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      黏彈性地基上變截面Timoshenko梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)分析

      2021-03-23 07:17:32熊海超葛仁余張佳宸盧港偉
      關(guān)鍵詞:無(wú)量內(nèi)力穩(wěn)態(tài)

      熊海超,葛仁余,張佳宸,夏 雨,盧港偉

      (安徽工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

      振動(dòng)通常由兩部分組成,一是按結(jié)構(gòu)自振頻率振動(dòng),二是按荷載頻率振動(dòng)。由于在實(shí)際振動(dòng)過(guò)程中存在著阻尼力,故按自振頻率振動(dòng)的部分將逐漸消失,只剩下按荷載頻率振動(dòng)的部分。一般兩種振動(dòng)同時(shí)存在的階段為“過(guò)渡階段”,后來(lái)只按荷載頻率振動(dòng)的階段為“平穩(wěn)階段”,而實(shí)際問(wèn)題中“平穩(wěn)階段”的振動(dòng)較為重要。

      Hasheminejad等基于線彈性理論研究了簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)荷載作用下的瞬態(tài)彈性動(dòng)力響應(yīng)的半解析解;Fan等提出了基于復(fù)正態(tài)模態(tài)分析的粘彈性邊界支座梁受迫振動(dòng)的分析方法,分析了粘彈性支座對(duì)梁受迫振動(dòng)響應(yīng)的影響;Wielentejczyk等研究了簡(jiǎn)諧荷載作用下粘彈性梁的幾何非線性穩(wěn)態(tài)振動(dòng)問(wèn)題以及其穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性;Simsek等研究了功能梯度簡(jiǎn)支梁在集中移動(dòng)諧波荷載作用下的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng),分析了梁的材料分布、移動(dòng)諧波荷載速度和激勵(lì)頻率對(duì)梁動(dòng)力響應(yīng)的影響;Khalili等運(yùn)用瑞利-里茲(Rayleigh-Ritz)法和微分求積(DQM)法研究了功能梯度梁在移動(dòng)荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng),以及材料特性和運(yùn)動(dòng)荷載慣量對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響;Yang等運(yùn)用無(wú)網(wǎng)格邊界積分方程法研究了功能梯度梁在諧波荷載和瞬態(tài)荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題;Han等運(yùn)用格林函數(shù)單元法研究了具有阻尼效應(yīng)的簡(jiǎn)諧荷載作用下軸向功能梯度非均勻梁穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)的解析解,分析了解的阻尼效應(yīng)和對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。

      在工程實(shí)際中,當(dāng)遇到受彎構(gòu)件承受諧振荷載的情況,這時(shí)一般總是將結(jié)構(gòu)及其構(gòu)件的設(shè)計(jì)避開(kāi)共振區(qū)。當(dāng)避開(kāi)共振區(qū)時(shí),在穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)過(guò)程中即簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)入”平穩(wěn)階段”,所有的荷載、變形、內(nèi)力、支反力和慣性力均按同一簡(jiǎn)諧規(guī)律變化,即同時(shí)達(dá)到各自的最大值。此時(shí),受彎構(gòu)件的穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移和內(nèi)力幅值可以直接得出,而不必將振型分解,這樣的計(jì)算偏于安全,并大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題的求解。Sun采用積分變換法研究了彈性地基梁在簡(jiǎn)諧線荷載作用下的閉合撓度響應(yīng),得到其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的顯示表達(dá)式,給出了不同載荷頻率和速度組合時(shí)的閉合撓度;Luo等研究了彈性支承的Timoshenko梁在簡(jiǎn)諧線荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),給出了其相應(yīng)的閉合解;Kargarnovin等研究了非線性黏彈性地基支承的無(wú)限長(zhǎng)梁在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)荷載作用下的響應(yīng),參數(shù)化分析了加載速度和激勵(lì)頻率對(duì)梁響應(yīng)的影響;Seong等研究了彈性地基上受簡(jiǎn)諧荷載作用的剪力梁柱的振動(dòng)和屈曲,分析了梁的剪切變形和軸向壓縮對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響,給出了預(yù)測(cè)臨界速度、臨界頻率和軸向屈曲力的表達(dá)式。

      文章運(yùn)用微分求積法研究了有限長(zhǎng)變截面Timoshenko梁上作用簡(jiǎn)諧線動(dòng)荷載的梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題?;赥imoshenko梁理論建立了變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程組,將變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為一組含有復(fù)變系數(shù)線性常微分方程組的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題,運(yùn)用微分求積法求解,可獲得梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移與內(nèi)力幅值,同時(shí)可以獲得相應(yīng)梁的時(shí)程曲線。針對(duì)地基梁復(fù)變系數(shù)微分方程所得的復(fù)數(shù)解,能夠很好地反映地基阻尼對(duì)梁橫向穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)梁位移與內(nèi)力的衰減,且文中方法對(duì)梁截面的幾何輪廓形狀無(wú)需任何限制條件,便于工程應(yīng)用。

      1 Timoshenko梁基本理論

      黏彈性地基變截面Timoshenko梁的力學(xué)模型如圖1所示。為研究(黏)彈性地基梁的橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng),建立(黏)彈性地基上一長(zhǎng)度為

      l

      的彈性變截面Timoshenko梁模型,其截面面積沿軸向任意連續(xù)變化,

      x

      是從梁的左端起點(diǎn)沿軸線方向的坐標(biāo)。梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí),假設(shè)梁僅在

      x

      -

      w

      平面內(nèi)變形,且梁的截面位移屬于小變形范疇,忽略梁軸向變形的影響。設(shè)任意

      x

      處截面中性軸上的位移,撓度為

      w

      (

      x

      ,

      t

      ),截面轉(zhuǎn)角為

      φ

      (

      x

      ,

      t

      );材料的彈性模量為

      E

      、質(zhì)量密度為

      ρ

      、剪切模量為

      G

      、泊松比為

      ν

      、梁截面的剪切修正系數(shù)為

      κ

      ,均為常量;梁截面面積為

      A

      (

      x

      ),截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

      I

      (

      x

      ),均為關(guān)于

      x

      的函數(shù),設(shè)

      A

      (

      x

      )=

      A

      h

      (

      x

      ),

      I

      (

      x

      )=

      I

      h

      (

      x

      ),其中

      h

      (

      x

      )、

      h

      (

      x

      )為關(guān)于

      x

      的連續(xù)可微函數(shù),

      A

      、

      I

      分別對(duì)應(yīng)于左端邊界

      x

      =0位置處梁截面面積與截面慣性矩。由圖1可知,

      M

      (

      x

      ,

      t

      )、

      V

      (

      x

      ,

      t

      )、

      P

      分別為

      x

      處梁橫截面上的彎矩、豎向力與水平向恒定力,

      P

      >0表示

      P

      為軸向壓力,

      P

      <0表示

      P

      為軸向拉力;

      φ

      γ

      、

      α

      分別表示梁微元橫截面轉(zhuǎn)角(由純彎矩引起的中性軸的轉(zhuǎn)角)、由純剪力引起的中性軸的剪切角、由彎矩和剪力共同作用引起的中性軸的實(shí)際轉(zhuǎn)角,均為關(guān)于

      x

      、

      t

      的函數(shù);

      f

      (

      x

      ,

      t

      )表示由橫向振動(dòng)引起的單位長(zhǎng)度梁上的橫向慣性力,

      m

      (

      x

      ,

      t

      )表示由橫向振動(dòng)引起的單位長(zhǎng)度梁上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩,均為關(guān)于

      x

      t

      的函數(shù);

      q

      (

      x

      ,

      t

      )=

      F

      (

      x

      )

      e

      為梁承受的諧振線荷載,其中

      F

      (

      x

      )為激振力幅值,

      ω

      為激振荷載頻率;

      kw

      、

      cw

      、

      gw

      分別表示黏彈性地基的彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)與剪切系數(shù)。

      圖1 黏彈性地基變截面Timoshenko梁的力學(xué)模型

      由圖1b可知,Timoshenko梁微元段變形存在幾何關(guān)系:

      (1)

      Q

      (

      x

      ,

      t

      )為梁在

      x

      位置處橫截面上的剪力,梁微元變形后,橫截面上的豎向力

      V

      (

      x

      ,

      t

      )與剪力

      Q

      (

      x

      ,

      t

      )及水平力

      P

      存在以下關(guān)系:

      (2)

      圖1a中,

      P

      (

      x

      ,

      t

      )表示三參數(shù)Pasternak黏彈性地基對(duì)單位長(zhǎng)度梁段的地基反力,其方程可表示為:

      (3)

      由圖1a、圖1b、圖1c可知,根據(jù)梁微元變形的平衡條件,結(jié)合式(1)、式(2)、式(3)得到Timoshenko梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制微分方程組如下:

      (4)

      考慮梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí),所有荷載、變形、內(nèi)力、支反力和慣性力等均按荷載激勵(lì)頻率振動(dòng)的規(guī)律變化,并同時(shí)達(dá)到各自的最大值。可設(shè):

      w

      (

      x

      ,

      t

      )=

      W

      (

      x

      )

      e

      ,

      φ

      (

      x

      ,

      t

      )=

      Φ

      (

      x

      )

      e

      ,

      q

      (

      x

      ,

      t

      )=

      Q

      e

      ,

      (5)

      將式(5)代入式(4),并引入下列無(wú)量綱參數(shù),得到梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程組的無(wú)量綱形式如式(6)所示。

      (6)

      式中,

      r

      是影響梁橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的無(wú)量綱回轉(zhuǎn)半徑,當(dāng)左端截面一定時(shí),其值可反映梁長(zhǎng)細(xì)比的大??;

      s

      是反映梁剪切變形的無(wú)量綱參數(shù);

      Ω

      是外部激勵(lì)荷載的無(wú)量綱角頻率。

      為方便方法的描述,引入下列系數(shù)參量代入式(6),得到式(7)。

      (7)

      將區(qū)間

      ξ

      ∈[0,1]離散為

      n

      段,0=

      ξ

      ,

      ξ

      ,

      ξ

      ,

      ξ

      -1,

      ξ

      =1,共

      n

      +1個(gè)節(jié)點(diǎn)。采用標(biāo)記C、H和F分別表示固支、簡(jiǎn)支和自由三種梁的端部支承形式,如C-H表示梁兩端的支承形式為左端固支、右端簡(jiǎn)支。因此梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的各類(lèi)邊界條件為:

      (8a)

      (8b)

      (8c)

      (8d)

      至此,變截面Timoshenko梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解滿(mǎn)足相應(yīng)邊界條件式(8)的復(fù)變系數(shù)常微分方程組式(7)的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題,文中采用微分求積法。

      2 微分求積法基本原理

      研究采用非均勻等比數(shù)列節(jié)點(diǎn)離散模型對(duì)區(qū)間

      ξ

      ∈[0,1]進(jìn)行節(jié)點(diǎn)間距變步長(zhǎng)設(shè)置,如圖2所示,具體節(jié)點(diǎn)離散公式為:

      (9)

      式中,

      q

      q

      為調(diào)整非均勻等比數(shù)列節(jié)點(diǎn)劃分密度的公比,可根據(jù)計(jì)算精度需要進(jìn)行調(diào)整。這種在梁兩端支座附近區(qū)域布置較多的細(xì)密非均勻節(jié)點(diǎn),無(wú)論從數(shù)學(xué)角度還是力學(xué)角度,對(duì)于微分求積法的計(jì)算精度都非常有利。

      圖2 變截面梁的節(jié)點(diǎn)離散模型

      考慮一維函數(shù)

      U

      (

      ξ

      )、Ф(

      ξ

      )在區(qū)間

      ξ

      ∈[0,1]上可微,區(qū)間離散為

      n

      段,0=

      ξ

      ,

      ξ

      ,

      ξ

      ,

      ξ

      -1,

      ξ

      =1,共

      n

      +1個(gè)節(jié)點(diǎn),即

      n

      +1個(gè)節(jié)點(diǎn)上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值可用

      n

      +1個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的加權(quán)線性求和來(lái)近似表示。將函數(shù)

      U

      (

      ξ

      )、Ф(

      ξ

      )及其相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值用其各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行拉格朗日(Lagrange)插值表示,即

      (10)

      式中,

      l

      (

      ξ

      )為拉格朗日插值多項(xiàng)式,其具體形式為:

      (11)

      由式(10),分別對(duì)函數(shù)

      U

      (

      ξ

      )、Ф(

      ξ

      )求一階導(dǎo)數(shù),得到:

      (12)

      將式(12)中的

      ξ

      離散化,從而有:

      (13)

      依此類(lèi)推,可得:

      (14)

      (15)

      將式(13)用向量形式表達(dá),得到:

      (16)

      ()(

      ξ

      )={

      U

      ()(

      ξ

      ),

      U

      ()(

      ξ

      ),…,

      U

      ()(

      ξ

      )},(

      ξ

      )={

      U

      (

      ξ

      ),

      U

      (

      ξ

      ),…,

      U

      (

      ξ

      )},()(

      ξ

      )={

      Φ

      ()(

      ξ

      ),

      Φ

      ()(

      ξ

      ),…,

      Φ

      ()(

      ξ

      )},(

      ξ

      )={

      Φ

      (

      ξ

      ),

      Φ

      (

      ξ

      ),…,

      Φ

      (

      ξ

      )},

      由于微分關(guān)系

      (17)

      因此,各階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)矩陣之間的關(guān)系為:

      (18)

      將式(7)離散,并用向量形式表示,其中微分方程組中的變系數(shù)寫(xiě)成對(duì)角陣形式,即

      =

      diag

      {

      g

      (

      ξ

      ),

      g

      (

      ξ

      ),…,

      g

      (

      ξ

      )},=

      diag

      {

      g

      (

      ξ

      ),

      g

      (

      ξ

      ),…,

      g

      (

      ξ

      )},=

      diag

      {

      g

      (

      ξ

      ),

      g

      (

      ξ

      ),…,

      g

      (

      ξ

      )},=

      diag

      {

      g

      (

      ξ

      ),

      g

      (

      ξ

      ),…,

      g

      (

      ξ

      )},=

      diag

      {

      g

      (

      ξ

      ),

      g

      (

      ξ

      ),…,

      g

      (

      ξ

      )},=

      diag

      {

      g

      (

      ξ

      ),

      g

      (

      ξ

      ),…,

      g

      (

      ξ

      )},=

      diag

      {

      g

      (

      ξ

      ),

      g

      (

      ξ

      ),…,

      g

      (

      ξ

      )},=

      diag

      {

      g

      (

      ξ

      ),

      g

      (

      ξ

      ),…,

      g

      (

      ξ

      )},=

      diag

      {

      g

      (

      ξ

      ),

      g

      (

      ξ

      ),…,

      g

      (

      ξ

      )},=

      diag

      {

      g

      (

      ξ

      ),

      g

      (

      ξ

      ),…,

      g

      (

      ξ

      )}。

      從而得到梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程組的向量矩陣形式:

      (19)

      根據(jù)復(fù)系數(shù)代數(shù)方程組的表達(dá)形式,將式(19)分解為:

      (20)

      式中,矩陣、分別表示矩陣的實(shí)部與虛部,矩陣、、的實(shí)部與虛部均同理表示;向量分別表示向量的實(shí)部與虛部;由此可知,兩未知向量解的形式為:=+

      i

      、=+

      i

      。

      不失一般性,以懸臂梁(C-F)情況為例進(jìn)行邊界條件討論,則其相應(yīng)的邊界條件的向量形式為:

      (21)

      將邊界條件式(21)代入式(20)中,并替換相應(yīng)的第0行和

      n

      行,獲得梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程的復(fù)系數(shù)代數(shù)方程組的向量矩陣形式。

      (22)

      為便于編程計(jì)算,式(22)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:

      (+

      i

      )=+

      i

      ,

      (23)

      解向量形式為:

      至此,式(23)為含有2

      n

      +2個(gè)未知復(fù)數(shù)向量(,)的復(fù)系數(shù)線性代數(shù)方程組,通過(guò)復(fù)系數(shù)方程組的全選主元高斯(Gauss)消去法可直接求出復(fù)數(shù)解向量(,),即為相應(yīng)梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)離散化后各點(diǎn)的無(wú)量綱撓度

      U

      (

      ξ

      )和截面轉(zhuǎn)角Ф(

      ξ

      )的幅值。根據(jù)Timoshenko梁理論,結(jié)合基本參量單位,可進(jìn)一步計(jì)算獲得梁各節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力幅值。

      3 數(shù)值算例與討論

      表1 一端固支、一端簡(jiǎn)支Euler梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移與內(nèi)力

      算例

      2

      黏彈性地基上Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)。考慮黏彈性地基約束的影響,梁段區(qū)間劃分點(diǎn)數(shù)

      n

      =30,公比

      q

      =1.2時(shí),運(yùn)用微分求積法求解式(7)和式(8d),對(duì)黏彈性地基上Timoshenko懸臂梁(C-F)橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行研究,這里取均布荷載幅值

      Q

      =100 kN/m,軸向荷載

      P

      =-40×40 MN,其他具體參數(shù)參照文獻(xiàn)[17]確定取值范圍。算例主要分析了無(wú)量綱地基彈性系數(shù)

      k

      、無(wú)量綱地基剪切系數(shù)

      g

      及無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)

      b

      對(duì)梁位移和內(nèi)力幅值的影響。地基彈性系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響如圖3所示。由圖3可知,無(wú)量綱地基彈性系數(shù)

      k

      對(duì)C-F梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)地基梁位移與內(nèi)力的影響。由圖3a、圖3b、圖3c、圖3d計(jì)算結(jié)果可知,地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值隨著無(wú)量綱地基彈性系數(shù)

      k

      的增大而減小。剪切系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響如圖4所示。由圖4可知,無(wú)量綱地基剪切系數(shù)

      g

      對(duì)C-F地基梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)梁位移與內(nèi)力的影響。由圖4a、圖4b、圖4c、圖4d計(jì)算結(jié)果可知,地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值隨著無(wú)量綱地基剪切系數(shù)

      g

      的增大而增大。

      圖3 地基彈性系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響

      圖4 剪切系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響

      阻尼系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響如圖5所示。由圖5可知,無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)

      b

      對(duì)C-F地基梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)梁位移與內(nèi)力的影響。由圖5a、圖5b、圖5c、圖5d、圖5e、圖5f、圖5g、圖5h計(jì)算結(jié)果可知,地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值實(shí)數(shù)部分隨著無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)

      b

      的增大而減小,撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值的虛數(shù)部分隨著無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)

      b

      的增大而增大。綜上,地基彈性系數(shù)

      k

      、剪切系數(shù)

      g

      及阻尼系數(shù)

      b

      對(duì)黏彈性地基上Timoshenko梁位移和內(nèi)力幅值的影響比較明顯,不可忽略。

      圖5 阻尼系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響

      4 結(jié)論

      研究基于Timoshenko梁理論,將有限長(zhǎng)變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求解一組含有復(fù)變系數(shù)常微分方程組的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題,運(yùn)用微分求積法求解該復(fù)變系數(shù)常微分方程組,從而獲得梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)的位移與內(nèi)力。研究主要結(jié)論如下:由微分求積法獲得的Euler梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移及內(nèi)力計(jì)算值與精確解、已有文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果吻合,說(shuō)明了微分求積法分析梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)問(wèn)題的有效性和精確性。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,地基彈性系數(shù)

      k

      、剪切系數(shù)

      g

      及阻尼系數(shù)

      b

      對(duì)黏彈性地基上Timoshenko梁位移和內(nèi)力幅值的影響比較明顯。具體表現(xiàn)為:梁的位移和內(nèi)力隨地基彈性系數(shù)

      k

      的增大而減小、隨地基剪切系數(shù)

      g

      的增大而增大、隨地基阻尼系數(shù)

      b

      的增大而減小。研究方法具有通用性和適應(yīng)性強(qiáng)的特點(diǎn),可以推廣到抗彎剛度和單位長(zhǎng)度質(zhì)量連續(xù)變化的功能梯度材料Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的研究中,具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

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