文舒 芳

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學(xué)）

同學(xué)們，有一類基本圖形：三角形的兩條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，兩條外角平分線交于一點(diǎn)，或者一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線交于一點(diǎn)。圍繞這類圖的題靈活多變，角平分線還可以變?yōu)槿确志€或者n等分線。但我們只要抓住基本原理，下次遇到也不用怕！

例題如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P。

（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度數(shù)；

（2）如圖2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q與∠A之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖3，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E，試探索∠E與∠A之間的數(shù)量關(guān)系。

圖1

圖2

圖3

【錯(cuò)誤】部分同學(xué)解答第（2）問時(shí)直接使用（1）中的條件“∠A=80°”，求出∠Q與∠A的具體度數(shù)，關(guān)系也沒有總結(jié)出來。

【錯(cuò)因】審題不清，第（2）問慣性使用（1）中的條件；沒有具體的數(shù)據(jù)，就不會(huì)抽象分析，沒有真正領(lǐng)會(huì)“用字母表示數(shù)”的意義。

【解析】實(shí)際上，第（1）問可以把“∠A=80°”這個(gè)條件去掉，考慮一般的情況?！坝米帜副硎緮?shù)”，把∠A設(shè)為α°，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理表示∠ABC與∠ACB的和，再用角平分線的定義，求出∠PBC+∠PCB，進(jìn)而求出∠BPC，獲得結(jié)論：∠BPC=90°+∠A。

第（2）問類似上面的思路，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN的和為360°-∠ABC-∠ACB，即180°+∠A，再根據(jù)角平分線的定義可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得∠BQC=90°-∠A。當(dāng)然，在（1）知道∠BPC=90°+∠A的基礎(chǔ)上，我們還可以采用另一種方法。因?yàn)锽P、BQ分別平分∠ABC、∠MBC，易證∠PBQ=90°，同理，∠PCQ=90°，最后利用四邊形BPCQ的 內(nèi) 角 和 為360°，可 證 得∠BQC與∠BPC是互補(bǔ)的，問題也可解決。

第（3）問中，∠E是由三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線相交得來的?？梢杂萌切我粋€(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和來解決。如圖4，延長BC至點(diǎn)F，∠3 是△BCE的外角，有∠E=∠3-∠1；∠ACF是△ABC的外角，有∠A=∠ACF-∠ABC；再根據(jù)角平分線的定義，∠3=∠ACF，∠1=∠ABC，可證得∠E=∠A。當(dāng)然，也可由∠EBQ=90°知∠E與∠Q互余，進(jìn)而獲得結(jié)論。

圖4

【總結(jié)】由三角形內(nèi)角或外角平分線相交產(chǎn)生的角，其基本圖形和基本結(jié)論，我們可以總結(jié)成如圖5 的基本結(jié)構(gòu)。其中最為重要的是對基本原理的掌握。

∠BPC是由△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交得來，則∠BPC=90°+∠A；

∠BQC是由△ABC的兩條外角平分線相交得來，則∠BQC＝90°-∠A；

∠E是由△ABC的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線相交得來，則∠E=∠A。

【遷移】如圖6，∠MON=90°，在△ABO中，∠ABC=∠ABN，∠BAD=∠BAO，則∠D=______°（用含n的代數(shù)式表示）。

圖6

【解析】不難發(fā)現(xiàn)，∠D是由△ABO的一個(gè)外角n等分線與一個(gè)內(nèi)角n等分線相交得來，我們可以將圖5 的基本原理遷移使用。因?yàn)椤螦BN是△ABO的外角，有∠O=∠ABN-∠BAO；因?yàn)椤螦BC是△ABD的 外 角，所以有∠D=