建立微元模型，巧用動量定理解決四類問題

張金龍

微元法是分析解決物理問題的常用方法之一，高中物理教學(xué)中常用的微元法就是數(shù)學(xué)微積分思想的具體應(yīng)用，該方法可將復(fù)雜的物理過程分解為眾多遵循相同規(guī)律的微小“元過程”，再將“元過程”進行累加。但這種方法對學(xué)生的能力要求較高，學(xué)生往往無從下手。本文通過實例分析高中物理中四類運用動量定理結(jié)合微元法處理的典型問題，旨在幫助學(xué)生建立模型，提升物理核心素養(yǎng)，提高運用數(shù)學(xué)思維方法解決物理問題的能力。

一、“柱體模型”的建立與應(yīng)用

1.“柱體模型”的建立

“柱體模型”是一種重要的物理模型，即在物理問題中選取某一微小“對象”或“過程”，通過建立一個類似圓柱體的微元，對問題進行分析和研究，是最常見的微元模型之一?！爸w模型”主要適用于具有流動性、連續(xù)性、均勻性等特點的常規(guī)物理問題的解答。

2.“柱體模型”在“流體”類沖擊力問題中的應(yīng)用

“流體”類沖擊力問題一般指液體或氣體在空間中連續(xù)而無空隙地分布，并對其他物體施加力的作用，此類問題一般不能將流體當作質(zhì)點來進行研究，通常運用動量定理建立“柱體模型”，取微元作為研究對象，應(yīng)用動量定理求解沖擊力。

分析思路：在極短時間Δt內(nèi)，取一小柱體作為研究對象;求小柱體的體積ΔV=vSΔt;求小柱體的質(zhì)量Δm=ρΔV=ρvSΔt;求小柱體的動量變化ΔP=vΔm=ρv2SΔt;應(yīng)用動量定理FΔt=ΔP。

【例1】某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為m的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中，為計算方便起見，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出，玩具底部為平板（面積略大于S），水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱悖谒椒较虺闹芫鶆蛏㈤_，忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g，求：（1）噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量;（2）玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度。

【解析】（1）設(shè)任意極短時間Δt內(nèi)，從噴口噴出的水的體積為ΔV，質(zhì)量為Δm=ρΔV=ρv0SΔt，單位時間內(nèi)從噴口噴出的水的質(zhì)量為=ρv0S。

（2）設(shè)玩具懸停時其底面相對于噴口的高度為h，水從噴口噴出后到達玩具底面時的速度大小為v，對于Δt時間內(nèi)噴出的水，由機械能守恒得（Δm）v2+（Δm）gh=（Δm）v02。在h高度處，Δt時間內(nèi)噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動量變化量的大小為ΔP=Δmv，設(shè)水對玩具的作用力的大小為F，根據(jù)動量定理有FΔt=Δρ，由于玩具在空中懸停，由力的平衡條件得F=mg，解得h =- 。

【解題錦囊】對于“流體”類沖擊力問題，常用微元法隔離出部分流體建立“柱體模型”作為研究對象（解決此類問題的難點），再運用動量定理列式求解，解題過程中也可能涉及牛頓運動定律或功能關(guān)系等。

3.“柱體模型”在“鏈條”類沖擊力問題中的應(yīng)用

“鏈條”類沖擊力問題一般指柔軟鏈條（或細繩）在自由下落或提起的過程中，對地面或接觸物體產(chǎn)生沖擊，對地面的壓力一般與鏈條的質(zhì)量、鏈條在空中的長度及當?shù)氐闹亓铀俣鹊扔嘘P(guān)，解決此類問題時注意將落地或離地前的一小段鏈條當作微元處理，應(yīng)用動量定理即可求解。

分析思路：

（1）在極短時間Δt內(nèi)，取即將落地的一小段鏈條微元Δx為研究對象。

（2）求鏈條微元的質(zhì)量Δm=λΔx（λ表示鏈條的線密度）。

（3）求鏈條微元的動量變化ΔP=vΔm=λvΔx。

（4）根據(jù)動量定理FΔt=ΔP可得沖擊力F==λv=λv2。

【例2】一根長度為L、質(zhì)量為m的勻質(zhì)鏈條被豎直懸掛起來，其最低端剛好與水平面接觸，將鏈條由靜止釋放，讓它落到水平地面上，求鏈條下落長度為x時對水平面的壓力。

【解析】設(shè)鏈條的線密度為λ=，經(jīng)過時間t后落在水平面上鏈條的長度為x，未到達水平面部分鏈條的速度為，鏈條落至地面后速度立即減為零。從t時刻起取很小一段時間Δt，在Δt時間內(nèi)有Δm=λΔx段鏈條落到地面后靜止，根據(jù)動量定理有（F-Δmg）Δt=-Δmv，因為Δmg·Δt≈0，所以F=-=-λv2=-2gλx，負號表示力的方向豎直向上，已經(jīng)落至地面的鏈條對水平面的壓力為gλx，所以鏈條下落長度x時對水平面的壓力N=2gλx+gλx=3gλx=。

【解題錦囊】對于鏈條或輕繩等物體，如果參與運動的部分逐漸變化（增加或減?。\動物體的質(zhì)量將發(fā)生變化，所以此類問題屬于變質(zhì)量問題，解題中注意取一小段鏈條微元為研究對象，建立柱體模型，應(yīng)用動量定理列式求解。此類問題在訓(xùn)練學(xué)生思維時可達到非常好的效果。

4.“柱體模型”在“微粒連續(xù)作用”類沖擊力問題中的應(yīng)用

微粒及其特點：（1）微粒常指電子流、光子流、微塵等;（2）①質(zhì)量具有獨立性，②已知單位體積內(nèi)的粒子數(shù)n。

分析思路：（1）建立“柱體模型”：沿運動的方向選取一段微元，柱體的截面積為S。

（2）研究微元粒子數(shù)：作用時間Δt內(nèi)的一段微元柱體的長度為Δl=vΔt，柱體體積ΔV=SvΔt，柱體內(nèi)的粒子數(shù)N=nSvΔt，其中n為單位體積內(nèi)粒子數(shù)。

（3）先對單個微粒應(yīng)用動量定理，建立方程，再乘以N計算。

【例3】飛船在飛行過程中有很多技術(shù)問題需要解決，其中之一就是當飛船進入宇宙微粒塵區(qū)時如何保持飛船速度不變的問題，我國科學(xué)家已將這一問題解決。假如有一宇宙飛船，它的正面面積為S=0.98 m2，以v=2×103 m/s的速度進入宇宙微粒塵區(qū)，塵區(qū)每1 m3空間有一微粒，每一微粒平均質(zhì)量m=2×10-4g，若要使飛船速度保持不變，飛船的牽引力應(yīng)增加多少？（設(shè)微粒與飛船相碰后附著到飛船上）

【解析】由于飛船速度保持不變，因此增加的牽引力應(yīng)與微粒對飛船的作用力相等，據(jù)牛頓第三定律知，此力也與飛船對微粒的作用力相等。只要求出時間t內(nèi)微粒的質(zhì)量，再由動量定理求出飛船對微粒的作用力，即可得到飛船增加的牽引力。時間t內(nèi)附著到飛船上的微粒質(zhì)量為m1=mSvt，設(shè)飛船對微粒的作用力為F，由動量定理得Ft=mv=mSvt·v，即F=mSv2，代入數(shù)據(jù)解得F=0.784 N。由牛頓第三定律得，微粒對飛船的作用力為0.784 N，故飛船的牽引力應(yīng)增加0.784 N。

【解題錦囊】解決微粒連續(xù)作用類問題的關(guān)鍵是沿運動方向選取微元建立“柱體模型”，確定微元柱體中微粒的個數(shù)，再根據(jù)動量定理列式結(jié)合其他物理規(guī)律進行求解。以上例題和變式訓(xùn)練就是此類問題在生活中非常典型的應(yīng)用，注意構(gòu)建模型，將實際問題進行轉(zhuǎn)化。

二、“微元段模型”的建立與應(yīng)用

1.“微元段模型”的建立

“微元段模型”也屬于一種微元模型，在導(dǎo)體棒切割磁感線類電磁感應(yīng)過程中，常會出現(xiàn)非勻變速運動，涉及求位移、電荷量及能量等問題。由于安培力與速度相互關(guān)聯(lián)、相互影響，因此電磁感應(yīng)中的非勻變速運動問題用常規(guī)動力學(xué)方法往往難以解決。靈活運用微元思想，將運動過程隨時間變化分割成“微元段”，可以幫助我們深刻理解物理過程，運用數(shù)學(xué)方法進而使問題得解。

2.“微元段模型”在電磁感應(yīng)中的變力作用問題中的應(yīng)用

如圖1所示，水平放置的兩根間距為L的光滑平行金屬導(dǎo)軌，左端連接電阻R，其間有垂直于導(dǎo)軌平面向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，導(dǎo)軌上有質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒以初速度v0自由向右滑動，導(dǎo)體棒及金屬導(dǎo)軌電阻不計。導(dǎo)體棒運動過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv，回路中的感應(yīng)電流I==，受到的合外力F=F安=BIL，即-=ma，導(dǎo)體棒做加速度減小的減速運動，v-t圖像如圖2所示，最終導(dǎo)體棒靜止。

（1）整個過程中導(dǎo)體棒的位移：v-t圖像與橫坐標所圍成的面積表示位移Δx=vΔt，取非常小的時間段Δt為一個微元過程，vi表示Δt時間間隔內(nèi)的平均速度，根據(jù)牛頓第二定律有-=m，變形得到整個過程中動量定理表達式-viΔt=mΔv，即-Δx=m（v0），對整個過程累加后得x=mv0，所以整個過程中導(dǎo)體棒的位移x=。

（2）整個過程中通過導(dǎo)體棒橫截面的電荷量：取Δt時間段為一個微元過程，Δq=IiΔt，根據(jù)牛頓第二定律有-BIiL=m，變形得到整個過程中動量定理表達式-BL IiΔt=mΔv，即-BLq=m（0-v0），所以整個過程中通過導(dǎo)體棒橫截面的電荷量q=。

【例4】如圖3所示，同一水平面上固定兩根間距為L、足夠長的平行光滑導(dǎo)軌PQ和MN，QN端接阻值為R的定值電阻，整個裝置處在豎直向下的勻強磁場中。一個質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒以平行于導(dǎo)軌的初速度v0開始向左運動，經(jīng)過位移s停下，棒始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，其他電阻忽略不計，求：（1）磁感應(yīng)強度B的大小;（2）導(dǎo)體棒滑過位移時受到的安培力F。

【解析】（1）導(dǎo)體棒運動過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv，回路中的電流I==，導(dǎo)體棒受到的安培力為F安=BIL=，從導(dǎo)體棒開始運動經(jīng)過非常短的時間Δt的過程中，根據(jù)動量定理有-=mv-mv0，整個過程全部累加起來得-=-mv0，由此可知磁感應(yīng)強度B= 。

（2）根據(jù)動量定理有-=mv-mv0，當導(dǎo)體棒滑過位移時，對過程累加得-=mv-mv0，代入磁感應(yīng)強度B可得速度v=，導(dǎo)體棒受到的安培力F==。

【解題錦囊】導(dǎo)體棒切割磁感線的過程中，因?qū)w棒速度變化導(dǎo)致安培力變化，導(dǎo)體棒所受的合外力變化，加速度變化，導(dǎo)體棒將做非勻變速運動。對于此類問題，注意化“變”為“恒”，將整個變力作用過程分解為眾多微小的元過程，運用動量定理列式，再進行累加進而將問題解決。此類變力作用問題在歷年高考中常在選擇題和計算壓軸題中出現(xiàn)，所以同學(xué)們在備考中應(yīng)予以重視并熟練掌握。

三、總結(jié)

微積分對高考理科學(xué)生來說是必考點，從2017年起，動量定理也成為理綜全國卷的必考點，試題難度穩(wěn)步提升。動量定理結(jié)合微元法在解決流體類問題和變力作用模型中展現(xiàn)了極強的優(yōu)越性，此類問題能夠全面體現(xiàn)并考查物理科學(xué)思維核心素養(yǎng)，但需要較高的知識整合能力和思維能力，所以同學(xué)們在高考備考當中應(yīng)足夠重視。

（本文系“甘肅省教育科學(xué)‘十三五規(guī)劃2020年度一般課題”，課題名稱：基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中學(xué)數(shù)學(xué)建模單元化教學(xué)的實踐研究。課題立項號：GS〔2020〕GHB3056。）