劉 濤，王 碧，唐國(guó)安，周 鑫，張 亮

(1.復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433； 2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109；3.重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院，重慶 400044)

1 引 言

空間可展開(kāi)索網(wǎng)天線的設(shè)計(jì)中，需要面臨眾多的問(wèn)題與挑戰(zhàn)。其中，為適用高頻率和寬頻帶的工作要求，需要索網(wǎng)天線在大口徑的設(shè)計(jì)前提下同時(shí)具備較高的形面精度，因而索網(wǎng)天線的形面設(shè)計(jì)是天線設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)重要工作[1-3]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)索網(wǎng)天線的找形設(shè)計(jì)開(kāi)展了大量的研究工作。力密度法[4]是應(yīng)用最為廣泛的線性找形方法，在力密度法基礎(chǔ)上，Morterolle等[5]發(fā)展了等張力結(jié)構(gòu)的迭代算法，Yang等[6]提出了基于力密度法的找形與找力相結(jié)合的優(yōu)化迭代方法，Liu等[7]對(duì)力密度法進(jìn)行了改進(jìn)，提高了計(jì)算效率。一些學(xué)者還發(fā)展了其他線性找形方法，范葉森等[8]提出了索網(wǎng)天線等張力找形設(shè)計(jì)的坐標(biāo)迭代算法，該方法可使索網(wǎng)張力具有較好的均勻性；楊東武[9]研究了以形找力的極小范數(shù)法；李剛等[10]基于平衡矩陣奇異值分解法和線性規(guī)劃方法，求解了索網(wǎng)拋物面最優(yōu)預(yù)拉力配置。

在線性找形過(guò)程中，通常假設(shè)索網(wǎng)與桁架連接節(jié)點(diǎn)為不動(dòng)點(diǎn)，不考慮索網(wǎng)與桁架的變形耦合效應(yīng)。事實(shí)上，桁架在索網(wǎng)預(yù)張力作用下會(huì)產(chǎn)生變形，桁架結(jié)構(gòu)的變形又導(dǎo)致索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)位置偏離理想位置，降低了索網(wǎng)天線的形面精度。有限元法可實(shí)現(xiàn)索網(wǎng)與桁架結(jié)構(gòu)的一體化建模分析，狄杰建等[11]提出了將遺傳算法與有限元法相結(jié)合的索段預(yù)張力優(yōu)化設(shè)計(jì)與形面調(diào)整方法。譚述君等[12]針對(duì)索網(wǎng)天線中張拉索拉壓非線性的特點(diǎn)，將參變量變分原理應(yīng)用于周邊桁架式索網(wǎng)天線[13]的有限元分析，提高了繩索數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。上述有限元法在描述柔性索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的幾何非線性時(shí)采用TL列式和NR迭代法進(jìn)行求解，但TL法在大撓度下存在計(jì)算精度和收斂速度均不高的問(wèn)題[14,15]，而NR法具有收斂的性質(zhì)，當(dāng)給定的索網(wǎng)天線初始構(gòu)型和預(yù)張力不夠理想，迭代過(guò)程中的收斂性將難以保證。

本文基于參變量變分和共旋列式描述索網(wǎng)天線張拉索的拉壓非線性和幾何非線性，建立含預(yù)應(yīng)力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的非線性有限元控制方程，克服了TL列式在計(jì)算效率和精度上的不足，并保留了參變量變分計(jì)算張拉索穩(wěn)定的特點(diǎn)。為提高索網(wǎng)天線計(jì)算的收斂性，采用改進(jìn)牛頓法對(duì)控制方程進(jìn)行求解。進(jìn)一步，將力密度迭代原理與有限元法相結(jié)合，對(duì)索網(wǎng)天線進(jìn)行找形分析。結(jié)果表明，所采用的方法具有較好的收斂性和找形精度，可應(yīng)用于索網(wǎng)天線的形面設(shè)計(jì)。

2 有限元控制方程及求解理論

2.1 索網(wǎng)本構(gòu)關(guān)系的參變量描述

索網(wǎng)天線的張拉索只能抗拉不能抗壓，在存在初始預(yù)張力下，其本構(gòu)關(guān)系可表示為

(1)

式中E+為張拉索抗拉模量，ε為軸向應(yīng)變，σ為軸向應(yīng)力。

針對(duì)式(1)引入?yún)⒆兞喀?可將式(1)統(tǒng)一表述為

σ=E+(ε+σ0/E++λ)

(2)

式中λ滿足

(3)

引入非負(fù)的松弛變量ν,可得繩索的拉壓狀態(tài)控制方程為

(4)

式中λν=0是互補(bǔ)條件，當(dāng)λ=0,ν=0時(shí)，繩索處于未變形狀態(tài)；當(dāng)λ>0,ν=0時(shí)，繩索處于受壓狀態(tài)；當(dāng)λ=0,ν>0時(shí)，繩索處于拉伸狀態(tài)。

2.2 參變量與共旋列式的統(tǒng)一描述

采用共旋列式描述索單元的幾何非線性，共旋列式在大撓度、大轉(zhuǎn)角、小應(yīng)變分析時(shí)具有更簡(jiǎn)潔的列式和更高的計(jì)算效率。結(jié)合參變量與共旋列式的索單元切線剛度矩陣可表述為

(5，6)

symmetric

(7)

symmetric

(8)

式中ε為當(dāng)前構(gòu)型下的應(yīng)變，ε0為繩索初始預(yù)張力下的應(yīng)變。A0和l0是索單元的截面積和初始長(zhǎng)度，定義α,β和γ為當(dāng)前構(gòu)型下單元與總體坐標(biāo)系x,y和z軸的夾角，a1和a2是α的余弦和正弦，b1和b2是β的余弦和正弦，c1和c2是γ的余弦和正弦。

將各個(gè)索單元的剛度矩陣KT、參變量λ和互補(bǔ)變量ν等進(jìn)行組裝，可得索網(wǎng)非線性有限元的控制方程為

[ΔP]=[KT]{Δδ}

(9)

(10)

2.3 非線性有限元方程的改進(jìn)牛頓法

NR法是求解式(9)最常用的迭代方法，通過(guò)線性逼近和反復(fù)迭代直至收斂于實(shí)際的平衡路徑，其迭代格式為

[KT]i{Δδ}i +1={ΔP}i
{δ}i +1={δ}i+{Δδ}i +1

(11)

式中[KT]i為第i次迭代時(shí)的切線剛度矩陣，{Δδ}i +1為第i次迭代時(shí)由節(jié)點(diǎn)不平衡力引起的位移增量，{ΔP}i為第i次迭代時(shí)的節(jié)點(diǎn)不平衡力，{δ}i為第i次迭代時(shí)的節(jié)點(diǎn)位移。

由于NR法是局部收斂的，當(dāng)給定的初始預(yù)張力不在索網(wǎng)平衡狀態(tài)附近時(shí)，迭代計(jì)算往往存在收斂困難。為了放寬對(duì)初始值的選擇要求，將NR法與線性搜索方法結(jié)合使用，迭代公式為

(k=0,1,2,…) (12)

式中k為松弛因子，k值的選取需滿足

|{ΔPi +1}|<|{ΔPi}|

(13)

3 索網(wǎng)預(yù)應(yīng)力平衡的有限元計(jì)算

根據(jù)上述理論在Matlab平臺(tái)編制非線性有限元程序，應(yīng)用該程序?qū)D1所示模塊化天線單個(gè)模塊的拋物面索網(wǎng)進(jìn)行預(yù)應(yīng)力平衡計(jì)算，單個(gè)模塊的初始邊長(zhǎng)約為2600 mm。模型共有181個(gè)節(jié)點(diǎn)，408個(gè)單元。索網(wǎng)采用抗拉模量為20 GPa的凱夫拉繩，直徑為1 mm；計(jì)算中約束背索網(wǎng)主徑向的節(jié)點(diǎn)；為驗(yàn)證參變量變分與改進(jìn)牛頓法相結(jié)合的有限元法在求解索網(wǎng)大變形下的計(jì)算穩(wěn)定性，給定索網(wǎng)天線前后索網(wǎng)及縱向索網(wǎng)20 N張緊力；要求索網(wǎng)的收斂精度滿足‖ΔP‖<0.1,分別采用NR法和改進(jìn)牛頓法進(jìn)行求解，為兼顧計(jì)算效率，改進(jìn)牛頓法中k值上限取5。

經(jīng)計(jì)算，NR法在迭代過(guò)程中無(wú)法收斂，而改進(jìn)牛頓法經(jīng)過(guò)215個(gè)迭代步計(jì)算后，達(dá)到‖ΔP‖<0.01的收斂要求。圖2為兩種方法在前215個(gè)迭代下的‖ΔP‖值，說(shuō)明NR法的節(jié)點(diǎn)不平衡力在120 N附近振蕩，始終無(wú)法收斂。而改進(jìn)牛頓法雖然無(wú)法保證每個(gè)迭代步都是收斂的，但計(jì)算總趨勢(shì)是收斂的。此外，改進(jìn)牛頓法計(jì)算用時(shí)12.37 s，仍具備較高的計(jì)算效率。

圖1 天線索網(wǎng)及整體結(jié)構(gòu)

圖2 每個(gè)迭代步下的不平衡力

圖3為索網(wǎng)的內(nèi)力云圖，索單元的最大內(nèi)力為40.9134 N，最小內(nèi)力為0 N，說(shuō)明在索網(wǎng)達(dá)到新的平衡態(tài)后部分索單元出現(xiàn)了松弛。

4 索網(wǎng)天線的找形分析

基于參變量原理的有限元法較強(qiáng)的收斂能力為應(yīng)用于索網(wǎng)天線非線性找形設(shè)計(jì)提供了必要條件。索網(wǎng)找形設(shè)計(jì)還要求滿足所有前索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)均在理想拋物面上；索網(wǎng)單元不出現(xiàn)松弛，內(nèi)部索段張力相等；索網(wǎng)的形面精度、垂跨比滿足設(shè)計(jì)要求等。在等張力迭代力密度法中，對(duì)于給定成形張拉力T0和本次迭代所得的索段長(zhǎng)度li情況下，可設(shè)定迭代力密度值為qi +1=t0/li。本文將該力密度法迭代思想與參變量變分有限元法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)給定張力下的找形設(shè)計(jì)。具體實(shí)施步驟如下。

(1) 設(shè)計(jì)初始索網(wǎng)拉力T0。

(2) 基于參變量變分有限元法計(jì)算索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及索單元拉力。

(3) 修正索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)至拋物面上，并計(jì)算前索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)更新前后誤差tol、垂跨比ρ和形面精度δ。

(4) 判斷ρ，tol和δ等指標(biāo)是否滿足要求。是，輸出節(jié)點(diǎn)位置和索網(wǎng)拉力，結(jié)束分析；否，更新索網(wǎng)坐標(biāo)，并更新拉力至T0,返回至步驟(2)重新進(jìn)行迭代。

圖3 索網(wǎng)內(nèi)力云圖

圖4 找形后的索網(wǎng)構(gòu)型

圖5 前索網(wǎng)各索段內(nèi)力分布

5 結(jié) 論

針對(duì)大柔性索網(wǎng)天線拉壓非線性和幾何非線性的特點(diǎn)，為提高算法的穩(wěn)定性和收斂效率，建立基于參變量變分和共旋列式結(jié)合的非線性有限元控制方程，采用Lemke算法和改進(jìn)牛頓法進(jìn)行求解。將該有限元法應(yīng)用于索網(wǎng)的預(yù)張力平衡計(jì)算和索網(wǎng)的找形設(shè)計(jì)。通過(guò)分析，可得到如下結(jié)論。

(1) 本文所采用的改進(jìn)牛頓法比NR法具有更好的收斂性，同時(shí)兼顧了計(jì)算效率，適用于大變形下的索網(wǎng)預(yù)張力平衡計(jì)算。

(2) 將有限元法與力密度法迭代原理相結(jié)合，應(yīng)用于索網(wǎng)找形分析，獲得了理想的索網(wǎng)構(gòu)型，與力密度法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明該找形方法是可行的。

(3) 本文的索網(wǎng)找形方法可進(jìn)一步推廣至柔性邊界下的索網(wǎng)找形設(shè)計(jì)和預(yù)張力優(yōu)化。