張盼盼，史小鋒，伊 寅，宋 文

(中國船舶集團有限公司 第705研究所，陜西 西安 710077)

0 引 言

隨著高新技術(shù)不斷地應(yīng)用，魚雷正朝著高航速、遠航程、大航深、低噪聲和精確制導(dǎo)方向發(fā)展，有必要研究一種功率近1MW級別的動力推進系統(tǒng)。燃氣渦輪機是設(shè)計大功率熱動力推進系統(tǒng)的最佳選擇，由于結(jié)構(gòu)和體積的限制，燃氣渦輪機一般采用單級、短葉片、部分進氣、沖動式構(gòu)型，軸承轉(zhuǎn)子是其中重要的組成部件，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速可以達到50 000 r/min[1]。

軸承轉(zhuǎn)子部件的工作環(huán)境相對惡劣，當(dāng)轉(zhuǎn)子主軸高速運轉(zhuǎn)時，它承受著作用于渦輪盤的扭矩，轉(zhuǎn)子重量產(chǎn)生的彎矩和離心力帶來的應(yīng)力等，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計和制造方面的誤差，都會產(chǎn)生重大問題并導(dǎo)致事故發(fā)生[2]。包括振動噪聲，轉(zhuǎn)子失穩(wěn)，軸系斷裂等，這些事故發(fā)生的部分原因是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生過大的振動。振動過大的原因之一就是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速設(shè)計不合理[3]。

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定的情況下，采用彈性支承能夠降低支承剛度，從而降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，最后使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速遠離臨界轉(zhuǎn)速并且平穩(wěn)運行[4]。

常見的彈性支承有彈性環(huán)式和鼠籠式，彈性環(huán)結(jié)構(gòu)簡單，重量輕，占用空間較小[5]，且具有良好的剛度特性，調(diào)整彈性環(huán)的結(jié)構(gòu)參數(shù)就可以改變支承剛度來調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，所以分析彈性環(huán)的剛度特性是非常重要的環(huán)節(jié)[6]。

曹磊等[7]分別利用解析法和有限元方法研究了彈性環(huán)的剛度特性，分析總結(jié)了彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)對剛度特性的影響；劉勇等[8]利用Ansys參數(shù)化語言apdl建立了彈性環(huán)的非線性有限元模型，分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對等效剛度的影響規(guī)律，結(jié)合實際使用要求，提供了優(yōu)選的彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參考方案。解析法計算剛度時精度較低，無法考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響[9]，本文將基于有限元法對彈性環(huán)剛度特性進行研究。

1 剛度分析

1.1 彈性環(huán)結(jié)構(gòu)

彈性環(huán)屬于徑向彈性支承，其內(nèi)外表面有數(shù)量相同的凸臺，凸臺沿著圓周等距交錯分布。外凸臺跟軸承座的內(nèi)環(huán)面接觸，內(nèi)凸臺跟軸承外圈接觸，工作狀態(tài)如圖1所示。彈性環(huán)的彈性模量為2.11E5 MPa，泊松比為0.3，軸向?qū)挾葹?6 mm，結(jié)構(gòu)如圖2所示，基本設(shè)計參數(shù)如圖3所示，某彈性環(huán)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)見表1。

圖1 彈性環(huán)工作狀態(tài)示意圖Fig.1 Working state diagram of elastic ring

圖2 彈性環(huán)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of elastic ring

圖3 彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖Fig.3 Schematic diagram of structural parameters of elastic ring

1.2 有限元模型

彈性環(huán)結(jié)構(gòu)是三維彈性固體結(jié)構(gòu)，依據(jù)結(jié)構(gòu)形式及受力特點，三維彈性固體受力問題可簡化為平面應(yīng)力問題、平面應(yīng)變問題或軸對稱問題，這些特殊形式彈性固體問題仍屬于彈性力學(xué)研究范疇。

表1 彈性環(huán)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Main structural parameters of elastic ring

在彈性環(huán)剛度計算中：

1）x與y向的尺寸遠遠大于z向；

2）受力方向為徑向；

3）受力均勻分布在凸臺周邊。

由于彈性環(huán)結(jié)構(gòu)的特殊性，可以將其簡化為平面應(yīng)力問題進行處理，進行剛度特性分析。文獻[6]中的計算結(jié)果表明，凸臺倒圓角R對彈性環(huán)剛度計算結(jié)果影響不大，為了編寫程序簡便，此變量忽略不計。彈性環(huán)的內(nèi)徑D1，外徑D2，軸向?qū)挾萗為固定參數(shù)，凸臺數(shù)目m，凸臺寬度b，凸臺厚度h為設(shè)計變量。通過改變以上3個設(shè)計變量就可以調(diào)節(jié)彈性環(huán)的剛度，采用控制變量法研究彈性環(huán)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對其剛度變化的影響規(guī)律，借此揭示彈性環(huán)的剛度特性，為進一步研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中彈性環(huán)剛度變化對轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響規(guī)律奠定基礎(chǔ)。

將彈性環(huán)簡化為平面應(yīng)力問題來研究彈性環(huán)剛度特性，首先對彈性環(huán)截面進行網(wǎng)格劃分，進行有限元建模。彈性環(huán)網(wǎng)格圖如圖4所示，依據(jù)有限元法的基本原理編寫相應(yīng)求解程序，計算求得彈性環(huán)的剛度。

圖4 彈性環(huán)網(wǎng)格圖Fig.4 Mesh graph of elastic ring

1.3 分析結(jié)果

采用徑向力加載形式，對內(nèi)凸臺處的某個節(jié)點加載徑向力，通過有限元靜力分析求解得到該節(jié)點處的徑向位移，利用剛度計算式（1）得到彈性環(huán)不同節(jié)點位置的剛度值。由于彈性環(huán)是周向?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)，故計算彈性環(huán)在一個周期內(nèi)不同位置處的剛度值，取其平均值作為彈性環(huán)的剛度，彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)為表1時，計算得到彈性環(huán)的剛度值為4.3939E+05 N/m，計算數(shù)據(jù)見表2。

表2 彈性環(huán)剛度值Tab.2 Elastic ring stiffness value

式中：k為結(jié)構(gòu)的靜剛度，F(xiàn)為加載徑向力，S為徑向位移。

1.4 驗證模型

以文獻[6]中的算例為模型驗證本文彈性環(huán)剛度計算方法的可靠性。文獻[6]中彈性環(huán)的基本設(shè)計參數(shù)為：內(nèi)、外凸臺數(shù)m=8，彈性環(huán)寬度Y=15 mm，內(nèi)徑D1=65 mm，外徑D2=68 mm，壁厚h=1 mm，倒圓R=10 mm，凸臺寬度b=5 mm，該彈性環(huán)使用的材料為1Cr11Ni2 W2MoA，彈性模量為1.96E5 MPa，泊松比為0.3。本文計算所得的剛度值和文獻[6]數(shù)據(jù)對比見表3。

表3 彈性環(huán)剛度計算結(jié)果對比（N/m）Tab.3 Elastic ring stiffness value（N/m）

通過模型驗證表明本文將彈性環(huán)簡化為平面應(yīng)力問題來計算彈性環(huán)剛度是一種可行的方法。本文所用方法的精度高于傳統(tǒng)的近似解析法，在彈性環(huán)剛度的計算過程中，可以把彈性環(huán)的結(jié)構(gòu)參數(shù)化，方便后續(xù)分析彈性環(huán)的凸臺數(shù)目、凸臺寬度、凸臺厚度等結(jié)構(gòu)參數(shù)對彈性環(huán)剛度的影響。

2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對剛度的影響研究

當(dāng)彈性環(huán)的內(nèi)徑D1，外徑D2，軸向?qū)挾萗為固定參數(shù)，彈性環(huán)的剛度由凸臺數(shù)目m，凸臺寬度b，凸臺厚度h決定。本文研究中彈性環(huán)結(jié)構(gòu)有3個可變參數(shù)，凸臺寬度b取4，5，6，7，凸臺數(shù)目m取6，8，10，12，14，凸臺厚度h取 0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1，為了分析每個變量對剛度的影響規(guī)律，采用控制變量法進行研究。結(jié)合上述有限元靜力分析的方法，進行彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)對剛度的影響規(guī)律研究。

2.1 剛度隨渦動角的變化規(guī)律

彈性環(huán)是周向?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)，當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運轉(zhuǎn)時，內(nèi)外凸臺受到的力是周期性變化的，相鄰內(nèi)外凸臺之間為1個周期，彈性環(huán)的剛度值隨渦動角的改變而改變。分別計算3個不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的彈性環(huán)在1個周期內(nèi)的剛度值，1個周期內(nèi)剛度的平均值可以作為彈性環(huán)的平均剛度，計算結(jié)果見表4。

表4 彈性環(huán)剛度值（N/m）Tab.4 Elastic ring stiffness value（N/m）

2.2 剛度隨凸臺數(shù)目的變化規(guī)律

其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，改變凸臺數(shù)目m，得到彈性環(huán)的剛度隨凸臺數(shù)目的變化曲線，如圖5所示。取h=1，當(dāng)凸臺寬度b分別為4，5，6，7時，凸臺數(shù)目m分別取6，8，10，12，14。通過對不同結(jié)構(gòu)彈性環(huán)進行有限元靜力分析，得到4組彈性環(huán)剛度隨凸臺數(shù)目m變化的曲線，如圖6所示。

圖5 彈性環(huán)剛度隨凸臺數(shù)目的變化規(guī)律Fig.5 The change law of elastic ring stiffness with number of bosses

通過對圖5和圖6進行分析表明，彈性環(huán)的剛度隨凸臺數(shù)目m的增大而增大，這是因為彈性環(huán)中的每一個環(huán)段可以看做兩端固支的梁段，中間受到集中力的作用，當(dāng)凸臺數(shù)目m越大時，環(huán)段也越短，其承載力越高，所以彈性環(huán)的剛度值越大。而且彈性環(huán)的凸臺數(shù)目越大，剛度值的增大速度越快，兩者之間有著復(fù)雜的非線性關(guān)系。

圖6 彈性環(huán)某一節(jié)點剛度值隨凸臺數(shù)目和凸臺寬度的變化規(guī)律Fig.6 Variation of stiffness of a joint of elastic ring with the number and width of boss

2.3 剛度隨凸臺寬度的變化規(guī)律

其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，改變凸臺寬度b，得到彈性環(huán)的剛度隨凸臺寬度的變化曲線，如圖7所示。取h=1，當(dāng)凸臺數(shù)目m分別為6，8，10，12，14時，凸臺寬度b分別取4，5，6，7。通過對不同結(jié)構(gòu)彈性環(huán)進行有限元靜力分析，得到5組彈性環(huán)剛度隨凸臺寬度b變化的曲線，如圖8所示。

圖7 彈性環(huán)剛度隨凸臺寬度的變化規(guī)律Fig.7 The variation law of elastic ring stiffness with boss width

圖8 彈性環(huán)某一節(jié)點剛度值隨凸臺數(shù)目和凸臺寬度的變化規(guī)律Fig.8 Variation of stiffness of a joint of elastic ring with the number and width of boss

通過對圖7和圖8進行分析表明，彈性環(huán)的剛度值隨凸臺寬度的增大而增大，這是因為凸臺寬度增大，相當(dāng)于彈性環(huán)每一環(huán)段的凸臺寬度占每一環(huán)段的比例增大，所以會導(dǎo)致彈性環(huán)的剛度增大，彈性環(huán)剛度增加趨勢接近線性變化。

2.4 剛度隨凸臺厚度的變化規(guī)律

其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，改變凸臺厚度h，得到彈性環(huán)的剛度隨凸臺厚度的變化曲線。取凸臺數(shù)目為8，凸臺寬度為4，凸臺厚度h分別取0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1。通過對不同結(jié)構(gòu)彈性環(huán)進行有限元靜力分析，得到彈性環(huán)剛度隨凸臺厚度h變化的曲線如圖9所 示。

圖9 彈性環(huán)某一節(jié)點剛度隨凸臺厚度的變化規(guī)律Fig.9 Variation of stiffness of a joint of elastic ring with the thickness of boss

通過分析圖9可以看出，隨著彈性環(huán)凸臺厚度h的增大，彈性環(huán)的剛度隨之減小，剛度減小的幅度不是很大，并且近似于線性變化。

2.5 剛度隨參數(shù)變化的三維圖

本文彈性環(huán)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有3個可變參數(shù)，從以上3個參數(shù)對彈性環(huán)剛度值的影響規(guī)律可以看出，隨著凸臺厚度h的增大，彈性環(huán)的剛度隨之減小，但是相比較凸臺數(shù)目m和凸臺寬度b這2個參數(shù)，彈性環(huán)剛度變化隨凸臺厚度h的幅度可以忽略，故在彈性環(huán)結(jié)構(gòu)優(yōu)選設(shè)計中，只考慮凸臺數(shù)目和凸臺寬度這2個參數(shù)。當(dāng)凸臺厚度h=1 mm時，彈性環(huán)的剛度隨凸臺數(shù)目和凸臺寬度變化的三維圖如圖10所示。

3 支承剛度對臨界轉(zhuǎn)速的影響

本文的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是兩支點支承的懸臂轉(zhuǎn)子，在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)型已經(jīng)確定的情況下，支承對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性有重要的影響，從以往研究中發(fā)現(xiàn)，計算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速主要有2種方法：傳遞矩陣法和有限元法。傳遞矩陣法程序設(shè)計簡單、占用內(nèi)存小，適用于鏈式結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[10]，所以本文采用傳遞矩陣法計算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，進一步分析支承剛度對臨界轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律。

圖10 彈性環(huán)平均剛度變化三維圖Fig.10 Three dimensional diagram of average stiffness change of elastic ring

3.1 臨界轉(zhuǎn)速計算

燃氣渦輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要由渦輪盤、主軸、輸出軸、花鍵和深溝球軸承組成。屬于單盤懸臂轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，燃氣渦輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)見圖11。

圖11 燃氣輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)Fig.11 Gas turbine rotor system

依據(jù)傳遞矩陣法的分段原則將該燃氣渦輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分成13段有質(zhì)量的均質(zhì)軸段，1個渦輪盤，4個彈性支承，簡化之后得到轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型，如圖12所示。圖中從左向右第1個和第2個彈性支承依次命名為前支承和后支承。

圖12 燃氣輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.12 Dynamic model of gas turbine rotor system

利用傳遞矩陣法計算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，通過Riccati傳遞矩陣法得到剩余量曲線，如圖13所示，從圖中可以得到前3階臨界轉(zhuǎn)速。

曲線與縱坐標零點的交點對應(yīng)的轉(zhuǎn)速就是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速。從圖13得知，1階臨界轉(zhuǎn)速為2 585 rad/s，2 階臨界轉(zhuǎn)速為 13 291 rad/s，3 階臨界轉(zhuǎn)速為 16 983 rad/s。臨界轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量分布和彈性支承有關(guān)系，工程上主要看前3階臨界轉(zhuǎn)速。

3.2 支承剛度對臨界轉(zhuǎn)速的影響

3.2.1 臨界轉(zhuǎn)速隨前支承剛度的變化規(guī)律

圖13 臨界轉(zhuǎn)速-剩余量曲線Fig.13 Critical speed residual curve

改變前彈性支承的剛度，變化范圍為1E5～5E7 N/m，通過計算得到燃氣渦輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前3階臨界轉(zhuǎn)速隨前彈性支承剛度變化的曲線如圖14所示。

圖14 臨界轉(zhuǎn)速隨前支承剛度的變化Fig.14 Change of critical speed with front support stiffness

從圖14可以看出，改變前彈性支承的支承剛度，3階臨界轉(zhuǎn)速均有增大，第1階增大的幅度大于第2階和第3階，第2階和第3階臨界轉(zhuǎn)速幾乎沒有太大的變化，前3階臨界轉(zhuǎn)速的變化率見表5。

表5 前3階臨界轉(zhuǎn)速的變化率/%Tab.5 Change rate of the first three critical speeds

3.2.2 臨界轉(zhuǎn)速隨后支承剛度的變化規(guī)律

改變后彈性支承的剛度，變化范圍為1E5～5E7 N/m，通過計算得到燃氣渦輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前3階臨界轉(zhuǎn)速隨后彈性支承剛度變化的曲線如圖15所示。

由圖15可知，隨著后支承剛度增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速均增大，但是第1階、第2階和第3階臨界轉(zhuǎn)速增大的幅度都不是很大，所以后支承剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性沒有顯著的影響，前3階臨界轉(zhuǎn)速的變化率見表6。

3.3 前后彈性環(huán)參數(shù)對臨界轉(zhuǎn)速的影響

通過以上分析可以看出：前彈性支承的剛度變化對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第1階臨界轉(zhuǎn)速影響較大，對第2階和第3階臨界轉(zhuǎn)速的影響幾乎為0；后彈性支承的剛度變化對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前3階臨界轉(zhuǎn)速的影響很小，在彈性環(huán)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計時可以不用考慮后彈性環(huán)支承結(jié)構(gòu)參數(shù)的改變。

圖15 臨界轉(zhuǎn)速隨后支承剛度的變化Fig.15 Change of critical speed with rear support stiffness

表6 前3階臨界轉(zhuǎn)速的變化率/%Tab.6 Change rate of the first three critical speeds

綜上所述，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第1階臨界轉(zhuǎn)速隨著前彈性環(huán)參數(shù)的改變而改變，第2階和第3階臨界轉(zhuǎn)速幾乎不受彈性環(huán)參數(shù)變化的影響。本文燃氣渦輪機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速可達到50 000 r/min，所以僅考慮彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)第1階臨界轉(zhuǎn)速的影響，表7為前支承處彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對第1階臨界轉(zhuǎn)速的影響。

表7 第1階臨界轉(zhuǎn)速隨前彈性環(huán)參數(shù)的變化Tab.7 The change of the first critical speed with the parameters of the front elastic ring

4 結(jié) 語

將彈性環(huán)剛度特性問題簡化為平面應(yīng)力問題，結(jié)合有限元方法編程對其剛度特性進行分析，研究彈性環(huán)的凸臺數(shù)目、凸臺寬度以及凸臺厚度對其剛度特性的影響。彈性環(huán)剛度隨著凸臺數(shù)目增大而增大，凸臺數(shù)目越多，彈性環(huán)剛度的增大速度越快，彈性環(huán)剛度與凸臺數(shù)目之間是一種較為復(fù)雜的非線性關(guān)系。隨著彈性環(huán)寬度的增大，彈性環(huán)的剛度也隨之增大，并且近似于線性變化。隨著彈性環(huán)凸臺厚度的增大，彈性環(huán)的剛度隨之減小，剛度減小的幅度不是很大，近似于線性變化。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第1階臨界轉(zhuǎn)速隨著前支承處彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)的改變而改變，第2階和第3階臨界轉(zhuǎn)速幾乎不受彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的影響。可以通過調(diào)整前支承處彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)來改變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第1階臨界轉(zhuǎn)速，給出不同彈性環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第1階臨界轉(zhuǎn)速，對彈性環(huán)結(jié)構(gòu)的選優(yōu)具有一定的指導(dǎo)意義。