熱機載荷下形狀記憶合金梁超靜定問題分析

楊靜寧, 王永祥, 唐 健

(蘭州理工大學 理學院, 甘肅 蘭州 730050)

形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)作為一種近年來迅速發(fā)展起來的一種新型智能材料,不僅具有普通金屬的優(yōu)良特性,如延展性、導電性[1].在航空航天、自動控制、醫(yī)學、能源等領域得到廣泛的應用[2-5].近年來,在前人的基礎上國內(nèi)外學者就形狀記憶合金的變形特性進行了更加深入的研究.Flor SDL等[6]做了關于鎳鈦記憶合金絲彎曲實驗,并對其彎曲變形進行了研究.周博等[7]通過研究得出了更簡單的形狀記憶合金材料的力學本構模型,并提出了形狀記憶因子的概念.Auricchio F和Sacco E[8]考慮到奧氏體和馬氏體彈性特性的不同,對本構模型進行了修正,并分析了形狀記憶合金梁的彎曲特性.Helm D等[9]對處于馬氏體和奧氏體狀態(tài)下的NiTi合金圓管在拉伸-扭轉組合變形下的力學特性進行了研究.Michael M K等[10]在沿截面高度的應變是線性的假設基礎上,研究了集中載荷作用下形狀記憶合金懸臂梁的力學性能.Souza A C等[11]以相變應變?yōu)樽兞?得到了描述偽彈性和形狀記憶效應的三維本構模型.崔世堂等[12]引入拉壓不對稱系數(shù)研究了形狀記憶合金純彎曲梁的力學性能.任勇生等[13]研究了具有形狀記憶合金纖維的復合材料梁非線性靜變形、熱屈曲和振動.韓悌信等[14]利用MTS萬能材料試驗機研究了NiTi形狀記憶合金的力學性能,得到了在不同溫度下的靜態(tài)拉伸應力-應變曲線.李會知等[15]在均布荷載作用下一次超靜定梁的彈塑性變形全過程進行了分析,并根據(jù)其受力變形的特點,把加載過程分成了四個階段.楊靜寧等[16]在拉壓不對稱情況下,結合梁的純彎曲理論,研究了NiTi形狀記憶合金的彎曲問題.可以發(fā)現(xiàn),目前研究SMA主要集中在載荷、溫度等條件下的力學性能,大多建立在不考慮拉壓不對稱效應的理想彈性體上,對于熱機載荷下超靜定梁的拉壓不對稱性研究尚少.

為了研究超靜定SMA梁在機械載荷與溫度聯(lián)合作用下各截面相變情況,特引入拉壓不對稱系數(shù)[17],通過分析截面應力分布,得到了溫度和拉壓不對稱系數(shù)變化對中性軸位置、曲率以及相邊界[18-19]分布的影響.

1 SMA梁的非線性彎曲變形

狀記憶合金一次超靜定梁長l,高度2h,寬度b,受垂直向下的均布載荷q作用,受拉側外緣到中性軸距離為h1,受壓側外緣到中性層距離為h2,如圖1所示.

圖1 超靜定梁力學模型Fig.1 Mechanical model of statically indeterminate beam

對實驗得到的本構模型曲線進行簡化,簡化后的本構模型[12]如圖2所示.圖中t表示拉伸;c表示壓縮;s表示相變開始;f表示相變結束;εL表示最大等效殘余應變.

圖2 簡化本構模型Fig.2 Simplified constitutive model

在沿截面高度應變分布是線性的假設下,ρ(x)為曲率半徑,EA為奧氏體彈性模量,EM為馬氏體彈性模量,受拉側外緣應變εt與受壓側外緣應變εc分別為

(1)

受拉側相變開始臨界應變εts和結束臨界應變

(2)

圖3 臨界應力與溫度的關系Fig.3 Relationship between critical stress and temperature

由圖中曲線可知馬氏體相變開始應力σms和結束應力σmf與溫度的關系式為

(3)

為了直觀描述拉壓不對稱性,將拉壓不對稱性量化,引入拉壓不對稱系數(shù)

(4)

2 相變過程

對于受均布載荷的超靜定梁,其表層最大應變處相變最先開始[20].根據(jù)梁截面的內(nèi)力分布情況,可將梁沿軸向分為兩部分進行分析.整個相變過程分為初始和相變兩個階段.

2.1 初始階段(εt<εts)

當溫度較高時,梁上任意截面受拉側表層應變未達到相變開始臨界應變εts時,整個梁均未發(fā)生相變,材料全部處于奧氏體相,此時截面上應力為

(5)

2.2 相變階段(εt≥εts)

隨著截面彎矩M增大,截面受拉側最外層應變εt首先達到相變開始臨界應變εts,此時|εc|≤εcs,εts≤εt≤εtf,受拉側發(fā)生相變,出現(xiàn)混合相,混合相與奧氏體相的相變界可視為C1C.受壓側仍處于奧氏體相,如圖4a,進入Ⅰ階相變.受壓側最外層應變εc達到相變開始臨界應變εcs,此時εcs≤|εc|≤εcf,εts≤εt≤εtf,受壓側發(fā)生相變,出現(xiàn)混合相,受壓側混合相與奧氏體相的相變界可視為D1D.受拉側最外層仍處于混合相,如圖4b,進入Ⅱ階相變.受拉側最外層應變εt達到相變結束臨界應變εtf,此時εcs≤|εc|≤εcf,εtf≤εt,受拉側出現(xiàn)馬氏體相,馬氏體相與混合相的相變界可視為E1E.受壓側最外層仍處于混合相,如圖4c,進入Ⅲ階相變.此時εcf≤|εc|,εtf≤εt,截面受壓側最外層應變εc達到相變結束臨界應變εcf,出現(xiàn)馬氏體相,受壓側馬氏體相與混合相的相變界可視為F1F,如圖4d,進入Ⅳ階相變.其中A代表奧氏體相,AM代表混合相,M代表馬氏體相.A,B,C,D,E,F處的坐標分別為yA=(1+Δi)h,yB=-(1-Δi)h,yC=εts(1+Δi)h/εt,yD=-εcs(1+Δi)h/εt,yE=εtf(1+Δi)h/εt,yF=-εcf(1+Δi)h/εt,i對應相變階段分別為Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ.

圖4 Ⅰ-Ⅳ階相變示意圖Fig.4 Schematic diagram of phase transition of stage Ⅰ-Ⅳ

截面相變過程的應力分布可以用式(6)概括,式6c表示彈性階段,式6c和式6d表示Ⅰ階相變,式(6b～6d)表示Ⅱ階相變,式(6b～6e)表示Ⅲ階相變,式(6a～6e)表示Ⅳ階相變.

2.3 平衡方程

初始階段,橫截面上的平衡方程為

進入Ⅰ階相變階段,橫截面上的彎矩為

(9)

進入Ⅱ階相變階段,橫截面上的彎矩為

(10)

進入Ⅲ階相變階段時,橫截面上的彎矩為

(11)

進入Ⅳ階相變階段,橫截面上的彎矩為

(12)

3 實例計算與分析

3.1 中性軸位移

圖5為溫度載荷T=60 ℃時,中性軸位移隨梁的截面位置變化的分布情況.當拉壓不對稱系數(shù)α=0時,第一部分(0

圖5 中性軸位移(t=60 ℃)Fig.5 Neutral axis displacement (t=60 ℃)

圖6 中性軸位移(α=0.05)Fig.6 Neutral axis displacement (α=0.05)

3.2 曲率

圖7為溫度載荷t=60 ℃時,曲率隨梁的截面位置變化的分布情況.隨著拉壓不對稱系數(shù)逐漸變大,梁上第一部分曲率曲線基本一致,拉壓不對稱系數(shù)的改變對曲線趨勢影響不大,其曲率值先增大后減小,在x=75 mm處達到最大值,且左右兩邊關于x=75 mm對稱；第二部分隨著拉壓不對稱系數(shù)的增大,在同一位置的曲率值反而減小,但變化趨勢保持一致.圖8為α=0.05時,不同溫度載荷作用下曲率隨梁的截面位置變化的分布情況.從梁的整體來看,隨著溫度的升高,整個梁上各個位置對應的曲率值都減小；且溫度升高不會改變梁上第一部分曲線的對稱性.

圖7 曲率分布(t=60 ℃)Fig.7 Curvature distribution (t=60 ℃)

圖8 曲率分布(α=0.05)Fig.8 Curvature distribution (α=0.05)

3.3 相邊界

圖9為溫度載荷t=60 ℃時,相邊界的分布情況.當拉壓不對稱系數(shù)α=0,截面相邊界關于梁高度呈對稱分布；當α≠0時,相邊界明顯不對稱,整個相變界隨著拉壓不對稱系數(shù)增大,受拉側起始相變點始終處于同一起點,而受壓側相邊界起點越靠近固定端.圖10為α=0.05時,不同溫度載荷作用下相邊界的分布情況.隨著溫度的升高,第一部分相邊界由x=75 mm處逐漸向兩邊擴散,且x=75 mm兩側相變界關于其對稱；第二部分奧氏體與混合相相邊界和混合相與馬氏體相邊界整體向固定端靠近,關于梁高度方向在h=0附近溫度對拉壓兩側相邊界的對稱性影響不大.

圖9 相邊界分布(t=60 ℃)Fig.9 Phase boundary distribution (t=60 ℃)

圖10 相邊界分布(α=0.05)Fig.10 Phase boundary distribution (α=0.05)

4 結論

1) 相變階段中性軸位移隨著拉壓不對稱系數(shù)的增大而增大；隨著溫度的改變,中性軸發(fā)生的最大位移不會增大或減小,只改變最大位移在梁上出現(xiàn)的位置.

2) 隨著溫度的升高,整個梁上各個位置對應的曲率值都減小；拉壓不對稱系數(shù)的改變對梁上第一部分曲率曲線的趨勢影響不大,其曲率值先增大后減小,且關于x=75 mm處對稱.

3) 當拉壓不對稱系數(shù)α=0,截面相邊界關于梁高度呈對稱分布；當α≠0時,相邊界明顯不對稱,整個相變界隨著拉壓不對稱系數(shù)增大,拉壓兩側相變起始點發(fā)生變化.隨著溫度的升高,梁上第一部分相邊界由x=75 mm處逐漸向兩邊擴散,且x=75 mm兩側相變界關于其對稱；第二部分奧氏體與混合相相邊界和混合相與馬氏體相邊界整體向固定端靠近.