李鐵安 張惠云

這節(jié)課是以數(shù)學(xué)家歐拉解決“哥尼斯堡七橋問題”為史料背景展開的。本節(jié)課不僅要讓學(xué)生探究一筆畫圖形的規(guī)律，還要讓學(xué)生經(jīng)歷一個發(fā)現(xiàn)提出問題和分析解決問題的完滿的過程，并在探索的過程中引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界”。

【教學(xué)過程】

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)作及判斷圖形能否一筆畫——明確何為一筆畫

教師在屏幕上動態(tài)展示一筆寫出“好玩”兩個字的過程（如圖1）。

師：同學(xué)們請看！這兩個字認(rèn)識嗎？

生：認(rèn)識！是“好玩”兩個字。

生：我發(fā)現(xiàn)“好玩”這兩個字是一筆寫出來的。

師：一筆連著寫出“好玩”兩個字，確實挺好玩。今天讓我們一起來學(xué)習(xí)“好玩的一筆畫”。大家請看，我用一筆創(chuàng)作了一個圖形，這是什么？（生答，略）

師：是的，老師用一筆畫出了一個向上指的箭頭。你們能用一筆畫出怎樣的圖形呢？自己試一試！

（學(xué)生交流各自的作品，如圖2）

師：哦！這么多圖案都能用簡單的一筆就畫出來，你們的想象和創(chuàng)意都很獨特。下面同學(xué)們再認(rèn)真看看這些圖形（出示圖3）。想一想，試一試，能一筆畫嗎？

生：第①個圖形能一筆畫，我是這樣畫的（從圓點處起筆）。

生：我還有其他的畫法，這樣畫也是可以的（從圓點處起筆）。

生：我再試試其他兩個點，都不行。

師：你們是從每個點開始嘗試一筆畫的，這個想法挺好。

生：第②個圖形和第⑤個圖形從哪個點開始畫都行，只要繞著所有的線走一圈就可以啦！

師：從哪個點畫都行！你的發(fā)現(xiàn)太美妙了！

生：第③個圖形也能一筆畫，從這兩個點開始都是可以的。

師：是啊，這個圖形能一筆畫，也確實只有這兩個點能走通。

生：第④個圖形我嘗試了所有的點，無論從哪個點開始都不能一筆畫，大家看。（展示圖片，如圖4）

生：第⑥個圖形也不能一筆畫，怎么畫都少一條線。

師：能不能一筆畫成，這里面會不會藏著什么秘密呢？（生陷入思考）

師（出示圖5）：再看這幅圖，好好觀察一下，也可以試著在頭腦里操作一下，它能一筆畫嗎？

生：這個圖形看起來是可以一筆畫的，但我試了一下，先從一個點開始，還剩一條線走不到。我繼續(xù)試，還是不行……我把所有的點都試過了都不行，所以這個圖形是沒有辦法一筆畫的（如圖6）。

師：說得太好了，思考很嚴(yán)謹(jǐn)。

環(huán)節(jié)二： 探究一筆畫圖形是否有規(guī)律可循——確立奇偶點并明確規(guī)律

師：同學(xué)們，我很好奇，你們在試的過程中都有什么感覺呢？

生：感覺很繞，很神奇。

生：感覺像走迷宮一樣，很有意思。

生：有時候用眼睛看能夠一筆畫，但是實際畫卻不行。

生：在畫的過程中有時候還覺得挺著急，試了好多次，真想一次成功。如果有規(guī)律就好了。

師：是啊，如果有規(guī)律，是不是就會簡單很多呢？那我們就帶著這樣的思考繼續(xù)探索圖形的一筆畫與什么有關(guān)系。（生說猜想，過程略）

師：你們有的猜與點有關(guān)，有的猜與線有關(guān)，有的猜與點和線都有關(guān)系，這些猜測都很有道理！那么，就讓我們從這些猜測入手吧?。▽W(xué)生露出興奮的神情）

師：以上圖（指圖3）中的第①個圖形為例來進(jìn)行探究，這個圖有4個點，將每個點分別用字母ABCD表示，每個點都能引出線，大家研究一下這些點和線，有什么發(fā)現(xiàn)（如圖7）？

生：從A點和C點能引出3條線，從B點和D點能引出2條線。

師：從一個點引出的線有單數(shù)條，這個點我們稱之為奇點;從一個點引出的線有雙數(shù)條，這個點我們稱之為偶點。

生：就是說這個圖形中有2個奇點，2個偶點。

環(huán)節(jié)三：使用規(guī)律判斷圖形——揭示“哥尼斯堡七橋問題”歷史背景

師：我們已經(jīng)能夠數(shù)出圖形中的奇偶點個數(shù)，但是它們和能一筆畫出的圖形又有什么關(guān)系呢？請自主完成表格，并探索發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

生：我們需要探究的是能一筆畫的圖形與奇點和偶點有什么樣的關(guān)系，這里面還包含不能一筆畫的圖形，我覺得只展示一筆畫圖形會更好。

師：這個想法太好了，那我們就像你說的這樣展示。你有哪些發(fā)現(xiàn)呢？

生：我看偶點個數(shù)是2、6、3、5，好像沒有什么規(guī)律。

生：我發(fā)現(xiàn)奇點個數(shù)是雙數(shù)的能一筆畫。

生：我感覺不對，圖（指圖3）中第④、第⑥個圖形的奇點個數(shù)都是4，但是不能一筆畫。

師：你用舉反例的方法進(jìn)行證明，看來奇點個數(shù)是雙數(shù)的未必都能一筆畫呀！

生：我發(fā)現(xiàn)奇點個數(shù)是0或2的就能一筆畫。

師：真的是這樣嗎？（師出示圖8）你能用這個規(guī)律來判斷這兩個圖形究竟能不能一筆畫嗎？判斷后再動筆畫一畫。

生：第①個圖形中有2個奇點，能一筆畫，我畫了一下，確實能一筆畫。

生：第②個圖形中有4個奇點，不能一筆畫。我嘗試了很多次，還真的不能一筆畫。

師：看來我們探究出的這個規(guī)律還挺好用的。（師又出示圖5）還記得這個圖形吧，請你們再利用我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來判斷一下。

生：不能一筆畫，因為這個圖中有4個奇點。

師：是啊！那么你們知道嗎？這幅你們最初看來很亂很煩，后來看起來又很清晰很可愛的圖，在它的背后，還有一段激動人心的故事呢！

（教師播放課件，背景語音+動態(tài)展示）

18世紀(jì)，哥尼斯堡有一條河，河中有兩個小島。全城被河分割成四塊陸地，河上架有七座橋，當(dāng)時許多市民都在思索一個問題：一個人能否從某一地點出發(fā)，不重復(fù)地走遍所有的橋。這就是歷史上著名的“哥尼斯堡七橋問題”。最后瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉把這七橋問題轉(zhuǎn)化為圖形能否一筆畫的問題。

師：所以，我們今天就像數(shù)學(xué)家一樣，通過奇偶點判斷圖形能否一筆畫，由此順利地解決了七橋問題。

環(huán)節(jié)四：通過規(guī)律解決灑水車行走路線問題——發(fā)現(xiàn)奇點為0或2起止點不同

師：其實生活中還有很多這樣的問題。例如灑水車要給這兩個街道灑水，仔細(xì)看圖（師出示圖9），能不能從每個點出發(fā)不重復(fù)地灑遍所有的路呢？

生：第①個圖形可以從每個點出發(fā)灑遍所有的路，第②個圖形只有從兩個點出發(fā)能灑遍所有的路，其他點都是不可以的。

師：是這樣嗎？（動態(tài)展示所有點行走路徑）

師：你還有哪些發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)第①個圖形從每個點出發(fā)都回到了出發(fā)點，第②個圖形沒有回到出發(fā)點。

師：真是這樣！這兩幅圖的起止點不同。

生：我發(fā)現(xiàn)了第①個圖形的奇點是0，第②個圖形的奇點是2。

生：也就是說，奇點是0的圖形從哪個點開始都可以一筆畫，從起點開始最終都回到起點。如果奇點是2的圖形只能從一個奇點開始，到另外一個奇點結(jié)束，而且只能從那兩個奇點畫才能一筆畫。

環(huán)節(jié)五：根據(jù)規(guī)律嘗試改造“哥尼斯堡七橋問題”，使之可以一次走完

師：下面我們再來玩一玩！之前老師在教學(xué)這課時，曾經(jīng)有一位小朋友好奇地提出：能不能把無法一筆畫的圖形變成能夠一筆畫的圖形呢？這是不是也很有意思？我們就來試一試！（過程略）

師：我們今天共同學(xué)習(xí)了好玩的一筆畫。一筆畫好玩，對這個問題的探究過程更好玩！我們經(jīng)歷了一次充實而愉悅的數(shù)學(xué)文化之旅！最后我要告訴你們一個小秘密——今天的課也讓老師特別地充實和愉悅，所以我要謝謝同學(xué)們啊！再見！

【育人意蘊解析】

本節(jié)課在創(chuàng)新性上做了一些探索與突破。

開課情境引入“新”。課始，教師就出示了一筆寫成的兩個字“好玩”?！笆裁醋?？”“好玩。”“好玩嗎？”“好玩。”“好玩在哪里？”“一筆寫出‘好玩兩個字，是挺好玩的。”這個略帶俏皮的設(shè)計能讓學(xué)生初步感受一筆畫圖形，同時也告訴學(xué)生這節(jié)課是要“玩”數(shù)學(xué)。簡單的設(shè)計恰到好處！既能喚起學(xué)生的認(rèn)知，又能迅速調(diào)整好學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

問題結(jié)構(gòu)搭建“新”。課程內(nèi)容要“問題化”才能成為教學(xué)內(nèi)容;教學(xué)內(nèi)容要“邏輯化”才能成為學(xué)習(xí)內(nèi)容。本節(jié)課設(shè)計了以下問題：①在學(xué)生嘗試一筆畫的基礎(chǔ)上，教師給出一些圖形，讓學(xué)生判斷可否一筆畫出。②特別給出哥尼斯堡七橋問題的抽象圖，讓學(xué)生判斷可否一筆畫出。③結(jié)合給出的圖形，讓學(xué)生探究什么樣的圖形能夠一筆畫出。 ④讓學(xué)生通過分類，概括出“奇點”和“偶點”的概念。⑤讓學(xué)生歸納出一筆畫與偶點個數(shù)無關(guān)，只與奇點個數(shù)有關(guān)（0或2）。⑥給出哥尼斯堡七橋問題的抽象圖，讓學(xué)生揭示為什么不能一筆畫。⑦介紹哥尼斯堡七橋問題，讓學(xué)生抽象出結(jié)構(gòu)圖。⑧讓學(xué)生應(yīng)用特征規(guī)律解決實際問題并探究歸納奇點個數(shù)是0或2的圖形一筆畫出的路徑特征。⑨探索如何把不能一筆畫的圖形升級為可以一筆畫的圖形（以哥尼斯堡七橋問題為例）。

前5個問題直接指向核心問題，其中問題①②重在實踐感知，學(xué)生通過畫一畫、想一想、試一試，形成對一筆畫圖形的初步認(rèn)識;問題③④⑤則在感知的基礎(chǔ)上通過列表分類歸納得出結(jié)論。這是一個完整的培養(yǎng)學(xué)生的思維從形象思維向邏輯思維過渡的過程。問題⑥⑦旨在建立起數(shù)學(xué)模型和現(xiàn)實問題之間的聯(lián)系，“哥尼斯堡七橋問題”從抽象圖到結(jié)構(gòu)圖再回到抽象圖，學(xué)生在經(jīng)歷像數(shù)學(xué)家一樣思考的過程中感悟數(shù)學(xué)從生活中來再回到生活中去。問題⑧⑨指向具體應(yīng)用，在解決實際問題時進(jìn)一步理解規(guī)律并啟發(fā)學(xué)生從更深層次對問題進(jìn)行追問、反思和再創(chuàng)造。這樣的問題結(jié)構(gòu)按邏輯搭建之后，便為學(xué)生提供了一個充滿學(xué)習(xí)意義的有力抓手，讓學(xué)生經(jīng)歷完滿的學(xué)習(xí)過程成為可能。同時，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在結(jié)構(gòu)化和邏輯化問題的導(dǎo)引下得到有效發(fā)展。

數(shù)學(xué)史料處理“新”。在數(shù)學(xué)文化課堂上，隱性的數(shù)學(xué)史料要成為顯性的教學(xué)內(nèi)容。因此，對數(shù)學(xué)史料的設(shè)計處理往往決定一節(jié)課的高度。本節(jié)課教學(xué)中三次出現(xiàn)“哥尼斯堡七橋問題”，第一次直接出示數(shù)學(xué)模型——抽象圖，讓學(xué)生嘗試探索能否一筆畫，初步感知;第二次先讓學(xué)生用規(guī)律直接判斷抽象圖能否一筆畫后出示現(xiàn)實問題，經(jīng)講解后再嘗試建立抽象圖和結(jié)構(gòu)圖之間的聯(lián)系;第三次結(jié)合模型和現(xiàn)實問題讓學(xué)生再創(chuàng)造——怎樣改造成能一筆畫的圖形，即不重復(fù)不遺漏走完所有的橋。這是一種極為巧妙的創(chuàng)新！“哥尼斯堡七橋問題”的每一次出現(xiàn)都獨具匠心、別有意味。設(shè)計上充分把數(shù)學(xué)史料作為課堂教學(xué)主線，用好用透，課程內(nèi)容充滿了文化意蘊。

學(xué)生活動過程“新”。由于教師基于具體問題科學(xué)地組織教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式就變得靈活有效，學(xué)生的思維體驗和情感體驗就變得生動有趣。在本節(jié)課開始階段學(xué)生動手嘗試哪些圖形能一筆畫時，教師沒有滿足于學(xué)生的淺嘗輒止，而是充分引導(dǎo)——“能一筆畫的圖形還可以怎樣畫？”學(xué)生初步感知能一筆畫的圖形的不同畫法。在得到規(guī)律進(jìn)行實際應(yīng)用，解決“灑水車不重復(fù)不遺漏灑水”的兩個具體問題后，教師有意留白，給學(xué)生足夠的時間進(jìn)行思考。果然，學(xué)生恍然大悟，激動不已，發(fā)現(xiàn)能一筆畫圖形的不同畫法：一種圖形奇點的個數(shù)是0，一種圖形奇點的個數(shù)是2。首尾照應(yīng)，水到渠成，學(xué)生的認(rèn)知體驗和情感體驗都得到了強(qiáng)化。在提煉能一筆畫圖形的規(guī)律的過程中，教師很好地引導(dǎo)學(xué)生觀察一組圖形的列表：“認(rèn)真觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生首先發(fā)現(xiàn)可以去掉不能一筆畫的圖形讓表格更簡潔直觀，接著又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)偶點的個數(shù)與能否一筆畫沒有直接關(guān)系，可以在表格中去掉“偶點個數(shù)”一欄。在教師精妙的評價中學(xué)生的思維火花完全被點燃，通過舉反例的方法聚焦奇點的個數(shù)是0或2。在此過程中，師生、生生的信息交流渠道完全被打通，學(xué)生既能在教師的預(yù)設(shè)下獨立思考問題，不斷地進(jìn)行追問和反思，又能在同伴的啟發(fā)下，多角度思考問題，完善自己對問題的理解和解決。此時，學(xué)習(xí)真正發(fā)生！

（中國教育科學(xué)研究院基礎(chǔ)教育研究所? ?100088

北京小學(xué)華潤海中國大連分校? ?116600）