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      開(kāi)發(fā)解題智慧——探討解題方法的改進(jìn)

      2021-03-07 09:19:28福建省長(zhǎng)汀縣策武中學(xué)陳廷長(zhǎng)
      天津教育 2021年36期
      關(guān)鍵詞:數(shù)形題目分類

      ■福建省長(zhǎng)汀縣策武中學(xué) 陳廷長(zhǎng)

      一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維開(kāi)發(fā)初中生的解題智慧

      初中生數(shù)學(xué)解題智慧的開(kāi)發(fā),可以從其大腦思維能力著手,而在數(shù)學(xué)解題中,存在豐富有用的數(shù)學(xué)解題思維,比如常見(jiàn)的數(shù)形結(jié)合解題思維,這是一種有效的數(shù)學(xué)解題思維方式,也非??简?yàn)初中生的大腦分析和理解能力。在講解一個(gè)初中數(shù)學(xué)函數(shù)題目時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思維,將題目中涉及的圖形、數(shù)量關(guān)系構(gòu)建起來(lái),以利用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化迅速解答數(shù)學(xué)題目。

      請(qǐng)看下面這道初中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題:直線y=x+3的圖像與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與線段AB交于C,把△ABO的面積分成2:1兩部分,請(qǐng)求出直線l的解析式。

      解題分析:從題目來(lái)看,似乎給出的數(shù)據(jù)信息并不多,但也存在很多的數(shù)學(xué)知識(shí)信息點(diǎn),如直線方程、圖像、三角形面積等。那么如何運(yùn)用這些數(shù)據(jù)信息來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)解題思維則是后續(xù)問(wèn)題解答需要思考的問(wèn)題。其中,為了有效開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題智慧,可以從數(shù)形結(jié)合角度,結(jié)合圖像中的數(shù)據(jù)信息條件,利用以形代數(shù)的思維方法,求解出相關(guān)的坐標(biāo)進(jìn)而得出解析式。

      解題過(guò)程:看圖中信息,可以獲知其中的已知條件,即直線AB的斜率是k=1,由此得到OA=OB,從而推導(dǎo)出S△AOC=1/2 OA×yc;S△BOC=1/2 OA×(-xc),又∵S△AOC:S△AOC=2或者1/2,∴直線的方程可以是y=-2x或者y=-1/2x.

      二、運(yùn)用轉(zhuǎn)化解題思路開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題智慧

      除了上述提到的數(shù)形結(jié)合思維之外,很多初中數(shù)學(xué)題型還能運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維來(lái)解答,而轉(zhuǎn)化思維也是考驗(yàn)學(xué)生大腦思維能力的一種有效思維方式,且有助于開(kāi)發(fā)學(xué)生的解題智慧,使其可以懂得選擇比較適合解題的方法,從而形成良好的綜合解題意識(shí)。那么在實(shí)際解答數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題時(shí),教師需要引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的幾何問(wèn)題盡可能轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題來(lái)解決,或者是歸結(jié)為一個(gè)比較熟悉的問(wèn)題來(lái)解決,這樣通過(guò)簡(jiǎn)單或者熟悉的問(wèn)題答案返回去求得復(fù)雜問(wèn)題的答案,從而促使學(xué)生激活自身潛在的轉(zhuǎn)化思維智慧。

      請(qǐng)看下面這道初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題:已知右圖中,P是正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn),∠PAD=∠PDA=15°,請(qǐng)求證:△PBC是正三角形。

      解題思路:初看這道數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題,似乎給出的數(shù)據(jù)信息不多,但是學(xué)生想要求證出△PBC是正三角形,也是需要找到解題突破口,才能有效解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。其中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系分析問(wèn)題,以提升解題的效率。

      解題過(guò)程:根據(jù)題目條件,將題目中的幾何圖像進(jìn)行拆分,即在正方形內(nèi)作△DGC與△ADP全等,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出△PDG為等邊三角形,那么依據(jù)SAS證出△DGC≌△PGC,從而推出DC=PC,進(jìn)而得到PB=DC=PC,由此得到△PBC是正三角形。

      解題反思:在這道初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中,教師可以從轉(zhuǎn)化思維角度,引導(dǎo)學(xué)生靈活將題目中的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量分析,以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化,這樣更能夠節(jié)約解題時(shí)間。

      三、運(yùn)用分類討論思維開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題智慧

      在一道初中數(shù)學(xué)題目中往往需要多步驟分析和探索,才能全面、有效地解答出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案。其中,在初中數(shù)學(xué)解題中,學(xué)生應(yīng)該遵循如下分類討論步驟:第一,明確數(shù)學(xué)題目討論的內(nèi)容;第二,正確選擇和確定數(shù)學(xué)解題的分類標(biāo)準(zhǔn),從而對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行合理的分類;第三,根據(jù)分類進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的逐類討論,由此提出解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方案;第四,歸納討論的結(jié)果,并得出結(jié)論。另外,在應(yīng)用分類討論思想時(shí),學(xué)生也需要注意按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行,否則將無(wú)法進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)問(wèn)題分類討論。可是,無(wú)論學(xué)生遇到的是怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題,都應(yīng)該結(jié)合具體的數(shù)學(xué)題目,先思考是否能夠運(yùn)用分類討論思想,再對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行作答。

      請(qǐng)看下面這道初中數(shù)學(xué)問(wèn)題:解不等式|x-5|-|2x+3|<1

      解題分析:對(duì)于初中數(shù)學(xué)不等式的解答,往往涉及分類討論思想,而教師可以運(yùn)用分類討論逐步培育學(xué)生良好的討論習(xí)慣,由此逐步激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題智慧。首先,學(xué)生需要明確討論的對(duì)象,也就是不等式|x-5|-|2x+3|<1。其次,選擇相關(guān)的分類標(biāo)準(zhǔn),這就需要學(xué)生將不等式中的絕對(duì)值去掉,從而有效確定分類討論的區(qū)間,即,x≤-3/2,-3/2<x≤5,x>5。最后,根據(jù)這些分類的目標(biāo)及標(biāo)準(zhǔn),對(duì)這些討論的區(qū)間進(jìn)行分析,從而求解出答案。

      解題過(guò)程:

      (1)當(dāng)x≤-3/2時(shí),原不等式化為-(x-5)-[-(2x+3)]<1,解得x<-7,結(jié)合x≤-3/2,故x<-7是原不等式中的一個(gè)解。

      (2)當(dāng)-3/2<x≤5時(shí),原不等式化為-(x-5)-(2x+3)<1,解得x>1/3,又∵-3/2<x≤5,∴1/3<x≤5。

      (3)當(dāng)x>5時(shí),原不等式化為:x-5-(2x+3)<1,解得x>-9,結(jié)合x>5,故x>5是原不等式的解。

      那么綜合上述分析結(jié)果,最終得到不等式的解為:x<-7或者x>1/3

      解題反思:當(dāng)遇到需要分類討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),學(xué)生應(yīng)該運(yùn)用分類討論的思想,對(duì)其中的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分析和討論,這樣有助于一步步激活自身的解題智慧與能力。

      綜上所述,對(duì)于初中生數(shù)學(xué)解題智慧的開(kāi)發(fā),教師可以從各種數(shù)學(xué)解題思維角度來(lái)培育學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力,由此逐步開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題智慧,進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率。

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