一種基于代價函數(shù)的跳頻周期估計算法

周德強(qiáng)，白雪飛，尤少欽，閆紅超

(1. 河北省電磁頻譜認(rèn)知與管控重點實驗室，河北 石家莊 050081；2.中國人民解放軍32090部隊，河北 秦皇島 066000)

0 引言

跳頻通信具有較強(qiáng)的抗多徑、抗衰落、抗干擾和截獲概率低等諸多優(yōu)點，在軍事通信領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用，因此對跳頻信號的偵察成為通信對抗的主要領(lǐng)域之一。在跳頻通信偵察中，跳頻周期是一個重要參數(shù)，為了實現(xiàn)網(wǎng)臺分選[1]，需要對跳頻周期進(jìn)行精確估計。目前的跳頻周期估計算法主要有3類：① 脈沖重復(fù)周期(Pulse Repetition Interval，PRI)[2-3]直方圖類算法，包括CDIF算法、SDIF算法及其改進(jìn)算法[4-5]，這些算法也常用于雷達(dá)信號分選中；② PRI變換法及其改進(jìn)算法[6-9]，這些算法同樣也常用于雷達(dá)信號分選中；③ 對跳頻信號進(jìn)行時頻分析[10-13]，提取跳頻信號時頻分布的峰值序列、時頻脊線等特征[14-15]，利用這些特征的周期性估計跳頻周期[16-19]。PRI直方圖類算法在跳頻信號丟失率低并且跳頻信號到達(dá)時間抖動很小的情況下估計效果較好。但在實際工程應(yīng)用中，受限于時間分辨率，跳頻信號的到達(dá)時間抖動很難控制到很小，在復(fù)雜電磁環(huán)境下跳頻信號的丟失率也不能保證很低，因此PRI直方圖類算法使用范圍受限[4]。PRI類算法對到達(dá)時間進(jìn)行PRI變換處理，通過在PRI譜圖上搜索譜峰來估計跳頻周期，該類算法在到達(dá)時間抖動較大時估計性能較差[7]。時頻分析類算法通過提取跳頻信號時頻分布中的峰值序列、時頻脊線等的周期來估計跳頻周期，不能適應(yīng)電磁環(huán)境中存在多網(wǎng)臺的復(fù)雜情況[18-19]。

針對以上跳頻周期估計算法中存在的問題，本文提出了一種基于代價函數(shù)的跳頻周期估計算法，以相對到達(dá)時間的直方圖統(tǒng)計的方差作為代價函數(shù)[20]，代價函數(shù)最大值所對應(yīng)的自變量即為跳頻周期估計值。該算法不僅估計精度高，而且適應(yīng)多網(wǎng)臺存在的復(fù)雜電磁環(huán)境。

1 問題模型

對于通信偵察方，同一個電臺發(fā)射的跳頻信號的到達(dá)時間可以建模為一個等差數(shù)列，數(shù)列的公差是跳頻周期。因此，第i個電臺的第j跳信號的到達(dá)時間可以表示為：

ti,j=kiTi+toi+jTi，

(1)

式中，i=0,1,2,…；j=0,1,2,…；Ti是第i個電臺的跳頻周期；toi是取值范圍為[0,Ti)的常量；ki是整數(shù)。跳頻周期估計問題其實是已知跳頻信號的一系列到達(dá)時間ti,j，求解跳頻信號的跳頻周期Ti。對于不同跳速的跳頻信號，可以根據(jù)跳頻信號的駐留時間將其區(qū)分開，因此跳頻周期估計問題可以簡化為：已知同一跳速的跳頻信號的一系列到達(dá)時間ti,j，估計跳頻周期T，其中ti,j可以表示為：

ti,j=kiT+toi+jT。

(2)

2 算法原理

假設(shè)未知的跳頻周期為變量x，跳頻信號的相對到達(dá)時間可以表示為：

(3)

構(gòu)造代價函數(shù)：

(4)

(5)

對于非負(fù)實數(shù)a，b，有：

(a+b)2=a2+b2+2ab≥a2+b2。

(6)

(7)

可見，此時每個網(wǎng)臺的跳頻信號的相對到達(dá)時間都變成了常量，分布的比較集中，直方圖統(tǒng)計的方差最大，即代價函數(shù)J(x)最大。因此，跳頻周期的估計值可以表示為：

(8)

式中，TL，TH是根據(jù)經(jīng)驗或者跳頻周期粗估計算法確定的搜索范圍的上、下限。

3 算法實現(xiàn)

本文采用搜索的方式實現(xiàn)基于代價函數(shù)的跳頻周期估計算法，在[TL,TH]上以Δx為步長計算可能的跳頻周期xk=TL+kΔx對應(yīng)的代價函數(shù)值J(xk)，最大函數(shù)值對應(yīng)的自變量即為跳頻周期的估計值，具體步驟如下：

情況 3 v9不染1, 不失一般性,假設(shè)它染3,則可用上述的方法將窮點v1,v5的顏色2改染為顏色1, 并用2 來染v。

② 根據(jù)式(3)和式(4)計算J(xk)；

④ 更新k：k=k+1；

⑤ 計算xk：xk=TL+kΔx；

在實際實現(xiàn)中，可以采用變步長的搜索方法減少計算量[20]。

4 性能分析

(9)

(10)

5 仿真試驗

5.1 算法驗證

算法中的搜索步長設(shè)置為1 μs，直方圖統(tǒng)計的箱長設(shè)置為5 μs，搜索范圍設(shè)置為900 ～1 100 μs。試驗數(shù)據(jù)是在外場利用短時傅里葉變換檢測到的3個電臺的20 007跳信號的到達(dá)時間，短時傅里葉變換的時間分辨率為44.444 μs，3個電臺的跳頻周期均為1 ms，計算出的代價函數(shù)示意如圖1所示。由圖1可以看出，代價函數(shù)的最大值出現(xiàn)在1 ms處，該值等于跳頻周期的真值，驗證了算法的有效性。

圖1 代價函數(shù)示意Fig.1 Schematic diagram of cost function

5.2 搜索步長對算法性能的影響

本小節(jié)驗證了搜索步長對算法性能的影響。在仿真中，搜索步長設(shè)置在1～19 μs之間，每種步長下進(jìn)行1 000次蒙特卡羅仿真，每次處理3個1 000跳/秒的跳頻電臺的10 000跳信號。算法中直方圖統(tǒng)計的箱長設(shè)置為5 μs，搜索范圍是900～1 100 μs。仿真結(jié)果如圖2所示。當(dāng)搜索步長分別設(shè)置為1 μs和5 μs時，歸一化均方誤差其實是0，為了避免對0取對數(shù)，對所有的歸一化均方誤差都加了1×10-21。由圖2可以看出,歸一化均方誤差并不是隨著搜索步長的增加而嚴(yán)格增加的,這是因為當(dāng)搜索步長和搜索范圍的起始值設(shè)置的恰好合適時，即使搜索步長較大，也可能恰好搜索到真實的跳頻周期，此時歸一化均方誤差較小。以本仿真為例，當(dāng)搜索步長取5 μs時，900 μs+5 μs×20 = 1 000 μs，恰好能搜索到真實的跳頻周期，歸一化均方誤差為0。當(dāng)搜索步長取3 μs時，900 μs+3 μs×33 = 999 μs，900 μs + 3 μs×34=1 002 μs，可見此時不能搜索到真實的跳頻周期，所以即使其搜索步長比5 μs小，但是歸一化均方誤差比5 μs時大。當(dāng)跳頻周期未知時，從統(tǒng)計角度上看，越小的搜索步長搜索到真實跳頻周期的概率越大，歸一化均方誤差越小，因此在計算速度可容忍的情況下應(yīng)該盡量減小搜索步長。

圖2 不同搜索步長下的歸一化均方誤差Fig.2 Mean square error of normalized hopping cycle versus different search steps

5.3 丟跳適應(yīng)性驗證

考慮到在復(fù)雜電磁環(huán)境中存在丟跳情況，本小節(jié)驗證了算法的丟跳適應(yīng)性，并與文獻(xiàn)[8]中的PRI變換法進(jìn)行了對比。在仿真中，丟跳率設(shè)置在0～0.5之間只有一個500跳/秒的跳頻電臺，每種丟跳率下進(jìn)行1 000次蒙特卡羅仿真，每次處理10 000跳信號。本文算法中的搜索步長設(shè)置為13 μs，直方圖統(tǒng)計的箱長設(shè)置為5 μs，搜索范圍是1 900～2 100 μs。PRI變換法的箱長設(shè)置為13 μs，搜索范圍是1 900 ～2 100 μs。仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3可以看出，本文算法和PRI變換法對丟跳率都不敏感，本文算法的性能略好于PRI變換法。

圖3 不同丟跳率下的歸一化均方誤差Fig.3 Mean square error of normalized hopping cycle versus different data loss rates

6 結(jié)束語

本文提出了一種基于代價函數(shù)的跳頻周期估計算法，從理論上推導(dǎo)了算法的合理性，利用外場數(shù)據(jù)驗證了算法的正確性，通過仿真試驗驗證了搜索步長對算法的影響和算法對丟跳率的不敏感性。通過選擇合適的搜索步長，跳頻周期估計值的歸一化均方誤差可以達(dá)到0。本算法不僅估計精度高，而且魯棒性強(qiáng)，對于網(wǎng)臺分選的工程實現(xiàn)具有重要意義。