李 亮，李思凡，王海芳

（東北大學(xué)秦皇島分?？刂乒こ虒W(xué)院，河北秦皇島066004）

隨著“中國制造2025”強國戰(zhàn)略的推進實施，我國正從勞動密集型向現(xiàn)代化制造業(yè)方向發(fā)展。Delta 機器人以其剛度大、精度高、速度快等特點，廣泛應(yīng)用于醫(yī)藥、食品、電子等領(lǐng)域，代替人工分揀作業(yè)，市場需求龐大。合理地確定機構(gòu)尺度參數(shù)是平臺開發(fā)的重要環(huán)節(jié)。因此，面向特定的生產(chǎn)作業(yè)現(xiàn)場的空間需求，設(shè)計出結(jié)構(gòu)緊湊且性能優(yōu)良的機構(gòu)，對于Delta 機器人的普及應(yīng)用具有重要的現(xiàn)實意義。

針對Delta機器人的尺度綜合一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點問題［1］。Laribi 等［2］通過給定一個正方體任務(wù)空間，以在該區(qū)域各點與可達邊界距離最小為優(yōu)化目標(biāo)，采用遺傳算法得到了結(jié)構(gòu)最小的最優(yōu)解。Liu 等［3］提出了給定圓柱型工作區(qū)域的最小外接空間的計算方法，通過約束運動性能指標(biāo)給出了應(yīng)用于直線型Delta 機器人的算例。張利敏等［4］以尺寸、速度、剛度和精度為約束條件，利用奇異值分解原理，提出以基于單軸最大驅(qū)動力矩全域最大值最小為優(yōu)化目標(biāo)，對Delta 機器人進行了動力學(xué)尺度綜合。

Delta 并聯(lián)機器人常配備視覺和氣動執(zhí)行器等裝置完成“Pick-and-Place”操作，以實現(xiàn)在流水線上的高速分揀作業(yè)。其作業(yè)軌跡多以門字形路徑為主［4］。圖1 為典型的 3 自由度 Delta 機器人，其中運動平臺通過3 條完全相同的運動鏈連接固定平臺。圖中，主動臂由轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)驅(qū)動，從動臂的兩個桿均由球關(guān)節(jié)連接，為防止兩桿間扭轉(zhuǎn)常布置有拉簧。這樣從動臂的3 組平行四邊形結(jié)構(gòu)可使動平臺始終與定平臺保持平行的姿態(tài)，實現(xiàn)空間內(nèi)的三平移運動。

圖1 Delta分揀機器人結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of Delta sorting robot

1 運動學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立

由于Delta 機器人每條從動臂均為平行四邊形，A1B1和C1D1兩線段中點間的距離不變，因此，可簡化該結(jié)構(gòu)并建立坐標(biāo)系［6］，如圖2 所示。令從動臂和主動臂長度為La和Lb，固定平臺和運動平臺外切圓半徑為R和r，固定平臺上OBi與靜坐標(biāo)系x軸正方向的角度為ηi，i=1，2，3。

圖2 簡化的機構(gòu)及坐標(biāo)系Fig.2 Simplified mechanism and coordinate system

E點坐標(biāo)為

若動平臺圓心O'坐標(biāo)為（x，y，z），則點Pi坐標(biāo)為

由從動臂桿長不變，有約束方程：

舍棄角度過大的解，則有逆解：

2 雅可比矩陣的求解

雅克比矩陣又稱為一階運動影響系數(shù)，是機構(gòu)操作速度與關(guān)節(jié)速度之間的映射，也可以看作是從關(guān)節(jié)空間到操作空間的運動速度的傳動比［7］。同時，也是進行機器人靈巧度研究的基礎(chǔ)。若X=［x，y，z］T表示運動平臺中心點的位置坐標(biāo)，對時間求導(dǎo)由定義可知速度關(guān)系為

則式中J即為雅可比矩陣。將式（3）整理可得

做一階泰勒展開并對時間求導(dǎo)，可得到

整理得

式中：

觀察式（9）中矩陣A和B均是已知量，由此可以得出Delta并聯(lián)機器人的雅克比矩陣為

式中：

3 靈巧度性能指標(biāo)

靈巧度是衡量機器人運動性能的重要指標(biāo)，由于并聯(lián)機器人雅可比矩陣呈病態(tài)分布時，其逆矩陣的精度降低使運動傳遞失真，這種失真程度的定量指標(biāo)通常被稱作靈巧度［8］。目前靈巧度性能指標(biāo)主要有條件數(shù)和可操作度兩種。文獻資料表明，對于純移動或純轉(zhuǎn)動的機構(gòu)，通常采用條件數(shù)作為靈巧性指標(biāo)［9］。對于Delta 機器人顯然條件數(shù)相較于可操作度更為合理。

1982年，Salisbury 等［8］提出了雅克比矩陣的條件數(shù)，其定義為

通常采用雅可比矩陣的Frobenius 范數(shù)計算條件數(shù)，矩陣的Frobenius范數(shù)定義為［10］

式中：tr(·)為矩陣的跡，即矩陣對角線各元素之和。

4 給定設(shè)計工作區(qū)域下的尺度綜合

尺度綜合即按已知構(gòu)型和運動學(xué)參數(shù)確定機構(gòu)中各構(gòu)件的幾何尺寸。鑒于并聯(lián)機器人運動空間相對較小，為滿足指定生產(chǎn)現(xiàn)場的作業(yè)需求，在進行尺度綜合時，須保證機構(gòu)具有緊湊的結(jié)構(gòu)尺寸，且兼顧優(yōu)良的運動學(xué)性能。

4.1 可達工作空間邊界解析方程的確定

將Delta 并聯(lián)機器人的運動學(xué)公式（3）開方并化簡可得

式中：d=R-r。

將式（12）改寫為

式中：

則方程有解的條件為

即

運動平臺中心點X（x，y，z）需滿足三個支鏈約束方程，若函數(shù)Qi=0 時，位于工作空間邊界之上；當(dāng)Qi＜0時，位于工作空間之內(nèi)。

觀察式（13）中Delta機器人三支鏈運動約束方程Qi=0，可知其邊界曲面為關(guān)于x、y、z的三元隱函數(shù)方程，其已知量為從動臂桿長La和主動臂桿長Lb；固定平臺外接圓半徑、運動平臺外接圓半徑差d及固定平臺上OBi與靜坐標(biāo)系x軸正方向的夾角ηi，且其函數(shù)值小于0 時可表達該點離邊界的遠近程度［11-12］。

4.2 基于懲罰函數(shù)法目標(biāo)函數(shù)的建立

鑒于分揀作業(yè)多以門字形路徑為主，給定一個形狀規(guī)則的矩形體作為設(shè)計工作區(qū)域。該設(shè)計工作區(qū)域可用8 個頂點來表示［12］。在靜坐標(biāo)系下各點坐標(biāo)圖3所示。

圖3 給定設(shè)計工作區(qū)域及其頂點坐標(biāo)Fig.3 Prescribed workspace and its point coordinate values

由于結(jié)構(gòu)尺寸一定時，設(shè)計工作區(qū)域相對于機器人工作空間的位置待定，即離靜坐標(biāo)系原點的Z坐標(biāo)值H為可優(yōu)選變量，因此，進行尺度綜合選擇優(yōu)化變量為

4.2.1 結(jié)構(gòu)最小化函數(shù)表達式

為保證所設(shè)計Delta機器人的可達工作空間邊界距離給定設(shè)計工作區(qū)域最近，即滿足結(jié)構(gòu)尺寸最小的優(yōu)化目標(biāo)。定義設(shè)計工作區(qū)域的8 個頂點，距離邊界的度量權(quán)值盡可能的小，因此，主函數(shù)F1可定義為

式中：QK為8個頂點的集合。

4.2.2 以邊界與設(shè)計區(qū)域相對位置約束的懲罰項由于機器人尺度參數(shù)不同，其可達工作空間的邊界定不相同。為了確保所設(shè)計的Delta并聯(lián)機器人可達工作空間能夠使設(shè)計工作區(qū)域都包含在其中，定義懲罰項F2如下：

式中：c取正無窮。

4.2.3 以條件數(shù)指標(biāo)約束的懲罰

為保證所設(shè)計的Delta機器人在設(shè)計工作區(qū)域具有良好的運動學(xué)性能，以條件數(shù)為靈巧度指標(biāo)。文獻資料表明，當(dāng)Delta 并聯(lián)機器人的條件數(shù)k（J）＜5時具有較優(yōu)的運動學(xué)性能［12］。建立性能約束懲罰項：

式中：c取正無窮。

4.2.4 以機構(gòu)幾何尺寸約束的懲罰項

據(jù)文獻資料研究表明，當(dāng)機構(gòu)尺寸La、Lb、d滿足d＜La－Lb時，不會發(fā)生三條從動臂共面的情況發(fā)生，能夠有效地避免該奇異位形的出現(xiàn)，使機器人設(shè)計更為合理［13］。故建立懲罰項F4如下：

式中：c取正無窮。

綜合式（14）～式（17）建立尺度綜合目標(biāo)函數(shù)為

4.3 求解算例

給定圖（3）中設(shè)計工作區(qū)域的尺寸為a=300 mm，b=300 mm，H=200 mm。至此，尺度綜合化為無約束優(yōu)化問題，采用Matlab 軟件優(yōu)化工具箱中內(nèi)嵌遺傳算法進行求解計算［16］。設(shè)置種群規(guī)模80，遺傳代數(shù)100，變量個數(shù)4，設(shè)置變量下邊界［100 100 50 -1 000］，上邊界［1 000 1 000 500 0］，其余參數(shù)按默認(rèn)處理。經(jīng)運算得到適應(yīng)度進化曲線及最優(yōu)個體參數(shù)圖，如圖4所示。

圖4中可以看出，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)100次迭代運算后，最佳適應(yīng)度值與平均適應(yīng)度值已較接近，反映出種群進化良好，最優(yōu)個體數(shù)值穩(wěn)定在該尺度下已基本不變。最后考慮到加工方便，經(jīng)圓整后最優(yōu)解向量為

5 尺度綜合結(jié)果分析

將算例最優(yōu)解F*代入式（13），在Matlab 中畫出其隱函數(shù)邊界方程的三維圖像（Z坐標(biāo)最高取至設(shè)計工作區(qū)域上表面），并將圖3中8個頂點坐標(biāo)連線組成設(shè)計工作區(qū)域，兩者相對位置如圖5所示。

圖4 遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimization results of genetic algorithm

圖5 設(shè)計工作區(qū)域與工作空間邊界的相對位置Fig.5 Relative position between the prescribed workspace and the boundary of workspace

從圖5 中知，Delta 機器人的可達工作空間為三條支鏈構(gòu)成的三圓環(huán)交集部分，設(shè)計工作區(qū)域包含在內(nèi)符合設(shè)計要求，且距離適中反映出結(jié)構(gòu)緊湊性較好。

將設(shè)計工作區(qū)域上下表面離散成散點坐標(biāo)，并代入反解式（5），通過式（9）～式（11）可求得條件數(shù)性能指標(biāo)的分布圖，如圖6和圖7所示。

從圖中可以看出，上下表面條件數(shù)在3～5范圍之內(nèi)，其中在設(shè)計工作區(qū)域中心附近性能最好，4個頂點處相對稍差，且下表面頂點處較于上表面頂點處略好，機器人在設(shè)計工作區(qū)域內(nèi)整體運動學(xué)性能良好。

圖6 設(shè)計工作區(qū)域上表面條件數(shù)分布圖Fig.6 Distribution of condition number on the upper boundary of the prescribed workspace

圖7 設(shè)計工作區(qū)域下表面條件數(shù)分布圖Fig.7 Distribution of condition number on the lower boundary of the prescribed workspace

6 結(jié)語

Delta 機器人的機構(gòu)尺度綜合是分揀實驗平臺設(shè)計開發(fā)工作的重要環(huán)節(jié)，其靈巧度作為重要的運動學(xué)性能指標(biāo)是設(shè)計質(zhì)量優(yōu)劣的關(guān)鍵問題。采用本文中尺度綜合方法可針對分揀作業(yè)現(xiàn)場根據(jù)末端執(zhí)行器的操作路徑給定設(shè)計工作區(qū)域，綜合考慮結(jié)構(gòu)緊湊性、靈巧度及奇異位形等因素，基于遺傳算法方法求解出運動性能優(yōu)良的機構(gòu)尺度參數(shù)。但考慮到分揀作業(yè)會處于高負(fù)載、高速、高加速度的狀態(tài)下運行，在采用輕質(zhì)構(gòu)件材料的同時，進一步研究中需計入動力學(xué)因素的影響。