楊會超，夏偉杰，翁文明

(南京航空航天大學電子信息工程學院，江蘇南京211106)

0 引 言

成像聲吶通過采用數字多波束形成技術，借助于大數量的換能器陣列，能夠實時提供水下前方目標的距離-方位二維圖像，是進行水下探測、避障等應用的重要探測設備之一。成像聲吶的距離向分辨率由信號帶寬決定，方位向分辨率由工作頻率和陣列物理孔徑決定。距離向分辨率的提高，可以比較容易地通過增加信號的帶寬來實現，但是方位向分辨率的提高，相對比較困難。如采用更高的信號工作頻率，會導致信號衰減增大，降低了系統的作用距離；如增加物理孔徑，則會相應地增加信號通道數量，增加系統的體積、功耗和成本。因此，通過信號處理的方法來提高成像聲吶的方位向分辨率，是目前國內外研究人員的關注點之一。

近年來，圍繞著這一研究點，國內外取得一些進展。Lee等[1]使用壓縮感知方法，引入l1范數進行約束取得了一定的超分辨性能，但是l1范數的引入會帶來更大的計算量。Feng等[2]將多進多出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)技術與單脈沖成像相結合減小了角度估計的誤差，但是需要大型的天線陣列，不利于前視探測的應用。Sun等[3]提出了非均勻陣列的DOA估計方法，但是只給出了該方法多目標超分辨的可能性，并未給出具體的驗證。

從成像聲吶的成像機理角度上來看，聲吶圖像方位向上的圖像可以認為是場景中同一距離內散射點的聲散射強度和波束方向圖卷積的結果，因此可以考慮通過解卷積來提高方位向分辨率。此類方法的關鍵是如何正則化解卷積的“病態(tài)性”問題。針對該問題，Zhang等[4]在貝葉斯框架下利用分裂伯格曼(Bregman)算法解卷積實現超分辨，但是該算法對信噪比的要求較高。管金稱等[5]利用統計優(yōu)化模型來正則化解卷積的“病態(tài)性”問題，但是受限于噪聲的分布情況。Richards[6]給出了限制迭代解卷積(Constrained Iterative Deconvolution, CID)和其快速算法(Fast CID, FCID)，但是會引入過多的噪聲，而且迭代次數的選擇會對最終的結果造成很大的影響。Yang[7]和Huang等[8]將Richardson-Lucy算法引入到均勻線陣的波束形成，通過優(yōu)化波束寬度來達到更高的分辨率，但是對于非均勻陣列并未做相關研究。

針對上述問題，本文提出了用最大熵正則化方法來解決解卷積的“病態(tài)性”。與傳統方法相比，該方法不需要對先驗信息作出假設，不拘泥于原始場景中的目標分布，以 Frieden熵來衡量最終解的特性，可以在噪聲抑制和缺失信息恢復之間取得較好的平衡，獲得比傳統解卷積方法更好的效果。同時，本文引入圖像熵來評價最終的成像效果，用客觀的評價數據進一步說明該算法的超分辨性能。

1 方位向卷積模型建立

為了避免線陣在偏離法向時引起波束寬度增加，該聲吶以半圓形換能器陣列為基礎，通過對180個通道回波信號進行處理，在正前方90°內形成540個波束，采用多波束電子掃描的方式實現對探測場景的實時成像。在0°～180°內分布180個相同的換能器陣元，各個陣元之間的間隔為Δθ=π / (K-1 )，K=1 80。通過使用固定的6組加權系數，可以利用1～91號陣元形成1～6號波束，2～92號陣元形成7～12號波束，通過旋轉90次可以在正前方90°內形成540個波束[9]，具體過程如圖1所示。

圖1 半圓形陣列的波束形成示意圖Fig.1 Schematic diagram of beamforming for semi-circular array

成像聲吶經過數字波束形成后的接收數據可以看作是目標的散射信息和卷積核的卷積結果，其中卷積核包括方位向上的波束方向圖和距離向上的脈沖調制函數，由于聲吶的距離分辨率目前可以達到cm級別，所以本文只考慮方位向分辨率的提高，即在固定目標距離時，聲吶接收到的方位向上的信息可以看作是目標的散射信息x和波束方向圖h[9]卷積的結果。因為接收到的數據是離散的，可以用離散時間系統來表示，即x(n),n= 0,1,2,… ,N-1和h(n),n= 0,1,2,… ,M-1，其中N表示散射場景的采樣點數，M表示波束主瓣的采樣點數。卷積的結果可以表示為

此時式(2)可表達為

式中：H∈RL×L表示L×L維的卷積核矩陣；y,x分別表示L×1維的聲吶接收信號和L×1維的目標散射信息。同時方便后續(xù)的說明，本文將式(2)稱為“波束掃描”，將式(4)稱為“矩陣相乘”。

為了驗證這種近似的合理性，下面對仿真場景的不同的接收方式成像的結果進行比較。圖2(a)是波束指向為45°的方向圖的仿真，可以看出3 dB波束寬度近似為1.2°；圖2(b)是由13個點目標組成的原始目標場景的仿真，每個點目標的散射強度設置為灰度值 100，聲吶的工作參數設置如下：工作頻率 450 kHz，相控掃描范圍 45°～135°，聲速為1 500 m·s-1，換能器陣列半徑為0.12 m。

圖2 波束方向圖及原始場景仿真Fig.2 Simulation of directional pattern and original target scene

原始場景經過波束掃描和矩陣相乘兩種接收方式后，可得到圖3中的結果，其中L=540，M=17，N=524。

從圖3中可以看出，兩種不同接收方式的成像結果幾乎一樣，說明了卷積核矩陣近似的合理性。

圖3 兩種接收方式成像結果對比Fig.3 Comparison of imaging results of two receiving modes

圖4是兩種方式在接收單目標和雙目標時方位向的剖面圖對比。可以看出，在接收單目標時兩者基本重合。在雙目標接收時，兩者也只有略微差異，這進一步說明了矩陣相乘處理和實際接收情況基本一致，為后續(xù)的算法推導奠定了基礎。

圖4 兩種接收方式點目標方位向剖面圖Fig.4 Azimuth profiles of point targets of two receiving modes

2 最大熵算法推導

由式(1)可知，通過解卷積的方法可以求出關于原始目標散射信息。然而解卷積的過程是一個逆問題，存在著“病態(tài)性”，無法直接求解，但是可以通過引入正則化的方法來使“病態(tài)性”問題轉化為“良性”問題進行求解。

解卷積可以理解成對原始目標散射信息的估計，如何使估計量達到最優(yōu)是需要解決的問題。熵可以用來衡量信息量的大小，通過使信息熵最大來恢復出散射信息是可行的。原始場景 Frieden熵的表達式為[11]

此時，Frieden熵與信息論中的香農(Shannon)熵具有相同的表達式。

根據正則化的方法，可以將熵的求解問題轉化成有限制條件的優(yōu)化問題：

式中：ε為xj相對變化量的門限值。可認為此時獲得的解最優(yōu)。

每次迭代過程主要包括：

(1) 初始化λi,0，與卷積核矩陣點乘之后進行指數運算得到xj；

(2) 將卷積核矩陣與式(1)中的計算結果進行點乘；

(3) 將yi與過程(2)中的結果進行點除，再進行對數運算；

(4) 將λi,k與過程(3)中的結果相減得到λi,k+1。上述過程的主要運算包括兩次點乘、一次點除、一次指數運算、一次對數運算，所以每次迭代計算的復雜度為O(Ll og2L)。

從算法實現過程可以看出，最終超分辨的性能主要和λi,0的初始化、迭代終止條件中ε的選取有關。λi,0的選取與最初的熵有關，均勻地選取λi,0，即所有λi,0初值均相等，可以使初始熵達到最大，有利于減少算法執(zhí)行的時間。ε的選取與迭代的次數有關，此算法是將噪聲當作信號進行處理，隨著迭代次數的增加，可能會導致噪聲也被相應地放大。因此，選擇合適的λi,0和ε有利于超分辨的實現。

3 最大熵算法仿真和實測數據驗證

3.1 最大熵算法仿真

此次仿真設置的場景和圖 2一致，均是由 13個點目標組成的X形狀。在信息傳輸的過程中加入不同程度的噪聲，其他相關仿真參數為：λi,0=0，i= 1,2,… ,L，ε= 1 0-5。接收到的原始數據以及經過最大熵算法和FCID-CID算法處理之后可以得到圖5中的結果，圖中上排表示不同信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)下仿真聲吶接收的目標場景，中排表示經過最大熵算法處理后的場景，下排表示經過FCID-CID算法處理后的場景。

圖5 仿真聲吶與最大熵算法、FCID-CID算法不同信噪比下成像結果Fig.5 Imaging results of simulated sonar, maximum entropy algorithm and FCID-CID algorithm under different SNRs

從圖5中可以看出，經過波束掃描之后的圖像有很明顯的模糊，原本清晰可以區(qū)分的目標變得不可區(qū)分，這是接收到的數據被濾除高頻信息造成的。在經過兩種算法處理之后的數據，均可以區(qū)分出被波束掃描造成的模糊數據，很明顯地顯示出了原始的點目標場景，實現了點目標的超分辨。但是最大熵算法處理之后的結果要比FCID-CID算法處理的結果具有更好的超分辨性能，更接近于實際的仿真場景。

同時，為了更好地顯示出圖5中細節(jié)的差別，利用Photoshop的曲線工具(第一次明暗度輸入設置為17，明暗度輸出設置為146；保存后第二次明暗度輸入設置為93，明暗度輸出設置為191)增強兩幅圖像的對比度，可以得到圖6，從圖中可以看出，不同信噪比下，兩種算法均能較好地恢復出原始的散射點目標。

圖6 最大熵算法、FCID-CID算法不同信噪比下對比度增強后成像結果Fig.6 Enhanced imaging results of maximum entropy algorithm and FCID-CID algorithm under different SNRs

為了使這種說法更具有說服力，引入圖像熵的概念來評價成像的效果。圖像熵是用來度量圖像的聚焦程度的，同一幅圖像的圖像熵越小，其聚焦性能越好[14]。圖像熵的定義為

表1 不同信噪比下不同成像算法的圖像熵Table1 Image entropy of different imaging algorithms under different SNRs

從表1中可以看出，不同信噪比下，經過最大熵算法和FCID-CID算法處理之后的圖像熵相對于原始數據的圖像熵明顯下降，說明處理之后的圖像聚焦性能更好，原本不可區(qū)分的點目標變得清晰可以區(qū)分，這與圖5中的結果一致。比較最大熵算法和FCID-CID算法可以看出，最大熵算法處理之后的圖像熵的下降明顯要比FCID-CID算法處理后的下降得多，說明該算法具有更好的超分辨性能。

為了更直觀地說明該算法的超分辨性能，畫出某一距離向點目標的方位向剖面圖結果，如圖7所示。從圖7中可以看到，經過波束掃描的方位向剖面圖的兩個點目標只出現了一個峰值，兩個目標不可區(qū)分；但是經過最大熵和FCID-CID算法處理之后可以明顯看出兩個峰值，可以明顯區(qū)分出兩個目標，驗證了兩種算法的超分辨性能。通過最大熵算法和FCID-CID算法的比較可以看出，前者無論是在點目標的區(qū)分還是在噪聲的抑制上面都表現出了優(yōu)于后者的性能。

圖7 最大熵算法、FCID-CID算法不同信噪比下方位向點目標剖面圖Fig.7 Azimuth profiles of point targets processed by maximum entropy algorithm and FCID-CID algorithm under different SNRs

為了進一步探究最大熵算法能夠適用的信噪比，進一步減小信噪比得到圖8。

圖8中第1排為不同信噪比下仿真聲吶接收到的目標場景，第2排為最大熵算法處理后的場景，最下排為某一距離向上兩個點目標的剖面圖。從圖8中可以看出，在信噪比較低的情況下(0 dB, -5 dB,-10 dB)該算法仍能有很好的超分辨性能；在信噪比減少至-15 dB時，恢復出的原始場景有明顯的噪聲干擾，點目標也不如高信噪比下區(qū)分明顯，而且方位向上點目標的剖面圖有明顯被放大的部分噪聲，產生虛假目標，妨礙對真實目標的判斷。

3.2 實測數據驗證

為了更好地說明該算法的實用性，下面對聲吶的實測數據進行處理來驗證該算法的超分辨性能，

實驗所用參數與上述仿真參數設置相同。實驗對水池中懸掛兩根細線的圓環(huán)進行測試，通過終端顯示軟件實時顯示，并可以將顯示的圖像的數據進行保存，具體的實驗場景如圖9所示。

圖9 水池實驗場景Fig.9 Pictures of the pool experiment site

將獲得的實測圓環(huán)數據保存后，用Matlab軟件進行處理得到的結果如圖10所示。

圖10 實測數據成像處理效果對比Fig.10 Imaging results of the measured data processed by different algorithms

從實測數據的處理結果可以看出，原始接收的數據在上方有很明顯的模糊，但是在經過算法處理之后，細節(jié)變得清晰，更容易區(qū)分。計算原始成像、最大熵算法成像和FCID-CID算法成像的圖像熵，可以得到如下結果：

可以看出，在經過最大熵算法處理之后，圖像熵已經有所減小，但是下降有限。這是因為改善后的圖像只在上方的細節(jié)方面重新聚焦，原始圓環(huán)已經聚焦，而上方聚焦的部分占總體的比例較少，所以圖像熵下降很少，但是總體來說，圖像的聚焦程度仍有所改善。此外，最大熵算法處理的圖像熵低于FCID-CID算法處理的圖像熵，這也和3.1節(jié)仿真結果一致，驗證了最大熵算法較傳統的超分辨算法在性能上有了進一步的提高。

4 結 論

本文的研究基于課題組研制的一款多波束成像聲吶，建立了方位向的卷積模型，利用信號處理的方法來改善方位向的分辨率。通過解卷積的方法恢復出原始目標的散射信息，以最大熵來正則化解卷積的“病態(tài)性”問題。經過不同信噪比下的仿真和與FCID-CID算法的比較，可以看出本文算法在較低信噪比下仍能實現超分辨性能并且性能優(yōu)于FCID-CID算法。此外，引入圖像熵的概念衡量算法處理之后的圖像聚焦程度。同時，聲吶實測數據的處理進一步驗證了該算法的超分辨性能。但是，仍有一些問題需要繼續(xù)探索：如何實現最大熵的加速算法和更有效地去除噪聲，需要對這些問題進行深入的研究。