謝晨月 袁澤龍 王建春 萬敏平 陳十一

(南方科技大學力學與航空航天工程系,深圳 518055)

引言

湍流現(xiàn)象廣泛存在于航空航天、天體物理、大氣邊界層等各類工程問題和自然現(xiàn)象中[1].受限于巨大的計算量,直接數(shù)值模擬(direct numerical simulation,DNS) 方法無法求解高雷諾數(shù)湍流問題.雷諾平均(Reynolds-averaged Navier-Stokes,RANS)方法基于雷諾平均方程,主要求解湍流的平均場,因此無法精確地模擬湍流在不同尺度上的流動結(jié)構(gòu).大渦模擬(large eddy simulation,LES) 方法采用粗網(wǎng)格計算大尺度上的湍流結(jié)構(gòu),并用亞格子模型近似表達濾波尺度以下的流動結(jié)構(gòu)對大尺度流場的作用,從而能夠有效地預(yù)測湍流在大尺度上的動量、能量和熱量的傳輸[1-9].

在大渦模擬方法中,亞格子不封閉項表征亞網(wǎng)格尺度對大尺度運動的影響[10-17].大渦模擬方法的一個核心問題是:如何通過大尺度的流場信息構(gòu)造亞格子模型? 傳統(tǒng)亞格子模型包括Smagorinsky 模型[6,10,18-19]、相似模型[20-21]、梯度模型[21-23]、優(yōu)化模型[24-26]、一方程模型[11,27-28]和二階矩模型[27,29-31]等.

最近幾年來,機器學習方法發(fā)展迅速,并且在湍流建模問題中得到了越來越多的應(yīng)用[32-59],包括:用機器學習方法重構(gòu)雷諾平均應(yīng)力[32-34]、基于全連接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的亞格子模型[35-36]、基于機器學習的反卷積亞格子模型[39-41]、基于循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Mori-Zwanzig 公式的時空亞格子模型[48]等.

作者的研究團隊從2019 年開始,發(fā)展了一系列基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的大渦模擬模型,主要有以下3 種情況.(1) 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)顯式代數(shù)模型,包括人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合模型(artificial neural network mixed model,ANNMM)和非線性代數(shù)模型[49-50].這類模型類似于傳統(tǒng)代數(shù)模型,具有顯式表達式,并通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對模型中的無量綱系數(shù)做優(yōu)化.(2)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱式結(jié)構(gòu)模型,包括七點模型(ANN-7) 和空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(spatial artificial neural network,SANN)模型[51-55].這類模型的輸入和輸出的映射關(guān)系封裝在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,沒有具體的顯式表達式.這類模型是亞格子模型的一種,和傳統(tǒng)的隱式大渦模擬方法有所區(qū)別:隱式大渦模擬方法主要采用耗散型的數(shù)值格式去直接求解粗網(wǎng)格上的流體力學方程,不加亞格子模型這一項,而是用數(shù)值黏性去代替亞格子能流的耗散作用.(3)反卷積人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(deconvolutional artificial neural network,DANN)模型[56].

本文詳細地介紹了利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法重構(gòu)亞格子不封閉項的最新進展.具體內(nèi)容安排如下:在第1 節(jié)中,討論了可壓縮湍流的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,包括人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合模型和空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型;在第2 節(jié)中,介紹了不可壓縮湍流的反卷積人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.在第3 節(jié)中,對本文的內(nèi)容進行了總結(jié)和展望.

1 可壓縮湍流大渦模擬

可壓縮湍流的速度場和熱力學場存在強耦合,同時渦量場、聲波、激波和膨脹波之間存在非線性的耦合作用[60-67].可壓縮湍流的大渦模擬需要同時封閉動量方程和能量方程.理想氣體的可壓縮湍流的無量綱化納維?斯托克斯方程如下[3,60-62]

其中,σij=2μSij?2μSkkδij/3 是黏性應(yīng)力張量;

Fi是單位體積的大尺度外力;Λ 是單位體積的大尺度冷卻函數(shù)[61-62].

上述方程通過以下的特征物理量進行歸一化:特征長度Lr,密度ρr,速度Ur,溫度Tr,單位體積的兩倍動能動力學黏性系數(shù)μr,熱擴散系數(shù)κr和壓力pr=雷諾數(shù)Re=ρrUrLr/μr,馬赫數(shù)M=Ur/cr,普朗特數(shù)Pr=μrCp/κr=0.7 是流場的三個無量綱控制參數(shù),其中聲速cr=√比熱比γ=Cp/Cv=1.4,R=Cp?Cv是氣體常數(shù),無量綱參數(shù)α=PrRe(γ ?1)M2.

可壓縮湍流的泰勒雷諾數(shù)Reλ和湍流馬赫數(shù)Mt分別定義為[61-62]

其中〈 〉 是空間平均,urms=是速度均方根(rms),泰勒微尺度定義為

柯爾莫哥洛夫尺度η 和積分尺度LI分別為[61-62]

為高效地求解湍流場中的大尺度運動,對納維?斯托克斯方程做濾波,從而得到大渦模擬方程.濾波器定義為=D f(x′)G(x,x′;?)dx′,其中G是濾波算子,D是濾波范圍,?是濾波寬度,代表濾波后的物理量.對于可壓縮湍流,采用Favre 濾波,定義為[68],其中ρ 是密度,f代表速度或溫度.無量綱的可壓縮湍流大渦模擬控制方程如下[3]

亞格子不封閉項包括

其中τij是亞格子應(yīng)力,Qj是亞格子熱通量.假設(shè)運動學黏性系數(shù)在不同尺度上保持一致,其他亞格子不封閉項可以忽略[26].在本文中,對亞格子應(yīng)力τij和亞格子熱通量Qj發(fā)展高精度模型.

1.1 傳統(tǒng)的亞格子模型

可壓縮湍流的動態(tài)Smagorinsky 模型(DSM) 基于渦黏假設(shè),并考慮到了湍流能量從大尺度向小尺度的級串過程[6,10,69-70],表達式如下[26,69]

可壓縮湍流的動態(tài)混合模型(DMM) 由渦黏項和尺度相似項構(gòu)成[21-22,26,72],基本形式如下

同理,亞格子熱通量Qj可以通過DMM 模型寫成如下形式

1.2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合模型(ANNMM)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合模型(ANNMM)屬于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)顯式代數(shù)模型.首先,將亞格子應(yīng)力分解為各向異性和各向同性部分[49]:τij=其中=τij?δijτkk/3,=δijτkk/3.然后,Qj可以通過梯度模型和Smagorinsky 模型的線性組合來建模,具體形式如下

表1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入集與輸出集Table 1 Set of inputs and outputs for the ANNs

ANNMM 模型的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的具體結(jié)構(gòu)如圖1 所示,包括:輸入層、隱藏層、輸入基函數(shù)層、輸出層[49].ANNMM 模型通過優(yōu)化人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同層的權(quán)重因子和偏置因子構(gòu)建了濾波后物理量和目標函數(shù)(亞格子應(yīng)力和亞格子熱通量)之間的非線性關(guān)系.模型系數(shù)通過ANN1,ANN2 和ANN3 網(wǎng)絡(luò)分別訓(xùn)練.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在不同層上的神經(jīng)元個數(shù)為M:20:20:2,其中M是輸入層的神經(jīng)元個數(shù),最后隱藏層輸出模型系數(shù)C1和C2.隱藏層的激活函數(shù)取為tan-sigmoid 函數(shù)

圖1 ANNMM 模型的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 Schematic diagram of the ANNMM’s network structure

1.3 可壓縮各向同性湍流的大渦模擬

在可壓縮各向同性湍流中驗證各個亞格子模型.得到了可壓縮各向同性湍流的直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù),具體的參數(shù)和統(tǒng)計量如表2 所示.湍流馬赫數(shù)Mt在0.4～1.0 的范圍內(nèi),泰勒雷諾數(shù)Reλ約為250[63-66].網(wǎng)格分辨率滿足條件:0.98 ≤η/δx≤1.03,其中δx是直接數(shù)值模擬的網(wǎng)格寬度,同時2.61 ≤kmaxη ≤3.3 (最大有效波數(shù)kmax等于單個方向上的網(wǎng)格數(shù)的一半).網(wǎng)格分辨率kmaxη ≥ 2.61 能夠保證湍流小尺度物理量的統(tǒng)計收斂性[61].速度散度和渦量的均方_根分別定義為θrms=ωrms=√采用緊致差分格式和加權(quán)基本無振蕩(WENO) 格式相結(jié)合的混合方法,來開展可壓縮均勻各向同性湍流的數(shù)值模擬[73].該混合方法在光滑區(qū)域用八階中心緊致差分格式[74],在激波區(qū)域用七階WENO 格式[75].

表2 網(wǎng)格規(guī)模為10243 的可壓縮各向同性湍流直接數(shù)值模擬的參數(shù)和統(tǒng)計量Table 2 Parameters and statistical quantities for DNS of compressible isotropic turbulence at 10243 grid resolution

采用盒式濾波器對物理量進行濾波,一維盒式濾波器定義如下[66,69]

其中濾波寬度?=nδx,主要考慮濾波寬度?=16δx.如圖2 所示,該濾波寬度位于慣性區(qū),同時約5%的湍動能被濾掉了[26].

圖2 可壓縮湍流直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)的速度譜,菱形表示濾波寬度為?/δx=16,32Fig.2 Velocity spectrum from DNS.Diamonds represent filter widths ?/δx=16,32

1.3.1 ANNMM 模型的先驗分析

使用可壓縮湍流的直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù),開展ANNMM 模型的先驗驗證研究.通過計算亞格子不封閉項的相關(guān)系數(shù)和相對誤差,研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)超參數(shù)對ANNMM 模型先驗預(yù)測精度的影響[49].模型預(yù)測的亞格子不封閉項Hmodel與真實亞格子不封閉項H的相關(guān)系數(shù)和相對誤差分別為

表3 展示了不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)超參數(shù)對應(yīng)的ANNMM 模型的預(yù)測結(jié)果.其中ANNMM-M1 和ANNMM-M2 模型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別為M:40:40:2 和M:20:20:20:2.不同超參數(shù)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測的τ11的相關(guān)系數(shù)和相對誤差在0.4 ≤Mt≤1.0 的情況下保持一致,ANNMM 模型的預(yù)測結(jié)果不隨神經(jīng)元個數(shù)和隱藏層深度的增大而顯著變化.速度梯度(VG)模型預(yù)測的相對誤差約為40%.ANNMM 模型預(yù)測的相對誤差約為25%,遠低于VG 模型.同時ANNMM 模型預(yù)測的τ11的均方根值更接近于濾波后的直接數(shù)值模擬(fDNS)的結(jié)果.

1.3.2 ANNMM 模型的后驗分析

在后驗測試中,LES 的網(wǎng)格分辨率為 1283(hLES=?/2,FGR=?/hLES=2)[76-78],濾波寬度?=16δx.FGR=2 使得LES 的誤差主要來自亞格子模型的誤差,而數(shù)值誤差的影響非常小.

ANNMM 模型和傳統(tǒng)亞格子模型預(yù)測的速度譜如圖3 所示.不加任何亞格子模型的情況(No-model)無法提供足夠的耗散,導(dǎo)致預(yù)測的速度譜高于fDNS結(jié)果;DSM 和DMM 模型在低波數(shù)出現(xiàn)能量聚集現(xiàn)象,同時在高波數(shù)耗散過大.ANNMM 模型預(yù)測的速度譜在全波數(shù)范圍更接近fDNS 結(jié)果.

表3 不同亞格子模型在Mt=0.4,0.6,0.8,1.0 的情況下預(yù)測τ11的相關(guān)系數(shù)(C)、相對誤差(Er)和均方根值(D)Table 3 Correlation coefficient(C),relative error(Er)and root mean square value(D)of τ11for different models at Mt=0.4,0.6,0.8,1.0

不同亞格子模型預(yù)測的瞬態(tài)速度散度云圖如圖4 所示.相比DSM 和DMM 模型,ANNMM 模型可以重構(gòu)出更多的小尺度結(jié)構(gòu),同時預(yù)測的速度散度更接近濾波后的直接數(shù)值模擬(fDNS)的結(jié)果.

圖3 大渦模擬模型在1283(hLES=?/2)網(wǎng)格下的速度譜Fig.3 Spectrum of velocity for LES at grid resolution of 1283(hLES=?/2)

綜上所述,ANNMM 模型可以高精度地預(yù)測不同湍流馬赫數(shù)情況下的可壓縮湍流的統(tǒng)計特性和瞬態(tài)空間結(jié)構(gòu).還發(fā)展了另外一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)顯式代數(shù)模型:基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性代數(shù)模型(ANN-NAM),具體內(nèi)容見參考文獻[50].

1.4 空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SANN)模型

空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SANN) 模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5 所示[51-55].SANN 模型屬于多點對單點的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱式結(jié)構(gòu)模型.該模型構(gòu)建了不同空間點上的濾波后的物理量和當?shù)攸c上的亞格子不封閉項之間的非線性映射關(guān)系.

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN) 的輸入層XI的神經(jīng)元取為濾波后的速度和溫度梯度.亞格子應(yīng)力和亞格子熱通量的分量通過ANN 分別訓(xùn)練.ANN 的不同層神經(jīng)元數(shù)量為:M:1024:512:1,其中M是輸入層神經(jīng)元個數(shù),輸出層為亞格子不封閉項的分量.隱藏層的激活函數(shù)為Leaky-Relu 函數(shù)

輸出層的激活函數(shù)為線性函數(shù)σ(a)=a.ANN 的損失函數(shù)采用反向傳播算法最小化[51-55].

湍流的多尺度結(jié)構(gòu)表明尺度接近濾波寬度?的湍流結(jié)構(gòu)對重構(gòu)亞格子模型至關(guān)重要[79-82].SANN模型采用兩個控制參數(shù)主導(dǎo)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層的結(jié)構(gòu):

圖3 大渦模擬模型在1283(hLES=?/2)網(wǎng)格下的速度譜(續(xù))Fig.3 Spectrum of velocity for LES at grid resolution of 1283(hLES=?/2)(continued)

圖4 Mt=0.4 和t/τ=3.37(τ= LI/urms 是大渦翻轉(zhuǎn)時間)情況下的歸一化速度散度云圖,同時LES 網(wǎng)格為1283(hLES=?/2),濾波寬度為?=16δxFig.4 Contours of the normalized velocity divergenceon an arbitrarily selected x–y slice,at Mt=0.4,and t/τ=3.37(here τ= LI/urms is the large-eddy turnover time)for LES at grid resolution of 1283(hLES=?/2)with the filter width ?=16δx

輸入量的空間模板寬度?s和濾波寬度?之比:Rs=?s/?;濾波寬度?和空間模板的網(wǎng)格尺度?g之比:Rg=?/?g.SANN(Rs,Rg)模型的輸入?yún)?shù)空間為

圖5 SANN 模型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Schematic diagram of the SANN’s network structure

其中下標p=1,2,3 是笛卡爾坐標,下標i=1,2,3 代表濾波后的速度分量,上標l,m,n表示間距為?g的離散空間位置.SANN(Rs,Rg)模型的輸入層神經(jīng)元總數(shù)是M=12N=12(6RsRg+1).一維情況下的輸入層的空間點個數(shù)與(Rs,Rg)的關(guān)系如圖6 所示,M隨著Rs和Rg增大而變大.

輸入層XI和輸出層XO通過它們的均方根和進行歸一化

圖6 SANN 模型的輸入?yún)?shù):(Rs,Rg)=(2,2)Fig.6 Input variables for the SANN model:(Rs,Rg)=(2,2)

ANN 的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集是從直接數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)中提取的包含15×643個點的空間子集,其中70%數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集,30%數(shù)據(jù)為測試集.SANN(Rs,Rg) 模型通過Adam 算法訓(xùn)練1000 次(epoch)[83],同時訓(xùn)練樣本集大小(batch size)為1000.SANN(Rs,Rg)模型預(yù)測的損失函數(shù)隨迭代步數(shù)的變化曲線如圖7 所示,訓(xùn)練集和測試集的損失函數(shù)隨著迭代步數(shù)的增大而收斂.

圖7 SANN(2,1)模型在Mt=0.4 時預(yù)測τ11的學習曲線Fig.7 Learning curves of the proposed SANN(2,1)model of unclosed SGS terms τ11,at Mt=0.4

1.5 SANN 模型的先驗和后驗分析

濾波寬度?=32δx的DNS 數(shù)據(jù)被用于驗證SANN 模型精度.DNS 數(shù)據(jù)參數(shù)如表2 所示.如圖1 所示,濾波寬度?=32δx位于慣性區(qū),流場中約10%的湍動能被濾掉.

表4 展示了在測試集上不同參數(shù)(Rs,Rg) 對SANN(Rs,Rg) 模型預(yù)測亞格子應(yīng)力分量τ11的影響,其中Rs=2.在不同湍流馬赫數(shù)情況下,SANN(Rs,Rg)模型預(yù)測的相關(guān)系數(shù)和相對誤差結(jié)果基本上是一致的.速度梯度(VG) 模型預(yù)測的相關(guān)系數(shù)約為0.88.SANN(Rs,Rg) 模型預(yù)測的相關(guān)系數(shù)達到0.995,相對誤差小于10%,遠低于VG 模型的50%.當Rg≥1 時,SANN 模型預(yù)測的相關(guān)系數(shù)接近1.隨著Rg的增大,SANN 模型預(yù)測的亞格子不封閉項與DNS 數(shù)據(jù)提供的真實值趨于一致.

在后驗測試中,LES 的網(wǎng)格分辨率為643(hLES=?/2,FGR=2),濾波寬度為?=32δx.SANN(2,1)模型和傳統(tǒng)亞格子模型預(yù)測的速度譜如圖8 所示.Nomodel 模型(即隱式大渦模擬,ILES) 預(yù)測速度譜的誤差隨著波數(shù)增大而明顯變大.DSM 和DMM 模型在低波數(shù)k≤10 的情況下出現(xiàn)能量聚集,同時在高波數(shù)耗散過大.SANN(2,1) 模型預(yù)測的速度譜幾乎與fDNS 的結(jié)果重合.

表4 在?/δx=32 和Rs=2 的情況下,不同亞格子模型預(yù)測τ11的相關(guān)系數(shù)(C)和相對誤差(Er): Mt=0.4,0.6,0.8,1.0Table 4 Correlation coefficient(C)and relative error(Er)of τ11for different models at filter width ?/δx=32 and Mt=0.4,0.6,0.8,1.0 with Rs=2

不同亞格子模型預(yù)測的瞬態(tài)速度散度云圖如圖9 所示.DSM,DMM 和SANN(2,1) 模型均能預(yù)測出大尺度結(jié)構(gòu).SANN(2,1) 模型重構(gòu)出更多的小尺度結(jié)構(gòu),更接近濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果,在預(yù)測效果上優(yōu)于DSM 模型和DMM 模型.

圖8 SANN 模型在643(hLES=?/2)網(wǎng)格下預(yù)測的速度譜Fig.8 Spectrum of velocity with SANN models for LES at grid resolution of 643(hLES=?/2)

綜上所述,SANN 模型在先驗驗證中的精度遠高于傳統(tǒng)模型,在后驗驗證中預(yù)測的能譜和瞬態(tài)流動結(jié)構(gòu)都和濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果保持一致,優(yōu)于ILES 方法、DSM 和DMM 模型的預(yù)測結(jié)果.SANN模型在不可壓縮湍流大渦模擬中的研究見參考文獻[55].

2 反卷積人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(DANN)模型

上述介紹的兩種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(ANNMM和SANN 模型)是對亞格子不封閉項直接建模,而反卷積人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(DANN) 模型[56]是一種間接建模的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)半隱式結(jié)構(gòu)模型.在這類模型的輸入和輸出的映射關(guān)系中,出現(xiàn)了卷積算子和反卷積算子,其中,反卷積算子采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱式結(jié)構(gòu)模型.首先通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立不同空間點上的濾波后物理量和當?shù)攸c上的原始未濾波物理量之間的非線性映射關(guān)系;然后將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)的原始未濾波物理量代入亞格子不封閉項的計算公式,得到建模的亞格子不封閉項.

本文將DANN 模型應(yīng)用于不可壓縮均勻各向同性湍流,亞格子不封閉項僅包含亞格子應(yīng)力,通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立濾波后速度與原始未濾波速度的非線性映射關(guān)系,其神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖10 所示.

類似于SANN 模型,DANN 模型采用兩個控制參數(shù)主導(dǎo)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層的結(jié)構(gòu):輸入量的空間模板在每個方向上的點數(shù)D(D=2Rs+1);濾波寬度?和空間模板的網(wǎng)格尺度?g之比:Rg=?/?g,則輸入層的神經(jīng)元個數(shù)為M=3×D3.DANN(D,Rg)模型共包含輸入層XI、4 個隱藏層Xh和輸出層XO,其中輸入和輸出參數(shù)空間分別為

圖9 Mt=0.4 和t/τ=3.37(τ= LI/urms 是大渦翻轉(zhuǎn)時間)情況下的歸一化速度散度云圖,其中LES 網(wǎng)格為643(hLES=?/2),濾波寬度為?=32δxFig.9 Contours of the normalized velocity divergenceon an arbitrarily selected x-y slice,at Mt=0.4,and t/τ=3.37(here τ= LI/urms is the large-eddy turnover time)for LES at grid resolution of 643(hLES=?/2)with the filter width ?=32δx

圖10 DANN 模型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.10 Schematic diagram of the DANN’s network structure

DANN 模型的不同層神經(jīng)元數(shù)量分別為M:128:128:64:64:3,其中輸入層神經(jīng)元個數(shù)M=3×D3,輸出層為原始未濾波速度分量.隱藏層的激活函數(shù)為Leaky-Relu 函數(shù).

DANN 模型的輸入輸出層分別選取濾波后速度的均值和標準差進行歸一化

將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的原始未濾波物理量代入亞格子未封閉項的計算公式,即可得到DANN 模型重構(gòu)的亞格子應(yīng)力

相比于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全隱式結(jié)構(gòu)的SANN 模型,DANN 模型具有良好的物理性質(zhì),滿足對稱性和可實現(xiàn)性條件[56].

類似于SANN 模型,DANN(D,Rg)模型的訓(xùn)練樣本集是從DNS 數(shù)據(jù)中隨機選取包含2×643個點的空間子集,其中70%數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集,30%數(shù)據(jù)為測試集.通過Adam 算法訓(xùn)練2000 次[83],學習率為0.01.顯式濾波選取高斯濾波器,濾波寬度?=32δx.

表5 展示了在測試集上不同控制參數(shù)(D,Rg)對DANN(D,Rg)模型預(yù)測亞格子應(yīng)力各個分量的影響,其中濾波寬度?=32δx.速度梯度(VG) 模型預(yù)測的相關(guān)系數(shù)約為0.91.DANN(D,Rg)模型預(yù)測的相關(guān)系數(shù)達到0.99,相對誤差小于15%,遠低于VG 模型的49%.隨著Rg的增大,空間模板的網(wǎng)格尺度越小,DANN 模型預(yù)測的亞格子應(yīng)力與DNS 數(shù)據(jù)計算的真實值趨于一致.

在后驗測試中,LES 的網(wǎng)格分辨率為643(hLES=?/2,FGR=2),濾波寬度為?=32δx.DANN 模型和傳統(tǒng)亞格子模型預(yù)測的速度譜和局部放大圖如圖11所示.No-model 模型(即隱式大渦模擬,ILES)預(yù)測的速度譜與fDNS 偏差較大,且預(yù)測誤差隨著波數(shù)的增大而顯著增大.DSM 和DMM 模型在濾波尺度附近耗散過大,導(dǎo)致能量不能從大尺度順利地傳遞到小尺度,在低波數(shù)k≤10 的情況下出現(xiàn)能量聚集,同時在高波數(shù)區(qū)域耗散過大.DANN(5,2)和DANN(9,2)模型預(yù)測的速度譜幾乎與fDNS 的結(jié)果完全重合,很好地模擬了湍流的能量級串過程.

表5 不同參數(shù)的DANN 模型預(yù)測亞格子應(yīng)力分量的相關(guān)系數(shù)(C)和相對誤差(Er)(?/δx=32)Table 5 Correlation coefficient(C)and relative error(Er)of SGS stress components for different DANN models at filter width ?/δx=32

不同亞格子模型預(yù)測的瞬態(tài)渦量云圖如圖12 所示.DSM 和DMM 模型耗散過強,僅能預(yù)測出大尺度結(jié)構(gòu).DANN(5,2)模型可以重構(gòu)出更多精細的小尺度結(jié)構(gòu),更接近于濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果,在預(yù)測效果上明顯優(yōu)于DSM 模型和DMM 模型.

綜上所述,DANN 模型在先驗驗證中的精度遠高于傳統(tǒng)模型,在后驗驗證中預(yù)測的能譜和瞬態(tài)流動結(jié)構(gòu)都和濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果保持一致,優(yōu)于ILES 方法、DSM 和DMM 模型的預(yù)測結(jié)果.此外,相比于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全隱式結(jié)構(gòu)的SANN 模型,基于近似反卷積算子的DANN 模型具有良好的物理性質(zhì),滿足對稱性和可實現(xiàn)性條件[56].

圖11 DANN 模型在643(hLES=?/2)網(wǎng)格下預(yù)測的速度譜Fig.11 Spectrum of velocity with DANN models for LES at grid resolution of 643(hLES=?/2)

圖12 t/τ=5 情況下的瞬態(tài)歸一化渦量云圖,其中LES 網(wǎng)格為643(hLES=?/2),濾波寬度為?=32δxFig.12 Contours of the normalized vorticity magnitudeon an arbitrarily selected x–y slice,at t/τ=5 for LES at grid resolution of 643(hLES=?/2)with the filter width ?=32δx

3 結(jié)論

本文討論了用機器學習方法重構(gòu)湍流大渦模擬中的亞格子不封閉項的最新研究成果.傳統(tǒng)的亞格子模型具有計算量小、泛化能力強的優(yōu)點.但由于只利用了單點流場信息和簡單的函數(shù)關(guān)系,傳統(tǒng)亞格子模型存在先驗誤差大、后驗耗散過大的問題.

本文總結(jié)了幾種不同的基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高精度亞格子模型.根據(jù)建模方法的不同,分別介紹了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)顯式代數(shù)模型中的ANNMM 模型,人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱式結(jié)構(gòu)模型中的SANN 模型,以及基于反卷積算子的DANN 模型.和傳統(tǒng)的亞格子模型相比,SANN 模型和DANN 模型考慮了湍流的多尺度特征,特別是尺度在?/2 和2?之間的流動結(jié)構(gòu)對亞格子不封閉項的作用.SANN 和DANN 模型的先驗預(yù)測精度高,相關(guān)系數(shù)達到0.99 以上,相對誤差小于15%,同時在后驗驗證中,能夠精確地預(yù)測湍流場的統(tǒng)計性質(zhì)和空間結(jié)構(gòu).

上述這些研究結(jié)果,展示了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在發(fā)展高精度、高效率的亞格子模型方面的巨大潛力.為了提高人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的可解釋性和泛化能力,需要將更多的湍流物理特性融入到人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中,包括:多樣化的幾何外形、復(fù)雜的湍流類型、渦結(jié)構(gòu)與激波結(jié)構(gòu)的相互作用,以及湍流的時空特征等.