陳洪燕，李 剛，景小榮

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065；2.中興通訊股份有限公司，深圳 518000)

0 引 言

隨著5G技術(shù)研究的深入，為了保證5G系統(tǒng)信息傳輸?shù)目煽啃裕?GPP組織正式將低密度校驗(yàn)碼(Low Density Parity Check，LDPC)碼和極化碼(Polar Code)納入5G的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范中，其中極化碼作為一種被嚴(yán)格證明了能在二進(jìn)制離散無記憶信道下達(dá)到香農(nóng)限的信道編碼，其編譯碼復(fù)雜度相對較低[1]。因此，有必要對極化碼信道編碼的大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)系統(tǒng)進(jìn)行深入研究。

然而，極化碼和大規(guī)模MIMO技術(shù)相結(jié)合，在商業(yè)化應(yīng)用中目前仍面臨一些亟待解決的問題，如在極化碼信道編碼的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，優(yōu)化設(shè)計低復(fù)雜度信號檢測方案。

在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，當(dāng)N?K(N是基站天線數(shù)，K是用戶數(shù))時，各用戶間信道趨于正交[2]。利用這一特性，線性檢測算法，如迫零(Zero-Forcing，ZF)檢測算法和最小均方誤差(Minimum Mean-Square Error，MMSE)檢測算法，在信道狀態(tài)信息完美條件下，可取得近似最優(yōu)的檢測性能[3]；然而這兩種算法均涉及矩陣求逆操作。同時，隨著5G技術(shù)的商業(yè)化應(yīng)用，大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的信道矩陣維度也越來越大，為了充分利用大規(guī)模MIMO的優(yōu)勢，必須有效地解決線性信號檢測算法中所涉及到的高維矩陣求逆問題。

到目前為止，有三種近似矩陣求逆或間接對矩陣求逆的方法解決矩陣直接求逆的計算復(fù)雜度高的問題：一是分解法，如Cholesky分解法[4]，基本思想是首先將矩陣轉(zhuǎn)變成一個上三角矩陣和一個下三角矩陣的乘積，然后進(jìn)行求逆運(yùn)算，但計算復(fù)雜度仍高達(dá)O(K3)。二是近似法，如Neumann級數(shù)展開[4]和Newton法[5]。Neumann級數(shù)展開的基本思想是對矩陣求逆運(yùn)算采用級數(shù)展開來近似?；贜eumann級數(shù)展開的信號檢測算法面臨收斂速度慢且當(dāng)Neumann序列階數(shù)大于2時，矩陣乘法大量存在，計算復(fù)雜度較高。Newton法的核心思想是對函數(shù)的泰勒展開，但需要求逆矩陣操作，計算復(fù)雜度較高。三是迭代法，其基本思想是將信號檢測問題轉(zhuǎn)化為求線性方程組的解，包括Jacobi檢測算法[6]、Gauss-Seidel檢測算法[7]、逐次超松弛迭代(Successive Over-Relaxation，SOR)檢測算法[8]等。將MMSE檢測算法與Jacobi檢測算法相結(jié)合，能改善Jacobi檢測算法的收斂速度較慢的缺陷且提升其性能[9]。為了加快Gauss-Seidel檢測算法的收斂速度，將最速下降算法與Gauss-Seidel檢測算法相結(jié)合，經(jīng)過幾次迭代后就能收斂接近MMSE檢測算法的性能[10]。文獻(xiàn)[11]在SOR檢測算法的基礎(chǔ)上，提出了一種自適應(yīng)排序干擾消除(Sorting Interference Cancellation，SIC)檢測算法，通過干擾消除降低待檢測矩陣的維度。該算法相較于SOR檢測算法，降低了計算復(fù)雜度且提升了性能。

本文在對極化碼信道編碼的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的信號檢測和大規(guī)模MIMO系統(tǒng)信號檢測研究現(xiàn)狀分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合極化碼，提出了一種基于無轉(zhuǎn)置極小殘差(Transpose-Free Quasi-Minimal Residual，TFQMR)的低復(fù)雜度的次優(yōu)信號檢測算法。該算法有效地回避了傳統(tǒng)MMSE檢測算法計算均衡矩陣所需要的求逆過程。數(shù)值仿真結(jié)果表明，在融合極化碼信道編碼的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，提出的基于TFQMR的信號檢測算法的誤比特率(Bit Error Rate,BER)性能與計算復(fù)雜度均優(yōu)于基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法，而且經(jīng)過5次迭代后，基于TFQMR的信號檢測算法收斂可取得傳統(tǒng)MMSE算法的性能。

1 系統(tǒng)模型

考慮一單小區(qū)多用戶的極化碼信道編碼的上行大規(guī)模MIMO系統(tǒng)。假設(shè)大規(guī)模MIMO系統(tǒng)在基站端配置N根天線，同時為K(K?N)個單天線用戶設(shè)備提供服務(wù)。在發(fā)射端，在L個時隙內(nèi)，每個用戶各自獨(dú)立生成mL個待傳輸?shù)谋忍豙12]。mRL比特為信息比特，其余為凍結(jié)比特，R為極化碼碼率。經(jīng)過極化碼編碼后，然后進(jìn)行2m-正交幅度調(diào)制(Quadrature Amplitude Modulation,QAM)，各個用戶的mL比特被映射成L個符號，再將調(diào)制后的符號經(jīng)過用戶的天線同時發(fā)射，最后基站端N根天線接收到合并信號并將發(fā)射的符號恢復(fù)出來。因此，大規(guī)模MIMO系統(tǒng)收發(fā)端的輸入輸出信號關(guān)系可表示為

y=H·s+n。

(1)

式中：yN×1是接收矢量；sK×1是發(fā)射矢量；HN×K是信道矩陣，且各元素相互獨(dú)立，服從均值為0、方差為1的復(fù)高斯隨機(jī)變量分布，假設(shè)基站端已知信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)；n表示背景噪聲，假設(shè)為服從均值為0、協(xié)方差矩陣為σ2IN的復(fù)高斯隨機(jī)變量，IN為N階單位矩陣。接收天線上的信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)定義為

式中：Es表示各用戶的平均發(fā)射功率。

根據(jù)式(1)的信號指定，基于MMSE檢測準(zhǔn)則，有

(2)

J=G+σ2IK。

(3)

式中：G=HHH為格拉姆矩陣。記

(4)

則MMSE檢測算法估計值又可表示為

(5)

采用MMSE信號檢測，顯然不可避免地需要對矩陣J進(jìn)行求逆，矩陣求逆的計算復(fù)雜度約為O(K3)。當(dāng)用戶數(shù)K越來越多，計算復(fù)雜度會越高，而且矩陣求逆的困難程度也會逐漸增大。因此，MMSE檢測算法很難在實(shí)際中應(yīng)用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)上行信號檢測。為此，下一節(jié)將提出一種能夠適用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的低復(fù)雜度的信號檢測算法。

2 基于TFQMR算法的信號檢測算法

2.1 TFQMR算法應(yīng)用于求解線性方程組

TFQMR作為Krylov子空間中求解大型稀疏線性方程組的一種方法，可得到子空間中的近似解，當(dāng)基逐漸變大時，近似解會逐漸逼近精確解，并收斂于精確解。TFQMR方法用于解線性方程組求解可描述為：當(dāng)矩陣A對稱正定時，給定一初始解s(0)，通過TFQMR方法可實(shí)現(xiàn)對線性方程A·s=b進(jìn)行迭代求解。TFQMR方法需要數(shù)次迭代就會收斂[13]，初始解s(0)越接近真實(shí)解向量，其收斂速度越快。

進(jìn)一步，MMSE檢測算法的矩陣J可將其進(jìn)行分解為

J=D+E。

(6)

式中：D是矩陣J的主對角矩陣元素所構(gòu)成的矩陣，E代表矩陣J的非對角元素所構(gòu)成的矩陣。由文獻(xiàn)[3]可知，在上行大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，當(dāng)K?N時，信道矩陣會表現(xiàn)出漸近正交這一特性；同時，Marcenko-Pastur定律指出信道矩陣具有信道硬化這一特性，隨著N/K比值的逐漸增大，矩陣的主對角占優(yōu)特性會更加明顯，則矩陣D會趨近于對角陣J，即J≈D。因此，可將初始解向量近似為

(7)

2.2 基于TFQMR的信號檢測算法

輸入：y，H，σ2，T(迭代次數(shù))。

Step1 判斷t是奇數(shù)還是偶數(shù)，若t是奇數(shù)，則執(zhí)行Step 2，若t是偶數(shù)，跳至Step 3。

Step2 若t是奇數(shù)，依次更新中間量：

Step3 依次更新中間量：

z(t)=Ju(t)，

w(t+1)=w(t)-α(t)z(t)，
d(t+1)=u(t)+((θ(t))2/α(t))η(t)d(t)，
θ(t+1)=‖w(t+1)‖2/γ(t)，
c(t+1)=(1+(θ(t+1))2)-1/2，γ(t+1)=γ(t)θ(t+1)c(t+1)，
η(t+1)=(c(t+1))2α(t)。

Step4 更新解向量，s(t+1)=s(t)+η(t+1)d(t+1)。

Step5 若t是偶數(shù)，更新中間向量：

Step6 判斷t=T是否成立，若成立，則迭代結(jié)束并輸出，否則跳至Step 1。

后續(xù)仿真表明，當(dāng)基于TFQMR的信號檢測算法在迭代5次后就能收斂，即當(dāng)T=5時，該算法可取得接近于MMSE算法的性能。

2.3 計算復(fù)雜度分析

計算復(fù)雜度是衡量算法性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)，因此，本節(jié)主要介紹基于TFQMR的信號檢測算法的計算復(fù)雜度，定義為從基站端接收的合并的信號中恢復(fù)出發(fā)射信號矢量所需要的實(shí)數(shù)乘法與實(shí)數(shù)加法次數(shù)總和。

基于TFQMR的信號檢測算法中，在初始化部分，總共需要16K2+20K-4次浮點(diǎn)運(yùn)算，而在基于TFQMR的迭代求解過程中,當(dāng)t是奇數(shù)，每次迭代需要進(jìn)行8K2+50K+44次浮點(diǎn)運(yùn)算；當(dāng)t是偶數(shù)，每次迭代需要進(jìn)行16K2+76K+42次浮點(diǎn)運(yùn)算，因此，其計算復(fù)雜度可表示為

式中：T為總迭代次數(shù)，?·」為向下取整符號。

為了與基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法進(jìn)行對比，表1給出了基于TFQMR的信號檢測算法與基于Neumann級數(shù)展開的信號計算算法的復(fù)雜度對比。

表1 計算復(fù)雜度對比

由表1可得，基于TFQMR的信號檢測算法的計算復(fù)雜度約為O(K2)，相較于MMSE信號檢測算法降低了一個數(shù)量級。圖1給出了基于Cholesky分解的信號檢測算法、基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法和基于TFQMR的信號檢測的計算復(fù)雜度比較。在圖1中，T表示基于 Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法的Neumann序列階數(shù)，也表示基于TFQMR的信號檢測算法的迭代次數(shù)。仿真結(jié)果表明，當(dāng)T≥3時，基于Cholesky分解的信號檢測算法和基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法的計算復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于基于TFQMR的信號檢測算法，這表明基于TFQMR的信號檢測算法在計算復(fù)雜度上相比基于Cholesky分解的信號檢測算法和基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法有明顯的優(yōu)勢，理論分析與實(shí)際仿真結(jié)果相符。

圖1 各種算法浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算次數(shù)與用戶個數(shù)的關(guān)系

3 仿真與分析

本節(jié)采用數(shù)值仿真來驗(yàn)證基于TFQMR的信號檢測算法的性能，并將其與基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法和傳統(tǒng)的MMSE信號檢測算法進(jìn)行對比。

仿真中極化碼碼率R=0.5，調(diào)制方式為16-QAM調(diào)制。首先每個用戶各自獨(dú)立生成mL個待傳輸?shù)谋忍?，其中L設(shè)為1。mRL比特為信息比特，其余為凍結(jié)比特，R為極化碼碼率。經(jīng)過極化碼編碼后，然后進(jìn)行2m-QAM調(diào)制，各個用戶的m比特被映射成1個符號，再將調(diào)制后的符號經(jīng)過用戶的天線同時發(fā)射?；窘邮仗炀€接收到的信號根據(jù)檢測算法對發(fā)射矢量進(jìn)行信號估計，再將信號估計值進(jìn)行解調(diào)，計算出對數(shù)似然比值，最后將對數(shù)似然比值送進(jìn)串行抵消(Successive Cancellation,SC)譯碼器進(jìn)行譯碼得到比特流。設(shè)定用戶平均發(fā)射功率為1 mW，即Es=1 mW。

圖2給出了當(dāng)基站天線數(shù)N=128、用戶數(shù)K=32時，基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法與基于TFQMR的信號檢測算法的性能比較曲線。從圖2中可看出，在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法和基于TFQMR的信號檢測算法的BER均隨著SNR不斷增加而不斷降低；同時，基于TFQMR的信號檢測算法在第2次迭代時的性能已優(yōu)于基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法當(dāng)Neumann級數(shù)為5的性能，這說明本文算法更適宜用戶數(shù)較多的場景；且在迭代次數(shù)為5時，基于TFQMR的檢測算法的誤碼率性能曲線已經(jīng)逼近于基于MMSE的信號檢測算法。

圖2 K=32時BER隨SNR變化的曲線圖

圖3給出了當(dāng)基站天線數(shù)N=128、用戶數(shù)K=16時，基于Neumann級數(shù)展開的檢測算法與基于TFQMR的檢測算法的BER性能對比曲線。從圖3可看出，基于TFQMR的檢測算法在迭代次數(shù)為3次時，就可取得逼近MMSE檢測算法的性能，且其性能優(yōu)于基于Neumann級數(shù)展開的檢測算法在Neumann級數(shù)為5的性能。相較于用戶數(shù)K=16的情況，圖3中由于用戶數(shù)的不斷減少，用戶之間的干擾會降低，因此其性能相比圖2，基于Neumann級數(shù)展開的檢測算法與基于TFQMR的檢測算法的BER性能均有所改善。

圖3 K=16時BER隨SNR變化的曲線圖

圖4給出了當(dāng)用戶數(shù)K=16、信噪比為2 dB時，基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法與基于TFQMR的信號檢測算法的BER隨著基站天線數(shù)變化的性能對比曲線。隨著天線數(shù)的不斷增加，基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法、基于TFQMR的信號檢測算法和MMSE信號檢測算法的性能逐漸變得更優(yōu)，且隨著迭代次數(shù)的增加，基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法與基于TFQMR的信號檢測算法的性能曲線都逐漸逼近MMSE檢測算法的性能曲線；然而在迭代次數(shù)相同的情況下，基于TFQMR的信號檢測算法的性能明顯優(yōu)于基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法的性能。

圖4 BER隨基站天線數(shù)變化的曲線圖

圖5給出了當(dāng)基站天線數(shù)N=128、信噪比為2 dB時，基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法和基于TFQMR的信號檢測算法的BER隨著用戶數(shù)的變化曲線。如圖5所示，基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法和基于TFQMR的信號檢測算法的BER性能隨著用戶數(shù)的不斷增加逐漸變差。原因是隨著用戶數(shù)的增加，用戶之間的干擾不斷增加，導(dǎo)致BER不斷上升。但在同一T取值，基于TFQMR的檢測算法性能明顯優(yōu)于基于Neumann級數(shù)展開的算法。

圖6給出了當(dāng)基站天線數(shù)N=128、用戶數(shù)K=16時，基于TFQMR的檢測算法的BER性能隨迭代次數(shù)和SNR的變化曲線。從圖中可以看出，隨著SNR不斷增加，BER不斷下降；同時，當(dāng)?shù)螖?shù)T≥5時，BER性能變化趨于平穩(wěn)，因此本文提出的基于TFQMR的檢測算法在迭代5次后趨于穩(wěn)定。

圖6 BER隨迭代次數(shù)變化的曲線圖

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于TFQMR的低復(fù)雜度信號檢測算法。在該算法中，充分利用TFQMR迭代求解線性方程組的優(yōu)勢，從而避免了MMSE算法求解矩陣逆的運(yùn)算，將計算復(fù)雜度數(shù)量級由O(K3)降為O(K2)。同時，與目前比較流行的基于Neumann級數(shù)展開的信號檢測算法相比，本文所提算法在性能和計算復(fù)雜度上更具有明顯的優(yōu)勢。

然而，本文算法僅考慮融合了極化碼的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)上行鏈路，如何對融合極化碼的大規(guī)模系統(tǒng)下行進(jìn)行深入研究，將是未來工作的重點(diǎn)。