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      關(guān)于Monge-Ampère方程解的一個(gè)估計(jì)

      2021-05-06 16:51:09于雪梅

      于雪梅

      【摘要】本文主要在高維非負(fù)常曲率黎曼流形中,對滿足齊次狄利克雷邊值條件的Monge-Ampère方程的嚴(yán)格凸解,構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù),將歐式空間中的結(jié)論推廣至黎曼流形上,得到一個(gè)關(guān)于方程解的非負(fù)估計(jì),并應(yīng)用柯西—施瓦茨不等式、牛頓不等式給出詳細(xì)的證明過程.

      【關(guān)鍵詞】 黎曼流形;Monge-Ampère方程;解的估計(jì)

      一、引言

      近幾年,有關(guān)橢圓型偏微分方程

      解的凸性研究是非常豐富的,主要思路是在歐式空間中進(jìn)行方程解的凸性研究.其研究方法啟示我將此思路拓展到黎曼流形上,在對解的水平集的曲率進(jìn)行研究前,我先構(gòu)造一個(gè)與上述完全非線性的Monge-Ampère方程的嚴(yán)格凸解有關(guān)的函數(shù),通過詳細(xì)推導(dǎo)對構(gòu)造的函數(shù)做出估計(jì),為后續(xù)研究曲率問題做出鋪墊.

      二、基本概念和記號

      定義1 設(shè)Mn為n維Ck流形,如果在Mn上存在一個(gè)(0,2)階對稱正定的Ck張量場g,使得對p∈Mn,切空間TP(Mn)可以看作具有度量gp的歐式向量空間,那么(Mn,g)稱為n維Ck黎曼流形.其中g(shù)為黎曼流形Mn的黎曼度量或基本張量.

      四、結(jié)束語

      本文對一類橢圓型偏微分方程在帶有邊值狄利克雷條件下的嚴(yán)格凸解,在高維黎曼流形上構(gòu)造出一個(gè)輔助函數(shù),進(jìn)而得到一個(gè)估計(jì),這一結(jié)論的成立對研究方程解的平均曲率、高斯曲率的估計(jì)問題有很大幫助.

      【參考文獻(xiàn)】

      [1] Chen chuanqiang,Ma XiNan,Shi shujun.Curvature Estimates for the Level Sets of Soulutions of the Monge-Ampère Equation detD2u=1[J].Chinese Annals of Mathematics,2014(35B):895-906.

      [2] Trudinger N S.On New Isoperimetric Inequalities and Symmetrization[J].Reine Angew,Math,1997 (488):203-220.

      [3] Lin F H,Han Q.Elliptic Partial Differential Equations.Courant Institute of Mathematical Sciences,2000:27-30.

      [4]于雪梅.四維空間形式中Monge-Ampère方程解的微分不等式[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2015,31(3).

      [5]邢慶賀.二維黎曼流形上蒙日—安培方程解的一個(gè)估計(jì)[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2015,31(3).

      [6]于雪梅.空間形式上蒙日—安培方程解水平集的曲率估計(jì)[D].哈爾濱師范大學(xué)碩士論文,2015.

      [7] 白正國.黎曼幾何初步[M].北京: 高等教育出版社,2004.

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