周彥玲 王斌 范軍

(上海交通大學(xué), 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心, 海洋工程國家重點實驗室, 上海 200240)

塑料類高分子材料甲基丙烯酸甲酯?亞克力(PMMA)圓柱中亞音速Rayleigh 波低頻隧穿共振可引起反向散射增強, 在低頻標準散射體設(shè)計等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用價值.提出一種微弱形變的規(guī)則波紋表面結(jié)構(gòu), 可實現(xiàn)水中PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率的無源調(diào)控.利用微擾法推導(dǎo)了水中微弱形變規(guī)則波紋圓柱反向散射低頻共振頻率偏移的近似解, 討論了波紋微擾系數(shù)、周期對規(guī)則波紋圓柱共振頻率偏移的影響規(guī)律.基于Rayleigh 波相位匹配方法分析了低頻共振頻率偏移的機理.研究表明: 微弱形變規(guī)則波紋圓柱中亞音速Rayleigh 波沿微弱形變波紋表面?zhèn)鞑? 與光滑圓柱體相比, 傳播路徑的改變引起Rayleigh 波傳播相位變化,導(dǎo)致了Rayleigh 波低頻共振頻率發(fā)生偏移.最后開展了微弱形變規(guī)則波紋圓柱體聲散射特性水池實驗, 獲取了其反向散射共振頻率, 明顯觀察到了規(guī)則波紋圓柱共振頻率偏移現(xiàn)象, 與理論預(yù)報結(jié)果吻合較好.

1 引 言

在光學(xué)領(lǐng)域, Ge 等[1,2]利用微擾理論研究了邊界微弱形變光學(xué)微腔的共振特性, 研究表明微腔邊界形變導(dǎo)致不同共振模態(tài)之間耦合, 使得其共振頻率發(fā)生偏移, 并在很大程度改變腔內(nèi)射線動力學(xué)特性和輸出方向, 且光波的輸出方向?qū)吔缱冃螛O其靈敏, 在光束控制和高分辨率檢測方面具有重要應(yīng)用前景.在聲學(xué)領(lǐng)域, Fawcett[3]用數(shù)值方法計算了外徑不變內(nèi)徑微弱形變水中球殼聲散射頻域特征,結(jié)果顯示邊界的微弱形變可以使得由于球殼中傳播的a0波與剛性背景耦合形成的中頻吻合共振[4]得到抑制, 但未對抑制中頻吻合共振的機理進行研究; 提出了一種時域Kirchhoff/衍射混合算法[5],此算法只適用于微弱形變剛性目標高頻聲散射的計算.Antonio 等[6]提出一種數(shù)值曲面積分方法,可以用來計算不規(guī)則表面或隨機粗糙表面幾何目標的聲散射問題, 但此方法只適用于剛性目標.本文基于微擾法分析了微弱形變彈性圓柱體低頻聲散射特征, 提出了一種利用微弱形變規(guī)則波紋表面結(jié)構(gòu)調(diào)控塑料類高分子材料甲基丙烯酸甲酯?亞克力(PMMA)圓柱反向散射低頻共振頻率的方法.

塑料類高分子聚合物材料PMMA 是3D 打印領(lǐng)域的一類主要材料, 其密度與水接近, 剪切波速度小于水中聲速[7], 近年來在聲學(xué)領(lǐng)域逐漸受到關(guān)注.Hefner 和Marston[8]通過理論和實驗研究了水中PMMA 球體低頻反向散射增強現(xiàn)象, 研究表明由于亞音速Rayleigh 波共振使得PMMA 球體目標低頻反向散射大幅度增強, 并指出這類PMMA目標在水中低頻標準散射體設(shè)計等方面具有重要應(yīng)用價值.PMMA 目標低頻共振頻率的人工調(diào)控,是設(shè)計滿足不同頻率需求的聲散射標準體, 是水中被動聲學(xué)標記體的基礎(chǔ)[9,10].本文提出了一種應(yīng)用于水中PMMA 圓柱體低頻共振頻率調(diào)控的規(guī)則波紋表面, 第2 節(jié)基于微擾法推導(dǎo)了無限長微弱形變規(guī)則波紋圓柱體聲散射共振頻率偏移的近似解,分析了其低頻共振頻率偏移的機理, 即規(guī)則波紋表面導(dǎo)致圓柱中亞音速Rayleigh 波傳播路徑改變,從而引起傳播相位變化, 使得低頻共振頻率發(fā)生偏移.第3 節(jié)討論波紋微擾系數(shù)、周期等波紋參數(shù)對水中PMMA 規(guī)則波紋圓柱低頻共振散射頻率偏移的影響規(guī)律.第4 節(jié)進行了光滑PMMA 圓柱體和規(guī)則波紋PMMA 圓柱體(相同波紋周期、不同波紋微擾系數(shù))聲散射特性水池試驗, 獲取了其反向散射共振特性, 觀察到共振頻率偏移特征, 同時驗證了第2 節(jié)規(guī)則波紋圓柱共振頻率偏移近似公式的有效性和正確性.

2 無限長微弱變形表面圓柱體聲散射

2.1 微擾理論

無限長微弱形變規(guī)則波紋表面圓柱體示意如圖1 所示.

圖1 無限長微弱形變規(guī)則波紋表面圓柱體Fig.1.Infinite regular?corrugated cylinder.

若圓柱表面存在微小變形[3], 即

其中, a 為未變形圓柱半徑, ε 為波紋微擾系數(shù),f(φ)=sin2(mφ),m=0,1,2,3,··· , m 是 [ 0,π] 的波紋周期.則波紋圓柱圓周長度S 為

由(2)式可以看出, 微弱形變規(guī)則波紋圓柱圓周長度與未變形圓柱體半徑a、波紋微擾系數(shù)ε 和波紋周期m 有關(guān).

假設(shè) | εf(φ)|?a , 入射平面波沿著x 軸正向垂直入射到無限長波紋圓柱, 設(shè)散射聲場具有如下形式[11,12]:

這里忽略時間因子e—iωt, 其中k = ω/c 是入射平面波波數(shù), ω 為角頻率, c 為水中聲速, r 為接收點到目標中心的距離, φ 為入射平面波與x 軸正向的夾角,是散射系數(shù),(kr) 為第一類漢克爾函數(shù).則微弱形變規(guī)則波紋圓柱外部總聲場為

微弱形變規(guī)則波紋圓柱內(nèi)部聲場:

其中, Jn是n 階Bessel 函數(shù), αbp, αcp和αep是待定的耦合系數(shù), kd和ks分別為縱波波數(shù)和橫波波數(shù), p 為耦合階次.

根據(jù)邊界條件:

其中, τrr是結(jié)構(gòu)中的法向應(yīng)力,和分別為結(jié)構(gòu)和水中的法向位移, τrφ是結(jié)構(gòu)中的切向應(yīng)力.基于微擾理論將(6)式按照ε 的一階泰勒級數(shù)展開, 則有

由(7)式, 得

根據(jù)克萊姆法則得到:

無限長規(guī)則波紋圓柱遠場反向散射形態(tài)函數(shù)[13]表示為

將(6)式在 x0附近按照ε 的一階展開, 具體推導(dǎo)過程見附錄A, 經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)化簡得

其中

則微弱形變規(guī)則波紋圓柱特征值偏移量為

對應(yīng)的微弱形變規(guī)則波紋圓柱共振頻率偏移量可表示為

無限長微弱形變規(guī)則波紋圓柱共振頻率近似為

定義微弱形變規(guī)則波紋圓柱歸一化波紋微擾系數(shù)ξ = ε/a, 利用(10)式計算半徑a = 0.05 m材料為PMMA 的無限長光滑圓柱和波紋參數(shù)m = 6, ξ =—3%的無限長微弱形變規(guī)則波紋圓柱反向散射形態(tài)函數(shù)幅頻特性, 所用材料參數(shù)見表1.計算頻率范圍為1—18 kHz, 頻率間隔為5 Hz, 所對應(yīng)無因次頻率ka 的范圍為0.20—4.19, ka 較小, 文中所研究頻段為低頻.

表1 計算所用材料參數(shù)Table 1.Material parameters used in the calculations.

圖2(a)對比了無限長光滑圓柱(黑色實線)和微弱形變規(guī)則波紋圓柱(紅色點劃線)反向散射形態(tài)函數(shù)幅頻特性, 研究發(fā)現(xiàn)邊界微弱變形使得PMMA 圓柱共振頻率發(fā)生了偏移.圖2(b)是圖2(a)藍色虛線框中共振峰的局部放大圖, 無限長光滑圓柱對應(yīng)的共振峰頻率f0= 6745 Hz, 微弱形變規(guī)則波紋圓柱的共振峰頻率f1= 6845 Hz 與利用(16)式計算的微弱形規(guī)則波紋圓柱共振頻率f2= 6846.2 Hz基本一致.因此, 可以用(16)式近似估計無限長微弱形變規(guī)則波紋圓柱的共振頻率.

2.2 微弱形變圓柱低頻共振機理

圖2 基于微擾法無限長規(guī)則波紋圓柱形態(tài)函數(shù)幅頻特性 (a)反向散射; (b)局部放大Fig.2.Form function of the infinite regular?corrugated cy?linder based on the perturbation method: (a) Backscatter?ing; (b) local enlargement.

圖3 PMMA 圓 柱 中Rayleigh 波相速度頻散曲線(黑色線), 曲線 2 πaf0/M (藍色點劃線)和曲線 S f/M (紅色虛線)Fig.3.Dispersion curve of subsonic Rayleigh waves (black line), curve 2 πaf0/M (blue dashed?dotted line) and curve Sf/M(red dotted line).

根據(jù)(11)式計算得到無限長PMMA 圓柱Rayleigh 波相速度頻散曲線, 如圖3 所示.從圖3可以看出, Rayleigh 波相速度(黑色實線)隨著頻率的增大逐漸趨于常數(shù) cR≈1060 m/s, 小于水中聲速, 為亞音速波.文獻[8,17]利用射線近似理論詳細描述了PMMA 球體中亞音速Rayleigh 波對低頻反向散射增強的貢獻及傳播路徑.對于平面波垂直入射無限長PMMA 圓柱, Rayleigh 波沿圓柱表面周向傳播, 如圖4(a)所示.亞音速Rayleigh波在臨界角 θl=π/2 的B1點被激發(fā), 在B1, B2點(箭頭處)耦合沿圓柱表面周向傳播, D1, D2點處耦合從D1點出射進入散射聲場.在焦散線上, Rayleigh波的投影切向速度等于水中的聲速.聲場從漸消到傳播的轉(zhuǎn)變發(fā)生在半徑 b =ac/cR附近.在a

圖4 亞音速Rayleigh 波傳播路徑 (a)光滑圓柱; (b)規(guī)則波紋圓柱Fig.4.Ray diagram for subsonic Rayleigh waves propagat?ing around: (a) Bare cylinder; (b) regular?corrugated cylinder.

當圓柱表面具有微弱形變時, Rayleigh 波傳播過程與光滑圓柱相同, 但傳播路徑發(fā)生改變, 如圖4(b)所示.Rayleigh 波沿規(guī)則波紋表面?zhèn)鞑? 由微弱形變表面所確定的焦散半徑發(fā)生變化.Rayleigh 波傳播路徑的改變引起傳播相位變化, 由環(huán)繞波分析理論[18]可知, Rayleigh 波沿規(guī)則波紋圓柱表面周向傳播的圓周數(shù) v =0,1,··· ,在接收點形成程差為S 的等間隔波列, 這些波列的相位差為

若這些波列的相位差是 2π 的M 倍(M 為整數(shù)), 同相疊加形成共振, 由此得到共振條件

由(17)式、(18)式得

當 ε =0 時, cR=2πaf0/M , 無限長PMMA 圓柱中Rayleigh 波頻散曲線與曲線 2 πaf0/M (圖3 中藍色點劃線)的交點所對應(yīng)的橫坐標為無限長PMMA 圓柱的共振頻率為 f0, 見表2.當時,利用(16)式求得的規(guī)則波紋圓柱共振頻率為 fξ,無限長PMMA 圓柱中Rayleigh 波頻散曲線與曲線 S f/M (圖3 中紅色虛線)的交點所對應(yīng)的橫坐標為這里m = 6, ξ =5%.定義由共振條件確定的共振頻率相對誤差為 δf=|f ?f′|/f ×100% ,由圖5 可知對于光滑圓柱和規(guī)則波紋圓柱, 由共振條件確定的共振頻率相對誤差均在0.3%以下.因此, 利用Rayleigh 波共振條件可以近似估計無限長PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率.同時, 這也證明了規(guī)則波紋PMMA 圓柱中Rayleigh 波速度不變, 但Rayleigh 波傳播路徑發(fā)生改變引起傳播相位的變化, 使得PMMA 圓柱低頻共振頻率發(fā)生偏移, 從而實現(xiàn)了對PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率的調(diào)控.

表2 無限長PMMA 圓柱和規(guī)則波紋圓柱共振頻率Table 2.Resonance frequency of PMMA bare and corrugated cylinder.

圖5 不同方法獲取共振頻率誤差Fig.5.The relative error of resonance frequencies obtained by different methods.

3 波紋參數(shù)對低頻共振頻率的影響

以上研究表明, 邊界微弱形變可以使得PMMA圓柱反向散射低頻共振頻率發(fā)生偏移.由(16)式很直觀地看出無限長規(guī)則波紋圓柱反向散射低頻共振頻率與波紋微擾系數(shù)、波紋周期有關(guān), 基于微擾法分析邊界變形結(jié)構(gòu)參數(shù)如波紋微擾系數(shù)、波紋周期對無限長PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率的影響.圖6(a)為規(guī)則波紋圓柱反向散射波紋微擾系數(shù)?頻率譜, 顏色表示形態(tài)函數(shù)幅值, 橫軸是頻率, 單位為kHz, 縱軸是歸一化波紋微擾系數(shù)ξ 范圍—10%—10%, 間隔1%.圖中黑色虛線為根據(jù)(16)式獲取的各個共振峰頻率隨波紋微擾系數(shù)變化曲線, 當歸一化波紋微擾系數(shù)ξ ＞ 0 時, 波紋在 [ a,a+ε] 區(qū)域內(nèi)起伏, 規(guī)則波紋圓柱反向散射共振頻率隨著ξ 的增大向低頻偏移, 且頻率偏移量隨著ξ 的增大而增大; 當歸一化波紋微擾系數(shù)ξ ＜ 0時, 波紋在 [ a+ε,a] 區(qū)域內(nèi)起伏, 規(guī)則波紋圓柱反向散射共振頻率隨著ξ 的減小向高頻偏移, 且頻率偏移量隨著ξ 的減小而增大.因此可以通過改變波紋微擾系數(shù)對水中PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率進行無源調(diào)控.圖6(b)為規(guī)則波紋圓柱反向散射頻率?波紋周期譜, 顏色表示形態(tài)函數(shù)幅值, 橫軸是頻率, 單位kHz, 縱軸是波紋周期m 范圍2—6, 這里ξ = —3%.圖中黑色虛線為根據(jù)(16)式獲取的共振峰頻率隨波紋周期變化曲線, 可見當波紋周期比較小時, 波紋周期對無限長規(guī)則波紋圓柱反向散射共振頻率偏移影響較小.不同波紋周期所對應(yīng)相位變化量為?Φm=?φ(f0,ξ,m)??φ(f0,ξ,1), 圖7 給出共振頻率f0= 6419 Hz, ξ =—3%, m 取值0—20 所對應(yīng)的相位變化量 ? Φm, 可見當m ＜ 10 時, m 變化引起的相位變化較小, 不足以對共振頻率偏移產(chǎn)生重要作用.

圖6 (a)頻率?波紋微擾系數(shù)譜; (b)頻率?波紋周期譜Fig.6.(a) Frequency?height spectra; (b) frequency?period spectra.

圖7 不同波紋周期對應(yīng)相位變化量Fig.7.Phase varying with corrugated period.

4 實 驗

4.1 實驗布置

針對PMMA 規(guī)則波紋圓柱開展聲散射特性水池實驗, 此次實驗是在中國科學(xué)院聲學(xué)研究所北海站消聲水池完成.3 個實驗?zāi)Ｐ?一個光滑圓柱,兩個規(guī)則波紋圓柱, 波紋周期m = 6, 歸一化波紋微擾系數(shù)分別為ξ = —3%和ξ = —10%)均為亞克力材料, 密度ρ = 1150 kg/m3, 半徑a = 0.05 m,長度L = 0.5 m.為了方便吊放, 模型兩端各打4 個孔, 實驗?zāi)Ｐ痛怪敝糜谒刂欣@中軸線轉(zhuǎn)動.發(fā)射換能器采用剛性連接吊放位置距離目標3.65 m, 水聽器型號為B&K8103, 吊放位置距離目標2.11 m.發(fā)射換能器、水聽器和目標三者處于同一深度, 距離水面3.87 m, 實驗?zāi)Ｐ图熬唧w布放如圖8 和圖9 所示.為排除市電干擾, 測量過程中所有設(shè)備全程處于UPS 直流供電狀態(tài).

圖8 實驗?zāi)Ｐ虵ig.8.Experimental objects.

圖9 實驗布放Fig.9.Diagram of experimental system setup.

4.2 實驗數(shù)據(jù)分析

發(fā)射信號為線性調(diào)頻信號, 頻率為5—15 kHz,脈寬0.8 ms, 發(fā)射周期為500 ms.將水聽器接收到的時域信號進行寬帶信號處理[17], 截取直達波(即發(fā)射陣直接到達水聽器的信號)時域信號 pi(t) 和回波時域信號 ps(t) 進行傅里葉變換得到其頻譜Pi(f) 和 Ps(f) , 再將回波信號頻譜除以直達波信號頻譜并對距離進行修正獲得3 個實驗?zāi)Ｐ头聪蛏⑸湫螒B(tài)函數(shù)幅頻特性曲線, 如圖10 所示.實驗中在所研究頻段明顯觀察到圓柱反向散射形態(tài)函數(shù)3 個共振峰(黑色線), 微弱形變規(guī)則波紋圓柱反向散射共振峰明顯的向高頻偏移, 且ξ = —10%的變形圓柱(藍色虛線)共振峰頻率偏移量大于ξ =—3%的變形圓柱(紅色點劃線)共振峰偏移量, 與第3 節(jié)理論分析結(jié)果一致.

從圖10 中3 個實驗?zāi)Ｐ偷姆聪蛏⑸湫螒B(tài)函數(shù)中提取共振峰頻率, 光滑圓柱共振峰頻率記為f0,規(guī)則波紋圓柱共振峰頻率表示為利用(16)式獲取的共振峰頻率為 fξ, 詳細數(shù)值見表3.這里定義實驗獲取的微弱形變規(guī)則波紋圓柱共振峰頻率相對誤差為

圖10 光滑圓柱和規(guī)則波紋表面圓柱反向散射形態(tài)函數(shù)實驗結(jié)果Fig.10.Backscattering form function of regular?corrugated cylinders in the experiment.

表3 實驗?zāi)Ｐ凸舱穹孱l率Table 3.Resonance frequencies of experimental objects.

為了更為直觀地觀察各個共振頻率, 以圖11(a),(b)柱狀圖形式呈現(xiàn), 分別對應(yīng)歸一化波紋微擾系數(shù)ξ = —3%和ξ = —10%規(guī)則波紋的共振頻率.實驗獲取微弱形變規(guī)則波紋圓柱共振峰頻率與近似(16)式所估算的結(jié)果吻合較好, 相對誤差均在5%以內(nèi)(見圖11(c)).因此, 可以用(16)式快速估計微弱形變規(guī)則波紋圓柱的共振頻率, 從而實現(xiàn)對PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率的調(diào)控.

圖12 為實驗獲取的微弱形變規(guī)則波紋圓柱的頻率?角度譜, 橫軸表示入射角度, 縱軸表示頻率,單位為kHz, 顏色表示形態(tài)函數(shù)幅值, 黑色虛線表示共振峰頻率.從圖12 可以看出: 微弱形變規(guī)則波紋圓柱低頻共振頻率在各個角度都發(fā)生了偏移,且在各個方位角偏移量基本相同.主要的原因是歸一化微擾系數(shù)ξ = —3%和ξ = —10%所對應(yīng)的微擾系數(shù)分別為ε = 0.0015 m 和ε = 0.005 m, 在所研究頻段內(nèi)Rayleigh 波波長λ ＞ 0.07 m (所對應(yīng)頻率為f = 15 kHz), 此時Rayleigh 波波長遠大于波紋微擾系數(shù), 對散射起主要作用的仍然是低頻Rayleigh 波共振, 波紋多鏡面反射的影響尚未清晰顯示出來[19], 因此微弱形變規(guī)則波紋PMMA 圓柱低頻共振頻率偏移量與入射方向無關(guān).

圖11 實驗和(16)式獲取得的共振頻率對比 (a) ξ = —3%; (b) ξ = —10%; (c)相對誤差Fig.11.Resonance frequencies obtained by experiment and Eq.(16): (a) ξ = —3%; (b) ξ = —10%; (c) relative error.

圖12 規(guī)則波紋圓柱頻率?角度譜 (a) ξ = 0; (b) ξ = —3%; (c) ξ = —10%Fig.12.Frequency?angle spectra: (a) ξ = 0; (b) ξ = —3%; (c) ξ = —10%.

5 結(jié) 論

本文提出了一種微弱形變的規(guī)則波紋表面結(jié)構(gòu), 可實現(xiàn)PMMA 圓柱體反向散射低頻共振頻率的無源調(diào)控.利用微擾法推導(dǎo)了無限長微弱形變規(guī)則波紋圓柱共振頻率的近似解, 研究發(fā)現(xiàn)由于邊界微弱形變Rayleigh 波傳播路徑發(fā)生改變, 沿著規(guī)則波紋表面?zhèn)鞑? 傳播路徑的改變引起傳播相位的變化, 從而導(dǎo)致共振峰頻率發(fā)生偏移.討論了波紋微擾系數(shù)、周期對規(guī)則波紋圓柱共振頻率偏移的影響規(guī)律: 當歸一化波紋微擾系數(shù)ξ ＞ 0 時, 規(guī)則波紋圓柱反向散射共振頻率隨著ξ 的增大向低頻偏移, 當ξ ＜ 0 時, 規(guī)則波紋圓柱反向散射共振頻率隨著ξ 的減小而向高頻偏移, 共振峰頻率偏移量隨著波紋微擾系數(shù)絕對值的增大而增大; 當波紋周期m ＜ 10 時, 波紋周期對共振頻率偏移影響較小.最后開展了規(guī)則波紋圓柱體聲散射特性水池實驗,獲取了不同波紋微擾系數(shù)規(guī)則波紋圓柱體的反向散射共振頻率, 明顯觀察到了規(guī)則波紋圓柱共振峰頻率偏移現(xiàn)象, 與理論預(yù)報結(jié)果吻合較好.PMMA圓柱低頻亞音速Rayleigh 波隧穿共振引起反向散射幅度增強和規(guī)則波紋結(jié)構(gòu)引起低頻共振頻率偏移的特征, 使得規(guī)則波紋PMMA 圓柱在標準散射體設(shè)計、利用“聲條形碼”進行身份識別方面具有潛在的應(yīng)用價值.

此外, 文中基于微擾法推導(dǎo)的用于計算無限長規(guī)則波紋圓柱聲散射的解, 只適用于微弱形變, 即波紋微擾系數(shù)和波紋周期較小的情況, 此時忽略了由于法向變化引起的微擾, 只考慮了函數(shù)值引起的微擾, 是一種近似解.若要對本問題或相關(guān)問題進行深入探討, 獲取更為精確的解, 可參考文獻[20]中規(guī)則形腔中簡正模式的微擾近似方法.

附錄A

其中, d11p, d12p, d13p, d21p, d22p, d23p, d32p, d33p和分別等于d11, d12, d13, d21, d22, d23, d32, d33和中將階次n 替換成p 的值.分別代表貝塞爾函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù).

將(A1)式中x 在x0處按照ε 的一階展開得

將(A2)式和(A3)式代入(A4)式得到(13)式.