki。橫坐標(biāo)Vx和Vy可以為時(shí)間坐標(biāo)和空間坐標(biāo)。對(duì)于射流，V=vg。由于相速度與群速度具有函數(shù)關(guān)系（12），即vp=f（vg），因此橫坐標(biāo)vgt和vgx可以變換為vpt和vpx。由于特征頻率ωr與相速度vpt成正比，波數(shù)kr與相速度vpx正相關(guān)。因此，橫坐標(biāo)又可以從vpt和vpx再變換為ωr和kr。曲線f（-ωi,ωr,kr）=0和曲線f（-ki,ωr,kr）=0的初終點(diǎn)截距分別為均速。射流的數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示，通常初點(diǎn)的ωr1=kr1≈0，則。終點(diǎn)坐標(biāo)與時(shí)間軸截?cái)嗵卣黝l率ωr0和空間軸截?cái)嗖〝?shù)kr0有關(guān)，即。

對(duì)于f（-ωi,ωr,kr）=0圖，每固定一個(gè)-ki，就可獲得一個(gè)（-ωi-dom）-（ωr-dom,kr-dom）T點(diǎn)。改變-ki的值，就可以得到一組（-ωi-dom）-（ωr-dom,kr-dom）T點(diǎn)，繪制出（-ωi-dom）-（-ki）曲線圖。圖中曲線有一個(gè)特殊點(diǎn)，即-ki=0的點(diǎn)，它是時(shí)間模式的點(diǎn)。也就是說(shuō)，時(shí)間模式是時(shí)空模式的一個(gè)特例。同理，對(duì)于f（-ki,ωr,kr）=0圖，每固定一個(gè)-ωi，就可以得到一個(gè)（-ki-dom）-（ωr-dom,kr-dom）S點(diǎn)。改變-ωi的值，就可以得到一組（-ki-dom）-（ωr-dom,kr-dom）S點(diǎn)，繪制出（-ki-dom）-（-ωi）曲線圖。圖中曲線也有一個(gè)特殊點(diǎn)，即-ωi=0的點(diǎn)，它是空間模式的點(diǎn)。也就是說(shuō)，空間模式也是時(shí)空模式的一個(gè)特例。（-ωi-dom）-（-ki）和（-ki-dom）-（-ωi）曲線圖的峰值點(diǎn)就是時(shí)空模式的最不穩(wěn)定工況點(diǎn)。通過(guò)改變計(jì)算過(guò)程中的流動(dòng)參數(shù)，如液流雷諾數(shù)Rel、韋伯?dāng)?shù)Wel、歐拉數(shù)Eul、歐尼索數(shù)Ohl、馬赫數(shù)Mal、氣流馬赫數(shù)Mag、氣液流速比U、氣液密度比ρ、氣液壓力比P等，可以分析這些參數(shù)對(duì)時(shí)間模式、空間模式和時(shí)空模式碎裂過(guò)程的影響。

5.4 非線性不穩(wěn)定分析

非線性不穩(wěn)定性分析是要對(duì)第一級(jí)波、第二級(jí)波和第三級(jí)波的支配參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，得到第一級(jí)波、第二級(jí)波和第三級(jí)波的擾動(dòng)振幅初始函數(shù)表達(dá)式，再分別乘以，即可得到第一級(jí)波、第二級(jí)波和第三級(jí)波的擾動(dòng)振幅值。根據(jù)各時(shí)間點(diǎn)三級(jí)波的擾動(dòng)振幅值，繪制第一級(jí)波、第二級(jí)波和第三級(jí)波的波形圖，以及三級(jí)波的波形疊加圖，得到射流的碎裂長(zhǎng)度和碎裂時(shí)間。

6 結(jié) 語(yǔ)

國(guó)際上對(duì)于噴霧理論的研究已經(jīng)有100 多年了，發(fā)表的論文也不少，但系統(tǒng)全面的研究尚未見(jiàn)報(bào)道。理論上，數(shù)值計(jì)算可以適用于任何工況，除非是計(jì)算設(shè)備不能滿(mǎn)足計(jì)算需求，例如存儲(chǔ)空間和/或運(yùn)行速度不夠，以及計(jì)算數(shù)據(jù)溢出等情況。其數(shù)值計(jì)算范圍要比試驗(yàn)研究廣泛得多。由于自由射流碎裂過(guò)程的影響因素很多，且對(duì)一些影響因素十分敏感。因此，理論研究應(yīng)將重點(diǎn)放在揭示射流規(guī)律性的普適原理之上，以起到指導(dǎo)實(shí)踐的深層次作用。本文在閱讀了大量文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，集二十余年的不斷積累，做了一點(diǎn)歸納總結(jié)，希望能夠供國(guó)內(nèi)外從事噴霧理論的研究者參考。