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      流體懸浮及其穩(wěn)定性探究

      2021-04-15 02:38:10劉鎧銘周亞杰趙述敏王紅理
      物理實(shí)驗(yàn) 2021年3期
      關(guān)鍵詞:恢復(fù)力水柱球體

      劉鎧銘,周亞杰,趙述敏,王紅理

      (西安交通大學(xué) 物理學(xué)院,陜西 西安 710049)

      輕質(zhì)物體能在向上噴射的自由射流柱的邊緣部分處于穩(wěn)定的懸浮狀態(tài),并在懸浮的同時(shí)開始旋轉(zhuǎn),稱此現(xiàn)象為流體懸浮. 物體在流體中的懸浮現(xiàn)象是目前備受關(guān)注的新興的物理問題,此問題涉及流體力學(xué)前沿的相關(guān)研究,如Navier-Stokes方程、邊界層理論等. 流體懸浮的應(yīng)用也很廣泛,比如核領(lǐng)域中國內(nèi)液體懸浮式非能棒控制系統(tǒng)[1]和國際上較為成熟的液體懸浮式非能動(dòng)停堆系統(tǒng)[2],現(xiàn)代工業(yè)中液質(zhì)懸浮式永磁多自由度電機(jī),等等.

      1 流體懸浮模型

      1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

      由水龍頭接軟管構(gòu)成供水系統(tǒng),將軟管出水端固定,固定裝置由2個(gè)相同的鐵三角和鐵桿作為支撐,用可轉(zhuǎn)動(dòng)的十字夾固定出水口,由磁鐵和鐵塊作為十字夾的穩(wěn)定裝置,使噴水的角度固定.

      1.2 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

      實(shí)驗(yàn)中,將圓柱體靜止地放在自由射流邊緣,脫手后在1 s內(nèi),圓柱體會(huì)開始旋轉(zhuǎn),高度趨于固定值,轉(zhuǎn)速基本保持恒定.

      1.3 模型構(gòu)建及理論分析

      懸浮模型如圖1所示,其中G為圓柱體重力,F(xiàn)1為水流沖力,F(xiàn)2為壓強(qiáng)梯度力,M1為水流黏滯力矩,Mf為空氣黏滯力矩.

      圖1 圓柱體的懸浮模型

      圓柱體懸浮時(shí)會(huì)圍繞平衡點(diǎn)輕微上下振動(dòng),振幅近似不變,定義該點(diǎn)為輕質(zhì)物體的穩(wěn)定懸浮高度,此時(shí)圓柱體受力平衡:

      F1+F2+G=0,

      (1)

      圓柱體穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速近似恒定,圓柱體受到的合力矩

      M1+Mf=0,

      (2)

      無物體懸浮時(shí),水柱的高度為h0. 每秒噴水質(zhì)量為mt,水流初始速率為vb,懸浮高度處水流速率為v0,由于過輕的物體無法懸浮,而稍重的物體懸浮高度h較低,所以實(shí)驗(yàn)中的vb與v0較為接近,可近似認(rèn)為水柱的半徑Rw等于水管的半徑Rl,在水柱擊打在圓柱體側(cè)面的瞬間,其動(dòng)量可以分為沿圓柱體橫截面的徑向和法向,其中沿圓柱體徑向的沖量全部轉(zhuǎn)化為對圓柱體的沖擊力F1,其大小為p0cosθ0,θ0為沖擊面中心點(diǎn)與圓柱體軸心的連線與豎直方向的夾角,稱為偏心角.

      F1=p0Scosθ0,

      (3)

      將p0和S表達(dá)式代入(3)式,得:

      (4)

      式中h為穩(wěn)定懸浮高度,由于康達(dá)效應(yīng),圓柱體側(cè)面形成繞流,繞流在向上的過程中由于黏滯阻力和重力作用速率會(huì)逐漸衰減、寬度增加、厚度逐漸變薄,繞過最高點(diǎn)后速率又逐漸增加、寬度增加、厚度繼續(xù)變薄,形成繞流.

      先求解二維的速率分布(繞流范圍為平面不規(guī)則圓環(huán)),由于圓柱體側(cè)面左右對稱性,可以近似認(rèn)為處在同一高度、同一角度、同一厚度處的繞流速率相等,于是可以將二維模型拓展到三維. 設(shè)繞流覆蓋角度θ的范圍為2π,寬度為a,達(dá)到穩(wěn)定時(shí),視其為定常流動(dòng),任取一流體微元,其所處的厚度為d(θ),速度為v(d,θ),如圖2所示.

      (a)側(cè)視圖 (b)俯視圖圖2 圓柱體的懸浮

      當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí),圓柱體側(cè)面任意位置處流體微元的速度和繞流的厚度不隨時(shí)間變化,用N-S方程描述繞流系統(tǒng):

      (5)

      聯(lián)立連續(xù)性方程:

      引入邊界層理論[1]描述繞流系統(tǒng),不考慮外層黏滯阻力和無滑移條件,N-S方程可簡化為

      使用有限差分法得到微分方程組的數(shù)值解,時(shí)間步長取0.1 s,空間步長取10-5m,角度步長取2π/100 ,確認(rèn)初始條件后對時(shí)間進(jìn)行迭代. 當(dāng)相鄰兩代之間的數(shù)據(jù)相差小于1%時(shí)停止迭代.

      對于邊界層內(nèi)的流動(dòng),其雷諾數(shù)[2]的數(shù)值為

      式中,ρ為水流密度,取103kg/m3;v為繞流速度,v<10 m/s;L為特征長度,這里指柱體的直徑,L在10-2m量級;μ為水的動(dòng)力黏度,在20 ℃時(shí)取1.01×10-3Pa·m. 由于雷諾數(shù)小于5×105,則可以將邊界層內(nèi)的流動(dòng)當(dāng)作層流來分析,δ表示邊界層厚度,則y處的速度可以寫成

      泰勒展開并取一階近似,得:

      V(y)=a0V.

      將邊界層繞流與外層繞流速率分布結(jié)合得到完整的側(cè)面水流繞流速度場,如圖3所示.

      圖3 水流繞流的速度場

      圖3中緊貼圓柱體側(cè)面的1層水流速度降低不明顯,但水膜的厚度隨圓柱體旋轉(zhuǎn)變薄,動(dòng)量和能量的傳遞體現(xiàn)為水流動(dòng)量層厚度的損失,這部分水的動(dòng)量和能量變成圓柱體旋轉(zhuǎn)的角動(dòng)量和能量. 通過流速場求解壓強(qiáng)分布,邊界層內(nèi)壓強(qiáng)在垂直于壁面方向存在梯度,滿足動(dòng)量積分方程[3]:

      使用思韋茨解法[1]求解,動(dòng)量厚度為t,則

      U(x)為繞流流速分布,通過前面的有限差分法即可解得. 定義量綱為1的動(dòng)量厚度

      結(jié)合流速分布和動(dòng)量厚度求解出各流體微元的黏滯力分布

      對所有與圓柱體直接接觸的流體微元求和,得到黏滯力矩為

      (6)

      當(dāng)邊界層非常薄時(shí),可忽略垂直于固體邊界的流速,則邊界層內(nèi)的N-S方程可以簡化為

      (7)

      可得圓柱體側(cè)面的壓強(qiáng)分布p*(并且考慮繞流附加重力),對所有微元求和得到壓強(qiáng)梯度力為

      (8)

      通過水流速度場可以求解得到空氣流速場.

      圖4是空氣流速場在5 min內(nèi)變化趨勢,空氣黏滯力矩在10-9N·m量級,圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在10-5kg·m2量級,因此可忽略空氣黏滯力矩.

      平衡方程可以寫成:

      F1+F2+G=0,

      (9)

      圖4 空氣速度場

      1.4 數(shù)值模擬

      設(shè)初始數(shù)組(ω,h)為(0,0),分別以0.1 r/s和0.01 m為步長增加(ω,h),求出每個(gè)數(shù)組對應(yīng)的流速場,求出合力與合力矩,取合力與合力矩最接近0的數(shù)組,此時(shí)(ω,h)就是給定圓柱體的理想轉(zhuǎn)速和理想懸浮高度,如圖5所示. 初始條件:高3 cm,直徑12 cm,質(zhì)量4.63 g,水柱初始高度設(shè)置為1.60 m. 數(shù)值模擬結(jié)果:理論轉(zhuǎn)速為5.33 r/s,理論懸浮高度為1.09 m.

      圖5 理論穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速和懸浮高度

      2 懸浮高度和轉(zhuǎn)速的測定

      用Tracker軟件測量圓柱體穩(wěn)態(tài)懸浮高度he和穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速ωe,得到he,ωe與圓柱體直徑D和厚度l的關(guān)系,并與理論懸浮高度ht、理論穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速ωt對比.

      2.1 ω和l的關(guān)系

      實(shí)驗(yàn)測得ω與l如表1和圖6所示,ωt與l呈二次函數(shù)關(guān)系,二次項(xiàng)系數(shù)小于0,且ω″<0,實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線吻合較好.

      表1 ω,h與l的數(shù)據(jù)

      圖6 轉(zhuǎn)速ω和厚度l的關(guān)系

      2.2 ω和D的關(guān)系

      實(shí)驗(yàn)測得ω和D如表2和圖7所示,ωt與D呈二次函數(shù)關(guān)系,二次項(xiàng)系數(shù)大于0,且ω″>0,實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線吻合較好.

      表2 ω和h與D數(shù)據(jù)

      圖7 轉(zhuǎn)速ω和直徑D的關(guān)系

      2.3 h和l的關(guān)系

      實(shí)驗(yàn)測得h與l如表1和圖8所示,ht與l呈二次函數(shù)關(guān)系,二次項(xiàng)系數(shù)大于0,且h″>0,實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線吻合較好.

      圖8 懸浮高度h和厚度l的關(guān)系

      2.4 h和D的關(guān)系

      實(shí)驗(yàn)測得h和D如表2和圖9所示,實(shí)驗(yàn)測量ht與D呈二次函數(shù)關(guān)系,二次項(xiàng)系數(shù)大于0,且h″>0,實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線吻合較好.

      圖9 懸浮高度h和直徑D的關(guān)系

      3 流體懸浮的穩(wěn)定性

      3.1 穩(wěn)定性的實(shí)驗(yàn)探究

      懸浮物體的穩(wěn)定性和生態(tài)系統(tǒng)的抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性特征十分契合,都與自身的結(jié)構(gòu)特征和外界的干擾強(qiáng)度有關(guān)[7],所以引入生物學(xué)的概念,探究懸浮物的抵抗力和恢復(fù)力穩(wěn)定性.

      3.1.1 抵抗力穩(wěn)定性

      懸浮物體受到持續(xù)性擾動(dòng),強(qiáng)度不斷增大,將其能承受的最大擾動(dòng)強(qiáng)度作為衡量抵抗力穩(wěn)定性的標(biāo)準(zhǔn). 水柱初始高度為h0,懸浮物體質(zhì)量m,緩慢改變水柱與地面夾角θ,隨著水柱與豎直方向的夾角增大,擾動(dòng)的強(qiáng)度也逐漸增大. 當(dāng)水柱與豎直方向的夾角增大到一定值時(shí),物體恰好到達(dá)平衡極限掉落,立刻停止改變水柱與豎直方向的夾角,測量射流出射點(diǎn)和落點(diǎn)的水平距離δx,δx與δθ關(guān)系為

      1)圓柱體

      圖10是圓柱體從穩(wěn)定懸浮到平衡極限過程. 實(shí)驗(yàn)測量δx和l,如表3和圖11所示,圓柱體抵抗力穩(wěn)定性在l=3.02 cm時(shí)最強(qiáng).

      (a)增大出射角 (b)臨界角 (c)掉落 圖10 改變出射角(圓柱體)

      D/cml/cmδx/cmθs/(°)11.812.0243.312.511.813.0267.618.311.794.0049.515.411.835.0135.310.611.806.0327.39.4

      圖和l的關(guān)系

      表和與D數(shù)據(jù)(圓柱體)

      圖和D的關(guān)系(圓柱體)

      2)球體

      (a)增大出射角 (b)臨界角 (c)掉落圖13 改變出射角(球體)

      表和與D數(shù)據(jù)(球體)

      圖和D的關(guān)系(球體)

      3.1.2 恢復(fù)力穩(wěn)定性

      懸浮物經(jīng)過瞬間擾動(dòng)后,能重新回到懸浮狀態(tài),稱其為恢復(fù)力穩(wěn)定性. 將砝碼用輕質(zhì)細(xì)線系在懸臂上,懸線長度L=1.000 m,懸線與豎直方向夾角為5°,靜止釋放砝碼撞擊懸浮物側(cè)面,若物體未掉落,則增大懸線與豎直方向的角度θs,步長5°,砝碼儲(chǔ)存的重力勢能轉(zhuǎn)化成的撞擊能量增大,當(dāng)釋放角度增加到一定值時(shí),物體被撞擊后無法恢復(fù)到平衡狀態(tài),將此角度稱為臨界角度θl. 砝碼釋放角度與重力勢能Eg、撞擊能量Ek的關(guān)系(忽略空氣阻力影響)為

      Eg=mgsinθs,Ek=ηEg,

      其中η可近似認(rèn)為是常數(shù),其與碰撞過程中能量損耗有關(guān).

      Ek=ηmgsinθs,

      1)圓柱體

      (a)靜止 (b)拉開砝碼 (c)臨界釋放角圖15 砝碼撞擊(圓柱體)

      圖和l的關(guān)系

      圖和D的關(guān)系(圓柱體)

      2)球體

      (a)靜止 (b)拉開砝碼 (c)臨界釋放角圖18 砝碼撞擊(球體)

      圖和D的關(guān)系(球體)

      對比2種穩(wěn)定性的實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)球體和圓柱體的抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性具有一致性,即抵抗力穩(wěn)定性越強(qiáng),恢復(fù)力穩(wěn)定性也越強(qiáng),則綜合穩(wěn)定性越強(qiáng).

      3.2 穩(wěn)定性的解釋

      圓柱體和球體在受到擾動(dòng)后,必然會(huì)發(fā)生豎直方向和水平方向的偏移,側(cè)面繞流產(chǎn)生的壓強(qiáng)變化會(huì)給圓柱體水平方向的回復(fù)力,水柱沖量的變化會(huì)給圓柱體豎直方向的回復(fù)力,

      3.2.1 水平方向的回復(fù)力

      伯努利方程適用于理想流體的穩(wěn)定流動(dòng),當(dāng)圓柱體最終處于穩(wěn)定懸浮的狀態(tài)時(shí),其側(cè)面的水流可以視為穩(wěn)定流動(dòng):

      (10)

      式(10)中,C為常量,將圓柱體拿掉時(shí)水柱的最高高度為h0,則

      C=ρgh0,

      (11)

      對于同一圓柱體,當(dāng)其水平偏移量不同時(shí),受到的水平回復(fù)力大小也不同,分為2類情況討論:

      圖20表示水柱在不同時(shí)刻沖擊圓柱體的點(diǎn)不同,導(dǎo)致在圓柱體側(cè)表面形成不同的繞流,(a)和(b)情況都不是穩(wěn)定情形,由式(10)和(11)得:

      (12)

      (13)

      (a)向左 (b)向右圖20 水平回復(fù)力

      水柱到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的能量損耗主要包括重力勢能損耗、黏滯阻力損耗和轉(zhuǎn)化為沖擊力的損耗,重力勢能損耗相同,黏滯阻力和轉(zhuǎn)化沖擊力損耗且都是點(diǎn)A大于點(diǎn)B,所以剩余動(dòng)能EkA

      pA>pB.

      (14)

      考慮圓柱體側(cè)面的總體壓強(qiáng)分布結(jié)合大氣壓,最終得到壓強(qiáng)梯度力方向向右,為

      dFA=[p0-(p0-pA)]dS,

      dFB=[p0-(p0-pB)]dS,

      其中,F(xiàn)A為圖20(a)情況由壓強(qiáng)分布產(chǎn)生的水平回復(fù)力

      FB為圖20(b)情況由壓強(qiáng)分布產(chǎn)生的水平回復(fù)力

      結(jié)合式(14)得到:

      FA

      (15)

      FA和FB方向向右,形象地說,在一定范圍內(nèi),偏心角越大,圓柱體受到被水柱吸附的力越大.

      再考慮沖擊力沿水平方向的分力,由式(4),得到?jīng)_擊力F1的表達(dá)式,此時(shí)偏心角θ是時(shí)變的:

      沖擊力沿水平方向的分力F1x為

      再考慮圖20中2種情況,F(xiàn)Ax為圖20(a)情況下沖擊力沿水平方向的分力(起到的作用與回復(fù)力相反):

      FBx為圖20(b)情況下沖擊力沿水平方向的分力:

      FAx>FBx,

      (17)

      結(jié)合式(15)和式(16)得到

      FAxback=FA-FAx<0

      (16)

      圖20(a)中偏心角較大,圓柱體受到的水平回復(fù)力向左,圖20(b)圓柱體受到向右的水平回復(fù)力,由零點(diǎn)存在定理,一定存在讓圓柱體剛好達(dá)到平衡的點(diǎn),不受回復(fù)力,即?θ∈(θA,θB),使

      F(θ)xback=0.

      3.2.2 豎直方向的回復(fù)力

      由式(4)得到?jīng)_擊力F1沿豎直方向的分力

      h表示實(shí)時(shí)的懸浮高度,是時(shí)變量.FAy為圖21(a)情況下沖擊力沿豎直方向的分力:

      FBy為圖21(b)情況下沖擊力沿豎直方向的分力

      顯然FAy

      FAyback=FAy-G<0;

      圖21(b)中豎直回復(fù)力為FByback,方向向上:

      FByback=FBy-G>0,

      由零點(diǎn)存在定理,一定存在使圓柱體剛好達(dá)到平衡的點(diǎn),不受回復(fù)力,即?h∈(hA,hB),使

      F(h)yback=0.

      (a)向下 (b)向上圖21 豎直回復(fù)力

      3.2.3 勢能最低點(diǎn)

      勢能最低點(diǎn)(θ,h),其物理含義是圓柱體受到擾動(dòng)后所趨向的點(diǎn). 數(shù)值模擬使用迭代試探的方法,得到圓柱體穩(wěn)定時(shí)的懸浮高度和轉(zhuǎn)速. 對于受到擾動(dòng)后的圓柱體,其周身水流速度場是時(shí)變的,所以無法求出勢能最低點(diǎn)的具體位置. 但是不影響理論上存在勢能最低點(diǎn),此點(diǎn)的存在對圓柱體受到擾動(dòng)后能回歸穩(wěn)定點(diǎn)提供了合理解釋.

      如圖22所示,對于抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性的一致性,也可以從勢能的角度解釋,由于勢能最低點(diǎn)(θ,h)的存在,并且勢能曲線是連續(xù)的,導(dǎo)致勢能曲線存在低谷區(qū),谷的深度與勢能最小值U(θ,h)負(fù)相關(guān),懸浮時(shí)的勢能最小值越小,谷越深. 物體掉落后,其勢能為外部環(huán)境的勢能,即從峰頂?shù)袈涞酵鈧?cè)的平直的勢能曲線上.

      圖22 勢能曲線圖(定性)

      為了理解方便,可以類比谷底有一小球,抵抗力穩(wěn)定性的實(shí)驗(yàn)是不斷增大射流偏轉(zhuǎn)角,等同于勢能最低點(diǎn)不斷變大,即谷底緩慢抬升,如圖23所示,當(dāng)谷底上升到超過峰頂后,懸浮物掉落到外界環(huán)境中.

      圖23 勢能最低點(diǎn)的抬升

      恢復(fù)力穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)是對小球進(jìn)行撞擊,而整個(gè)懸浮系統(tǒng)是不變的,所以谷底的深度不變,而是把小球緩慢地從谷底拉到峰頂,小球到達(dá)封頂后,即懸浮物掉落到外界環(huán)境中. 所以谷底的初始深度越深,懸浮物的抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性都越大,論證了抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性具有一致性.

      4 結(jié) 論

      定解了圓柱體繞流的流速場,求出圓柱體的理論懸浮高度和理論轉(zhuǎn)速,實(shí)驗(yàn)與理論符合程度良好. 探討了懸浮物體的穩(wěn)定性,研究了影響球體和圓柱體穩(wěn)定性的因素,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:轉(zhuǎn)速與厚度l、直徑D呈正相關(guān),懸浮高度與厚度l、直徑D呈負(fù)相關(guān),對于泡沫材質(zhì)的圓柱體,抵抗力和恢復(fù)力穩(wěn)定性具有一致性,其在l=3.02 cm,D=11.81cm時(shí)穩(wěn)定性最強(qiáng).對于泡沫材質(zhì)的球體,抵抗力和恢復(fù)力穩(wěn)定性也具有一致性,在D=14.37 cm時(shí)最強(qiáng),直徑相同的球體比圓柱體恢復(fù)力穩(wěn)定性強(qiáng).

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