δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)的阿貝爾擴(kuò)張和T*-擴(kuò)張

郭雙建

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550025）

作為李代數(shù)的推廣，Hom-李代數(shù)的引入源于物理學(xué)和李代數(shù)的雙重需要，其概念由HARTWIG等在研究擬李代數(shù)時(shí)引入，并將其作為研究Witt 代數(shù)和Virasoro 代數(shù)變形的一部分［1-4］。

文獻(xiàn)［5］引入了Hom-李超代數(shù)的概念，給出了Hom-李超代數(shù)的允許分類，驗(yàn)證了Hartwig-Larsson-Silvestrov 定 理 的 分 次 情 形。 隨 后，文獻(xiàn)［6］研究了Hom-李超代數(shù)的表示和上同調(diào)理論，計(jì)算了Witt 超代數(shù)的導(dǎo)子和第二上同調(diào)群。文獻(xiàn)［7-9］也研究了Hom-李超代數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

BiHom-代數(shù)是一種其定義結(jié)構(gòu)上的恒等式被2 個(gè)同態(tài)α，β扭曲的代數(shù)。這類代數(shù)作為一種范疇方法被引入，是對(duì)Hom-代數(shù)的推廣。文獻(xiàn)［10］得到BiHom-代數(shù)的基礎(chǔ)概念和結(jié)果。文獻(xiàn)［11］使BiHom-代數(shù)得以延續(xù)和發(fā)展。隨后，BiHom-李代數(shù)、BiHom-李超代數(shù)、BiHom-李著色代數(shù)和BiHom-Novikov 代數(shù)在文獻(xiàn)［12-14］中有更多的應(yīng)用。

作為Jordan-李超代數(shù)的推廣［15］，文獻(xiàn)［16］引入δ-Hom-Jordan-李超代數(shù)的定義，并詳細(xì)研究其表示和T*-擴(kuò)張。文獻(xiàn)［17］引入δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)的定義，并研究其表示。本文繼續(xù)研究δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)的性質(zhì)，引入δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)的阿貝爾擴(kuò)張，證明與任意阿貝爾擴(kuò)張相關(guān)聯(lián)的表示和2-余循環(huán)。利用上同調(diào)理論和表示δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)的T*-擴(kuò)張，證明特征不為2 的代數(shù)閉域上的有限維冪零二次δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)與冪零δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)的T*-擴(kuò)張等距。另外，從上同調(diào)角度給出了T*-擴(kuò)張的等價(jià)性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［17］δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)為由向量超空間L、雙線性映射[?，?]：L?L→L和2 個(gè)線性映射α，β：L→L組成的四元組(L，[?，?]，α，β)，對(duì)任意的x，y，z∈L，有

當(dāng)δ=1 時(shí) 為BiHom-李超代數(shù)；當(dāng)δ=?1 時(shí) 為BiHom-Jordan-李超代數(shù)。

定 義2［17］（i）若α和β為代數(shù)態(tài)射，則稱δ-BiHom-Jordan-李代數(shù)(L，[?，?]，α，β)是保積的，即對(duì) 任 意 的x，y∈L，有α([x，y])=[α(x)，α(y)]，β([x，y])=[β(x)，β(y)]。

（ii）若α和β為代數(shù)自同構(gòu)，則稱δ-BiHom-Jordan-李代數(shù)(L，[?，?]，α，β)是正則的。

定 義 3［17］設(shè)(L，[?，? ]，α，β) 為 保 積δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)。L上的表示為四元組(M，ρ，αM，βM)，其中M是線性空間，αM，βM：M→M是2 個(gè)交換線性映射，ρ：L→End(M)是線性映射，使得對(duì)所有u，v∈L，有設(shè)(L，[?，?]，α，β)為正則δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)，Ck(L；M)表示L上具有M值的K-上鏈集，且是從L×…×L（k個(gè)）到M的線性映射：

定義L上具有M值的BiHom-上鏈為K-上鏈f∈Ck(L；M)，使得其與α，β和αM，βM相容，即

所以

定義線性映射

2 δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)的阿貝爾擴(kuò)張

定 義4設(shè)(L，[?，?]，α，β)，(V，[?，?]V，αV，βV)和為δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)，為δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)的態(tài)射 。 如果 Im(i)=Ker(p)，Ker(i)=0，且Im(p)=L，則有δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)的正合序列：

稱為L(zhǎng)對(duì)V的擴(kuò)張，用表示。如果V是?的阿貝爾理想，即對(duì)所有的u，v∈V，有，則稱V為阿貝爾擴(kuò)張。?→L的截面σ由線性映射σ：L→?組 成，使得p°σ=idL，σ°α=，σ°β=。

定義5如果存在δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)的態(tài)射F：?，使得

可換，則δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)的2 個(gè)擴(kuò)張是等價(jià)的。設(shè)為L(zhǎng)對(duì)V的阿貝爾擴(kuò)張，為截面，則θ：L→End(V)的映射

對(duì)所有x∈L，v∈V均成立。

定理1設(shè)(V，αV)和(L，α)為保積δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)，則(V，αV，βV，θ)是(L，α，β)的表示，且不依賴于截面σ的選取。同時(shí)，等價(jià)阿貝爾擴(kuò)張有相同的表示。

證明首先，如果選擇另一個(gè)截面，則存 在u∈V，使得p(σβ(x)?σ′β(x))=β(x)?β(x)=0?σβ(x)?σ′β(x)∈V?σ′β(x)=σβ(x)+u。 注意到對(duì)所有的u，v∈V均成立，所以

表明θ與截面σ的選取無(wú)關(guān)。

其次，證明(V，αV，βV，θ)是(L，α，β)的 表 示。對(duì)任意的x，y∈L，v∈V，有

因此，可得式（1）和式（2）。

最后，

因此，可得式（3）。

接下來(lái)，驗(yàn)證等價(jià)阿貝爾擴(kuò)張有相同的θ。

假 設(shè)EL?和EL?是等價(jià)的阿貝爾擴(kuò)張，且是 滿 足F°i=j，q°F=p的δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)態(tài)射。分別選取p和q的線性截面σ和σ′，則有qFσ(x)=pσ(x)=x=qσ′(x)，因此，

且

對(duì)所有的x1，x2，x3∈L成立。

定 理2設(shè)為L(zhǎng)對(duì)V的阿貝爾擴(kuò)張，則式（6）中的ω是以V為系數(shù)的L上的2-余循環(huán)，式（5）中的θ為L(zhǎng)上的表示。

證明在式（4）中，令f=ω，ρ=θ，對(duì)任意的x，y，z∈L，有

因此，ω是2-余循環(huán)。

3 δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)的T*-擴(kuò)張

定理3設(shè)(L，[?，?]，α，β)為δ-BiHom-Jordan李超代數(shù)，若

為αβ-不變量，對(duì)任意的x，y，z∈L，

對(duì)稱，且

則稱L上的雙線性形式f是非退化的。

若I?I⊥，則稱L的子空間I是迷向的。

定 義 6設(shè) (L，[?，?]，α，β) 為δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)，如果L具有非退化不變對(duì)稱雙線性 形 式f，則 稱(L，f，α，β)為 二 次δ-BiHom-Jordan李超代數(shù)。

設(shè)(L′，[?，?]′，α′，β′)是 另 一 個(gè)δ-BiHom-Jordan李超代數(shù)，如果存在δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)同構(gòu)φ：L→L′，使得

則稱2 個(gè)二次δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)等距。

引理1設(shè)ad 是δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)(L，[?，?]，α，β)的伴隨表示，考慮L的對(duì)偶空間L?，定義2 個(gè)同態(tài)為

則映射π：L→End(L?)，

為L(zhǎng)在上的表示當(dāng)且僅當(dāng)

并稱π為L(zhǎng)的余伴隨表示。

證明首先，由于

類似地，有

于是，

則

因此，π是L在上的表示。

引 理 2設(shè) (L，[?，?]，α，β) 為δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)，ω：L×L→L?為雙線性映射。假設(shè)存在余伴隨表示

則(L⊕L?，[?，?]，α′，β′)為δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)ω：L×L→L?是2-余循環(huán)。

證明對(duì)任意的x+f，y+g，z+h∈L⊕L?，有

類似地，有

于是

當(dāng)且僅當(dāng)

容易驗(yàn)證 Jacobi 等式成立當(dāng)且僅當(dāng)δd?1，1ω(x，y，z)=0。

顯然，L?為(L⊕L?，[?，?]，α′，β′)的交換BiHom-理想，L與L⊕L?/L?同構(gòu)。設(shè)qL在L⊕L?上具有對(duì)稱雙線性形式，對(duì)所有x+f，y+g∈L⊕L?，有

引理3設(shè)L，L?，ω，qL同前，則(L⊕L?，qL，α′，β′)為二次δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)ω是Jordan 循環(huán)的，即存在x，y，z∈L，使得

證明如果x+f與L⊕L?中的元素y+g正交，那么有f(y)=0 和g(x)=0，即x=0 和y=0。因此，對(duì)稱雙線性形式qL是非退化的。

對(duì)任意的x+f，y+g，z+h∈L⊕L?，一方面，

另一方面，

證畢。

對(duì)于Jordan 循環(huán)的2- 余循環(huán)ω，稱二次δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)(L⊕L?，qL，α′，β′)為L(zhǎng)的T?-擴(kuò)張，并用表示。

引理4設(shè)(L，[?，?]，α，β)為δ-BiHom-Jordan李超代數(shù) 。 定義 導(dǎo)出級(jí)數(shù)(L(n))n≥0：L(0)=L，L(n+1)=[L(n)，L(n)]，中 心 遞 減 級(jí) 數(shù)(L(n))n≥0：L(0)=L，L(n+1)=[L(n)，L]，稱L是可解性和冪零性的（長(zhǎng)度為k）當(dāng)且僅當(dāng)存在（最小）整數(shù)k，分別使得L(k)=0 和Lk=0。

定理4設(shè)(L，[?，?]，α，β)為δ-BiHom-Jordan李超代數(shù)。

（i）如果L可解的長(zhǎng)度為k，則T?-擴(kuò)張可解（冪零）的長(zhǎng)度為r，其中k≤r≤k+1(k≤r≤2k?1)。

（ii）如果L可被分解為L(zhǎng)的2 個(gè)δ-BiHom-理想的直和，則平凡的T?-擴(kuò)張T?0L也如此。

證明（i）首先，假設(shè)L可解的長(zhǎng)度為k。由于意 味著由于L?是阿貝爾的，可得T?ω L可解的長(zhǎng)度為k或k+1。

假設(shè)L冪零的長(zhǎng)度為k。 由于設(shè)

有

（ii）假設(shè)0 ≠L=I⊕J，其中I和J為L(zhǎng)的2 個(gè)δ-BiHom-理想。令I(lǐng)?（或J?）表示在J（或I）上等于零的L?中所有線性形式的子空間。由

那么

則是L的BiHom-理想，也如此。

證畢。

為證明δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)的T?-擴(kuò)張準(zhǔn)則，需要以下引理。

引理5設(shè)(L，qL，α，β)為維數(shù)為n（偶數(shù)）的二次δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)，I是L迷向的n/2 維子空間。 如果I是L的 BiHom- 理想，則[β(I)，α(I)]=0。

證 明由 于dimI+ dimI⊥=n/2+ dimI⊥=n，I?I⊥。如果I是L的BiHom-理想，那么

則[β(I)，α(I)]=[β(I)，α(I⊥)]?α(L)⊥=0。

引理6設(shè)(L，qL，α，β)為特征不等于2、維數(shù)為n的二次δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)，則(L，qL，α，β)與(，qB，α′，β′)是等距的當(dāng)且僅當(dāng)n是偶數(shù)且(L，qL，α，β)包含維數(shù)為n/2 的迷向的BiHom-理想I。特別地，

證明充分性。由于dimB= dimB?，dim是偶數(shù)，則dimqB(B?，B?)=0，即B??(B?)⊥和B?是迷向的。

必要性。假設(shè)I為L(zhǎng)上一個(gè)n/2 維迷向的BiHom-理想。由引理5，有[β(I)，α(I)]=0。設(shè)和p：L→B是典范投影 。 由 于char(K)≠2，在L中取一個(gè)迷向的補(bǔ)子空間B0，即L=B0+I和B0?B0⊥，則有B0=B0⊥。

設(shè)滿足

容易驗(yàn)證是線性同構(gòu)的。此外，具有以下性質(zhì)：

定義齊次線性映射：ω：B×B→B?，

設(shè)φ：L→B⊕B?，

容易驗(yàn)證φ是代數(shù)同構(gòu)的。

下證φ是等距的。事實(shí)上，

表明qB是一個(gè)非退化不變對(duì)稱的雙線性形式，因此(B⊕B?，qB，α′，β′)是 二 次δ-BiHom-Jordan 李 超 代數(shù)，從而可得B的T?-擴(kuò)張，于是有(L，qL，α，β)與是等距的。

設(shè)(L，[?，?]，α，β)為δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)，ω1：L×L→L?和ω2：L×L→L?是2 個(gè)不同的Jordan 2-余循環(huán)。如果δ-BiHom-Jordan-李超代數(shù)的同構(gòu)是BiHom-理想L?上的恒等式，并由此導(dǎo)出因子δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)上的恒等式，則稱T?-擴(kuò)張是等價(jià)的。如果T?-擴(kuò)張和等價(jià)，且φ等距，則稱它們是等距等價(jià)的。

引理7設(shè)(L，[?，?]，α，β)為特征不等于2 的δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)，ω1和ω2是2 個(gè) 不同 的Jordan 2-余循環(huán)，則有

則z的對(duì)稱部分定義為

zs可誘導(dǎo)出L上的對(duì)稱不變雙線性形式。

（ii）與等距等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)z∈C1(L，L?)使得式（11）成立，且z的對(duì)稱部分zs等于零。

證 明（i）與等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)的同構(gòu)

滿足Φ|L?=1L?和x?Φ(x)∈L?，x∈L。

另一方面，

由于Φ同構(gòu)，則式（11）成立。

必要性。如果存在z∈C1(L，L?)，滿足式（11），定義

滿足Φ(x+f)：=x+z(x)+f。

易證Φ是δ-BiHom-Jordan 李超代數(shù)的同構(gòu)，存在x∈L，使得Φ|L?=1L?，x?Φ(x)∈L?，則與等價(jià)。

考慮由zs誘導(dǎo)的對(duì)稱雙線性形式

且

由于ω1和ω2都是Jordan 2-余循環(huán)，所以此兩個(gè)方程的右邊相同。因此

即

由于char(K)≠2，因此

即證明了zs誘導(dǎo)的對(duì)稱雙線性形式qL是不變性的。

（ii）同構(gòu)Φ的定義同（i），對(duì)任意的x+f，y+g∈L⊕L?，有

因此，Φ是等距的當(dāng)且僅當(dāng)zs=0。