熊海超,葛仁余,張佳宸,夏 雨,盧港偉
(安徽工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)
振動(dòng)通常由兩部分組成,一是按結(jié)構(gòu)自振頻率振動(dòng),二是按荷載頻率振動(dòng)。由于在實(shí)際振動(dòng)過(guò)程中存在著阻尼力,故按自振頻率振動(dòng)的部分將逐漸消失,只剩下按荷載頻率振動(dòng)的部分。一般兩種振動(dòng)同時(shí)存在的階段為“過(guò)渡階段”,后來(lái)只按荷載頻率振動(dòng)的階段為“平穩(wěn)階段”,而實(shí)際問(wèn)題中“平穩(wěn)階段”的振動(dòng)較為重要。
Hasheminejad等基于線彈性理論研究了簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)荷載作用下的瞬態(tài)彈性動(dòng)力響應(yīng)的半解析解;Fan等提出了基于復(fù)正態(tài)模態(tài)分析的粘彈性邊界支座梁受迫振動(dòng)的分析方法,分析了粘彈性支座對(duì)梁受迫振動(dòng)響應(yīng)的影響;Wielentejczyk等研究了簡(jiǎn)諧荷載作用下粘彈性梁的幾何非線性穩(wěn)態(tài)振動(dòng)問(wèn)題以及其穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性;Simsek等研究了功能梯度簡(jiǎn)支梁在集中移動(dòng)諧波荷載作用下的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng),分析了梁的材料分布、移動(dòng)諧波荷載速度和激勵(lì)頻率對(duì)梁動(dòng)力響應(yīng)的影響;Khalili等運(yùn)用瑞利-里茲(Rayleigh-Ritz)法和微分求積(DQM)法研究了功能梯度梁在移動(dòng)荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng),以及材料特性和運(yùn)動(dòng)荷載慣量對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響;Yang等運(yùn)用無(wú)網(wǎng)格邊界積分方程法研究了功能梯度梁在諧波荷載和瞬態(tài)荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題;Han等運(yùn)用格林函數(shù)單元法研究了具有阻尼效應(yīng)的簡(jiǎn)諧荷載作用下軸向功能梯度非均勻梁穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)的解析解,分析了解的阻尼效應(yīng)和對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。
在工程實(shí)際中,當(dāng)遇到受彎構(gòu)件承受諧振荷載的情況,這時(shí)一般總是將結(jié)構(gòu)及其構(gòu)件的設(shè)計(jì)避開(kāi)共振區(qū)。當(dāng)避開(kāi)共振區(qū)時(shí),在穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)過(guò)程中即簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)入”平穩(wěn)階段”,所有的荷載、變形、內(nèi)力、支反力和慣性力均按同一簡(jiǎn)諧規(guī)律變化,即同時(shí)達(dá)到各自的最大值。此時(shí),受彎構(gòu)件的穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移和內(nèi)力幅值可以直接得出,而不必將振型分解,這樣的計(jì)算偏于安全,并大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題的求解。Sun采用積分變換法研究了彈性地基梁在簡(jiǎn)諧線荷載作用下的閉合撓度響應(yīng),得到其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的顯示表達(dá)式,給出了不同載荷頻率和速度組合時(shí)的閉合撓度;Luo等研究了彈性支承的Timoshenko梁在簡(jiǎn)諧線荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),給出了其相應(yīng)的閉合解;Kargarnovin等研究了非線性黏彈性地基支承的無(wú)限長(zhǎng)梁在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)荷載作用下的響應(yīng),參數(shù)化分析了加載速度和激勵(lì)頻率對(duì)梁響應(yīng)的影響;Seong等研究了彈性地基上受簡(jiǎn)諧荷載作用的剪力梁柱的振動(dòng)和屈曲,分析了梁的剪切變形和軸向壓縮對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響,給出了預(yù)測(cè)臨界速度、臨界頻率和軸向屈曲力的表達(dá)式。
文章運(yùn)用微分求積法研究了有限長(zhǎng)變截面Timoshenko梁上作用簡(jiǎn)諧線動(dòng)荷載的梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題?;赥imoshenko梁理論建立了變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程組,將變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為一組含有復(fù)變系數(shù)線性常微分方程組的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題,運(yùn)用微分求積法求解,可獲得梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移與內(nèi)力幅值,同時(shí)可以獲得相應(yīng)梁的時(shí)程曲線。針對(duì)地基梁復(fù)變系數(shù)微分方程所得的復(fù)數(shù)解,能夠很好地反映地基阻尼對(duì)梁橫向穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)梁位移與內(nèi)力的衰減,且文中方法對(duì)梁截面的幾何輪廓形狀無(wú)需任何限制條件,便于工程應(yīng)用。
l
的彈性變截面Timoshenko梁模型,其截面面積沿軸向任意連續(xù)變化,x
是從梁的左端起點(diǎn)沿軸線方向的坐標(biāo)。梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí),假設(shè)梁僅在x
-w
平面內(nèi)變形,且梁的截面位移屬于小變形范疇,忽略梁軸向變形的影響。設(shè)任意x
處截面中性軸上的位移,撓度為w
(x
,t
),截面轉(zhuǎn)角為φ
(x
,t
);材料的彈性模量為E
、質(zhì)量密度為ρ
、剪切模量為G
、泊松比為ν
、梁截面的剪切修正系數(shù)為κ
,均為常量;梁截面面積為A
(x
),截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I
(x
),均為關(guān)于x
的函數(shù),設(shè)A
(x
)=A
h
(x
),I
(x
)=I
h
(x
),其中h
(x
)、h
(x
)為關(guān)于x
的連續(xù)可微函數(shù),A
、I
分別對(duì)應(yīng)于左端邊界x
=0位置處梁截面面積與截面慣性矩。由圖1可知,M
(x
,t
)、V
(x
,t
)、P
分別為x
處梁橫截面上的彎矩、豎向力與水平向恒定力,P
>0表示P
為軸向壓力,P
<0表示P
為軸向拉力;φ
、γ
、α
分別表示梁微元橫截面轉(zhuǎn)角(由純彎矩引起的中性軸的轉(zhuǎn)角)、由純剪力引起的中性軸的剪切角、由彎矩和剪力共同作用引起的中性軸的實(shí)際轉(zhuǎn)角,均為關(guān)于x
、t
的函數(shù);f
(x
,t
)表示由橫向振動(dòng)引起的單位長(zhǎng)度梁上的橫向慣性力,m
(x
,t
)表示由橫向振動(dòng)引起的單位長(zhǎng)度梁上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩,均為關(guān)于x
、t
的函數(shù);q
(x
,t
)=F
(x
)e
為梁承受的諧振線荷載,其中F
(x
)為激振力幅值,ω
為激振荷載頻率;kw
、cw
、gw
分別表示黏彈性地基的彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)與剪切系數(shù)。圖1 黏彈性地基變截面Timoshenko梁的力學(xué)模型
由圖1b可知,Timoshenko梁微元段變形存在幾何關(guān)系:
(1)
Q
(x
,t
)為梁在x
位置處橫截面上的剪力,梁微元變形后,橫截面上的豎向力V
(x
,t
)與剪力Q
(x
,t
)及水平力P
存在以下關(guān)系:(2)
圖1a中,P
(x
,t
)表示三參數(shù)Pasternak黏彈性地基對(duì)單位長(zhǎng)度梁段的地基反力,其方程可表示為:(3)
由圖1a、圖1b、圖1c可知,根據(jù)梁微元變形的平衡條件,結(jié)合式(1)、式(2)、式(3)得到Timoshenko梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制微分方程組如下:
(4)
考慮梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí),所有荷載、變形、內(nèi)力、支反力和慣性力等均按荷載激勵(lì)頻率振動(dòng)的規(guī)律變化,并同時(shí)達(dá)到各自的最大值。可設(shè):
w
(x
,t
)=W
(x
)e
,φ
(x
,t
)=Φ
(x
)e
,q
(x
,t
)=Q
e
,(5)
將式(5)代入式(4),并引入下列無(wú)量綱參數(shù),得到梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程組的無(wú)量綱形式如式(6)所示。
(6)
式中,r
是影響梁橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的無(wú)量綱回轉(zhuǎn)半徑,當(dāng)左端截面一定時(shí),其值可反映梁長(zhǎng)細(xì)比的大??;s
是反映梁剪切變形的無(wú)量綱參數(shù);Ω
是外部激勵(lì)荷載的無(wú)量綱角頻率。為方便方法的描述,引入下列系數(shù)參量代入式(6),得到式(7)。
(7)
將區(qū)間ξ
∈[0,1]離散為n
段,0=ξ
,ξ
,ξ
,ξ
-1,ξ
=1,共n
+1個(gè)節(jié)點(diǎn)。采用標(biāo)記C、H和F分別表示固支、簡(jiǎn)支和自由三種梁的端部支承形式,如C-H表示梁兩端的支承形式為左端固支、右端簡(jiǎn)支。因此梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的各類(lèi)邊界條件為:(8a)
(8b)
(8c)
(8d)
至此,變截面Timoshenko梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解滿(mǎn)足相應(yīng)邊界條件式(8)的復(fù)變系數(shù)常微分方程組式(7)的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題,文中采用微分求積法。
ξ
∈[0,1]進(jìn)行節(jié)點(diǎn)間距變步長(zhǎng)設(shè)置,如圖2所示,具體節(jié)點(diǎn)離散公式為:(9)
式中,q
和q
為調(diào)整非均勻等比數(shù)列節(jié)點(diǎn)劃分密度的公比,可根據(jù)計(jì)算精度需要進(jìn)行調(diào)整。這種在梁兩端支座附近區(qū)域布置較多的細(xì)密非均勻節(jié)點(diǎn),無(wú)論從數(shù)學(xué)角度還是力學(xué)角度,對(duì)于微分求積法的計(jì)算精度都非常有利。圖2 變截面梁的節(jié)點(diǎn)離散模型
考慮一維函數(shù)U
(ξ
)、Ф(ξ
)在區(qū)間ξ
∈[0,1]上可微,區(qū)間離散為n
段,0=ξ
,ξ
,ξ
,ξ
-1,ξ
=1,共n
+1個(gè)節(jié)點(diǎn),即n
+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值可用n
+1個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的加權(quán)線性求和來(lái)近似表示。將函數(shù)U
(ξ
)、Ф(ξ
)及其相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值用其各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行拉格朗日(Lagrange)插值表示,即(10)
式中,l
(ξ
)為拉格朗日插值多項(xiàng)式,其具體形式為:(11)
由式(10),分別對(duì)函數(shù)U
(ξ
)、Ф(ξ
)求一階導(dǎo)數(shù),得到:(12)
將式(12)中的ξ
離散化,從而有:(13)
依此類(lèi)推,可得:
(14)
(15)
將式(13)用向量形式表達(dá),得到:
(16)
ξ
)={U
()(ξ
),U
()(ξ
),…,U
()(ξ
)},(ξ
)={U
(ξ
),U
(ξ
),…,U
(ξ
)},()(ξ
)={Φ
()(ξ
),Φ
()(ξ
),…,Φ
()(ξ
)},(ξ
)={Φ
(ξ
),Φ
(ξ
),…,Φ
(ξ
)},由于微分關(guān)系
(17)
因此,各階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)矩陣之間的關(guān)系為:
(18)
將式(7)離散,并用向量形式表示,其中微分方程組中的變系數(shù)寫(xiě)成對(duì)角陣形式,即
=diag
{g
(ξ
),g
(ξ
),…,g
(ξ
)},=diag
{g
(ξ
),g
(ξ
),…,g
(ξ
)},=diag
{g
(ξ
),g
(ξ
),…,g
(ξ
)},=diag
{g
(ξ
),g
(ξ
),…,g
(ξ
)},=diag
{g
(ξ
),g
(ξ
),…,g
(ξ
)},=diag
{g
(ξ
),g
(ξ
),…,g
(ξ
)},=diag
{g
(ξ
),g
(ξ
),…,g
(ξ
)},=diag
{g
(ξ
),g
(ξ
),…,g
(ξ
)},=diag
{g
(ξ
),g
(ξ
),…,g
(ξ
)},=diag
{g
(ξ
),g
(ξ
),…,g
(ξ
)}。從而得到梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程組的向量矩陣形式:
(19)
根據(jù)復(fù)系數(shù)代數(shù)方程組的表達(dá)形式,將式(19)分解為:
(20)
式中,矩陣、分別表示矩陣的實(shí)部與虛部,矩陣、、的實(shí)部與虛部均同理表示;向量、分別表示向量的實(shí)部與虛部;由此可知,兩未知向量解的形式為:=+i
、=+i
。不失一般性,以懸臂梁(C-F)情況為例進(jìn)行邊界條件討論,則其相應(yīng)的邊界條件的向量形式為:
(21)
n
行,獲得梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程的復(fù)系數(shù)代數(shù)方程組的向量矩陣形式。(22)
為便于編程計(jì)算,式(22)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:
(+i
)=+i
,(23)
解向量形式為:
n
+2個(gè)未知復(fù)數(shù)向量(,)的復(fù)系數(shù)線性代數(shù)方程組,通過(guò)復(fù)系數(shù)方程組的全選主元高斯(Gauss)消去法可直接求出復(fù)數(shù)解向量(,),即為相應(yīng)梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)離散化后各點(diǎn)的無(wú)量綱撓度U
(ξ
)和截面轉(zhuǎn)角Ф(ξ
)的幅值。根據(jù)Timoshenko梁理論,結(jié)合基本參量單位,可進(jìn)一步計(jì)算獲得梁各節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力幅值。表1 一端固支、一端簡(jiǎn)支Euler梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移與內(nèi)力
算例
2黏彈性地基上Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)。考慮黏彈性地基約束的影響,梁段區(qū)間劃分點(diǎn)數(shù)
n
=30,公比q
=1.2時(shí),運(yùn)用微分求積法求解式(7)和式(8d),對(duì)黏彈性地基上Timoshenko懸臂梁(C-F)橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行研究,這里取均布荷載幅值Q
=100 kN/m,軸向荷載P
=-40×40 MN,其他具體參數(shù)參照文獻(xiàn)[17]確定取值范圍。算例主要分析了無(wú)量綱地基彈性系數(shù)k
、無(wú)量綱地基剪切系數(shù)g
及無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)b
對(duì)梁位移和內(nèi)力幅值的影響。地基彈性系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響如圖3所示。由圖3可知,無(wú)量綱地基彈性系數(shù)k
對(duì)C-F梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)地基梁位移與內(nèi)力的影響。由圖3a、圖3b、圖3c、圖3d計(jì)算結(jié)果可知,地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值隨著無(wú)量綱地基彈性系數(shù)k
的增大而減小。剪切系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響如圖4所示。由圖4可知,無(wú)量綱地基剪切系數(shù)g
對(duì)C-F地基梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)梁位移與內(nèi)力的影響。由圖4a、圖4b、圖4c、圖4d計(jì)算結(jié)果可知,地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值隨著無(wú)量綱地基剪切系數(shù)g
的增大而增大。圖3 地基彈性系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響
圖4 剪切系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響
阻尼系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響如圖5所示。由圖5可知,無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)b
對(duì)C-F地基梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)梁位移與內(nèi)力的影響。由圖5a、圖5b、圖5c、圖5d、圖5e、圖5f、圖5g、圖5h計(jì)算結(jié)果可知,地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值實(shí)數(shù)部分隨著無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)b
的增大而減小,撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值的虛數(shù)部分隨著無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)b
的增大而增大。綜上,地基彈性系數(shù)k
、剪切系數(shù)g
及阻尼系數(shù)b
對(duì)黏彈性地基上Timoshenko梁位移和內(nèi)力幅值的影響比較明顯,不可忽略。圖5 阻尼系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響
k
、剪切系數(shù)g
及阻尼系數(shù)b
對(duì)黏彈性地基上Timoshenko梁位移和內(nèi)力幅值的影響比較明顯。具體表現(xiàn)為:梁的位移和內(nèi)力隨地基彈性系數(shù)k
的增大而減小、隨地基剪切系數(shù)g
的增大而增大、隨地基阻尼系數(shù)b
的增大而減小。研究方法具有通用性和適應(yīng)性強(qiáng)的特點(diǎn),可以推廣到抗彎剛度和單位長(zhǎng)度質(zhì)量連續(xù)變化的功能梯度材料Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的研究中,具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。安徽工程大學(xué)學(xué)報(bào)2021年1期