羅志高

(中山大學(xué) 公共實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，廣東 廣州 510006)

1 RLC穩(wěn)態(tài)電路的基本特性簡介

在RLC串聯(lián)電路中，若加在電路兩端的正弦交流信號(hào)保持不變，則當(dāng)電路中的電流和電壓變化達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電流(或某元件兩端的電壓)與頻率之間的關(guān)系特性稱為幅頻特性；電壓、電流之間的位相差與頻率之間的關(guān)系特性稱為相頻特性。從以下3種串聯(lián)電路來分析。

1.1 RC串聯(lián)電路

RC串聯(lián)電路如圖1所示，由于電容C的容抗為1/(jωC)，可得：

(1)

(2)；

(3)

(4)；

(5)

Δφ=φUR-φU=tan-1(1/ωRC)

(6)

若總電壓有效值U保持不變，根據(jù)式(4)和式(5)可畫出UR～f和UC～f幅頻特性曲線,如圖2所示。UR和UC都是頻率f(或ω)的函數(shù)，都隨f單調(diào)變化。當(dāng)頻率很低時(shí)，1/(ωC)?R,總電壓主要落在電容上；當(dāng)頻率很高時(shí)，1/(ωC)?R，總電壓主要落在電阻上。

圖1 RC串聯(lián)電路

圖2 RC串聯(lián)電路的幅頻特性

根據(jù)式(6)可畫出RC串聯(lián)電路的Δφ～f相頻特性曲線，如圖3所示。當(dāng)f很低時(shí)，Δφ趨于π/2；當(dāng)f很高時(shí)，Δφ趨于0，電流與電壓趨于同相。

圖3 RC串聯(lián)電路的相頻特性曲線

1.2 RL串聯(lián)電路

RL串聯(lián)電路如圖4所示。由于電感L的感抗為jωL，可得

(7)

由式(7)可得電路總阻抗|Z|、電流有效值I、電阻兩端電壓的有效值UR、電感兩端電壓的有效值UL及電路電流與總電壓之間的位相差Δφ分別為

(8)

(9)

(10)

(11)

Δφ=φUR-φU=tan-1(ωL/R)

(12)

若總電壓有效值U保持不變，根據(jù)式(10)和式(11)可畫出UR～f和UL～f幅頻特性曲線，如圖5所示。UR和UL都是頻率f(即ω)的函數(shù)，都隨f單調(diào)變化。當(dāng)f很低時(shí)，R?ωL，總電壓主要落在電阻上；當(dāng)頻率很高時(shí)，R?ωL，總電壓主要落在電感上。

圖4 RL串聯(lián)電路

圖5 RL串聯(lián)電路幅頻特性

圖6 RL串聯(lián)電路相頻特性曲線

根據(jù)式(12)可畫出RL串聯(lián)電路的Δφ～f相頻特性曲線，如圖6所示。當(dāng)f很低時(shí)，Δφ趨于0，流過RL串聯(lián)電路的電流與總電壓趨于同相；當(dāng)f很高時(shí)，Δφ趨于π/2。Δφ為負(fù)說明流過RL串聯(lián)電路的電流的相位落后于總電壓的相位。

1.3 RLC串聯(lián)電路的相頻特性

圖7 RLC串聯(lián)電路圖

Δφ=φUR-φU=tan-1[(ωL-1/ωC)/R]

(13)

根據(jù)式(13)可畫出RLC串聯(lián)電路的Δφ～f相頻特性曲線如圖8所示。

圖8 RLC串聯(lián)電路的相頻特性曲線

(2)當(dāng)ωL>1/ωC(高頻)時(shí)，Δφ<0，電流相位落后于總電壓，電路呈電感性，Δφ隨ω的增大而增大。ω趨于無窮大時(shí)，Δφ趨近于-π/2。

(3)當(dāng)ωL<1/ωC(低頻)時(shí)，Δφ>0，電流相位超前于總電壓，電路呈電容性，Δφ隨ω的減小而減小，ω趨于0時(shí)，Δφ趨近于π/2。

1.4 用雙蹤示波器測相位差

把兩個(gè)同頻率的交流信號(hào)U=U1sin(ωt+φ1)和UR=U2sin(ωt+φ2)分別接示波器的CH1和CH2端口，屏幕上會(huì)出現(xiàn)如圖9所示的圖形。以U為基準(zhǔn)，則U和UR兩信號(hào)間的相位差為

(14)

圖9 雙蹤示波法測相位差

式中，L為信號(hào)的一個(gè)周期所對應(yīng)的水平距離，ΔL為兩個(gè)信號(hào)之間的水平距離。由于屏幕上的光點(diǎn)總是從左到右掃描，所以若UR波形位于U的左側(cè)，則ΔL取正值，Δφ>0，UR的相位超前于U。若UR在U的右側(cè)，則ΔL取負(fù)值，Δφ<0，UR的相位落后于U。

2 RLC穩(wěn)態(tài)電路實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)

2.1 基于Multisim電路仿真軟件的RLC串聯(lián)電路搭建

基于Multisim的RLC串聯(lián)仿真電路如圖10所示。電路中電阻、電感和電容參數(shù)分別為500Ω，33mH,0.1μF。

如圖10所示，信號(hào)源可采用工具欄中的函數(shù)信號(hào)發(fā)生器(如XFG2)，測量電壓值可用萬用表(如XMM1)或用泰克示波器(如XSC2)面板中“MEASURE”按鍵功能。

圖10 基于Multisim電路仿真軟件的RLC電路

圖11 相位差的測差方法演示

2．2 RC串聯(lián)電路穩(wěn)態(tài)特性(也可選做RL串聯(lián)電路穩(wěn)態(tài)特性)

(1)觀測RC串聯(lián)電路的幅頻特性

將圖10中電感L短路，測量過程中需經(jīng)常調(diào)節(jié)信號(hào)源幅度，使總電壓有效值U=5.0V保持不變。頻率f取(100、300、600、1k、3k、6k、10k)Hz，測UR及UC。作(UR,UC)～f關(guān)系曲線，并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

(2)觀測RC串聯(lián)電路的相頻特性

總電壓接CH1通道，電阻兩端電壓接CH2通道，頻率f取(100、300、600、1k、3k、6k、10k)Hz。對應(yīng)每個(gè)頻率，用雙蹤示波器測出流過電路的電流與總電壓之間的相位差。

Δφ=φUR-φU=φ2-φ1=(ΔL/L)×2π

(15)

并作Δφ～f相頻特性曲線。計(jì)算時(shí)要注意ΔL的正負(fù)。

波峰位置比較平滑，不易判斷，用波形與接地掃描線的交點(diǎn)來測量更為準(zhǔn)確。

也可按Cursor、類型，選擇“時(shí)間”調(diào)出數(shù)字示波器的光標(biāo)讀出功能，用波形的時(shí)間間隔Δt來計(jì)算相位差Δφ=(Δt/T)×2π。

(3)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

RC串聯(lián)電路的幅頻特性和相頻特性

R=500 Ω C=0.1 μF U=5 V

實(shí)驗(yàn)曲線圖見圖12、圖13(含擬合結(jié)果)。

圖12 RC幅頻特性曲線

圖13 RC相頻特性曲線

3 RLC串聯(lián)電路的相頻特性

(1)測量RLC串聯(lián)電路的諧振頻率

(2) 測量RLC串聯(lián)電路的相頻特性曲線

頻率取(100、200、300、400、500、600、700、800、900、1k、2k、3k、4k、5k、6k、7k、8k、9k、10k)Hz，測出各頻率下UR和U之間的相位差，作Δφ～f相頻特性曲線，并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

(3)RLC串聯(lián)電路的相頻特性數(shù)據(jù)及曲線 其中R=500Ω，L=33mH，C=0.1μF

諧振頻率：f0=2 750Hz

f/Hz1002003004005006007008009001000T/s1.00E-025.00E-033.33E-032.50E-032.00E-031.67E-031.43E-031.25E-031.11E-031.00E-03ΔT/s3.56E-031.27E-038.50E-046.34E-044.18E-043.60E-043.05E-042.58E-042.24E-041.96E-04rad0.7120.5080.510.50720.4180.4320.4270.41280.40320.392f/Hz2000300040005000600070008000900010000T/s5.00E-043.33E-042.50E-042.00E-041.67E-041.43E-041.25E-041.11E-041.00E-04ΔT/s5.62E-05-1.47E-05-3.35E-05-3.29E-05-3.25E-05-2.79E-05-2.68E-05-2.42E-05-2.23E-05Δφ/π rad0.2248-0.0882-0.268-0.329--0.39-0.3906-0.4288-0.4356--0.446

實(shí)驗(yàn)曲線圖見圖14。

圖14 RLC串聯(lián)電路的相頻特性曲線圖

4 結(jié) 語

在疫情期間開出這個(gè)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了RLC穩(wěn)態(tài)電路知識(shí)，也學(xué)會(huì)使用Multisim電路仿真軟件。培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和 解決問題的能力，加深了對RLC串聯(lián)穩(wěn)態(tài)電路實(shí)驗(yàn)的理解。