趙彥凱，裴東興，石壘，張瑜

(1.中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051；2.北京航天控制儀器研究所，北京 100039)

膛壓作為各類兵器研制和驗(yàn)收的一項(xiàng)重要性能參數(shù)，對(duì)其進(jìn)行精確測(cè)量一直是改進(jìn)高膛壓火炮發(fā)射技術(shù)[1]不可或缺的步驟。放入式電子測(cè)壓器作為一種新型的膛壓測(cè)試儀器[2]，它有著銅柱測(cè)壓器[3]可重復(fù)使用、避免在武器身管打孔的特點(diǎn)；又有導(dǎo)線電測(cè)儀器精度高和能記錄p-t曲線的特點(diǎn),是火炮膛壓測(cè)試非常理想的測(cè)試儀器。在膛壓測(cè)試的過程中，需要將放入式電子測(cè)壓器與發(fā)射藥一起放置到炮彈的藥筒內(nèi)，在發(fā)射藥燃燒的高溫、高壓、高沖擊環(huán)境中直接測(cè)量膛壓信號(hào)?？紤]到火炮膛內(nèi)較為惡劣的工作環(huán)境，實(shí)驗(yàn)室條件下的靜態(tài)標(biāo)定設(shè)備無(wú)法滿足儀器的校準(zhǔn)需求，所以設(shè)計(jì)了一種在應(yīng)用環(huán)境下的動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以模擬膛內(nèi)惡劣的工作環(huán)境，是現(xiàn)階段最理想的校準(zhǔn)方法。

在校準(zhǔn)中，需要求取放入式電子測(cè)壓器的靈敏度函數(shù)，即對(duì)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合。這里分別采用普通最小二乘法(LS)和整體最小二乘法(TLS)進(jìn)行線性擬合。最小二乘法經(jīng)歷了長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展和應(yīng)用，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于諸多工程與試驗(yàn)中，該擬合方法能夠使觀測(cè)值與擬合直線的y值之差的平方和最小，是一種非常實(shí)用的線性擬合方法。而整體最小二乘法作為一種新的擬合方法可以同時(shí)考慮到自變量與因變量的誤差[4]，不會(huì)因變量選取不同而產(chǎn)生不同的擬合結(jié)果，所以在滿足一定的使用條件[5]下可以獲得更佳的擬合效果。筆者將結(jié)合放入式電子測(cè)壓器在應(yīng)用環(huán)境下動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)，對(duì)兩種線性擬合方法進(jìn)行比較，并通過實(shí)驗(yàn)與擬合結(jié)果來闡述二者的差異。

1 模擬膛壓校準(zhǔn)系統(tǒng)

1.1 校準(zhǔn)系統(tǒng)的組成及工作原理

模擬膛壓校準(zhǔn)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目的是為了模擬出與火炮身管內(nèi)盡可能相似的工作環(huán)境，用該系統(tǒng)檢測(cè)放入式電子測(cè)壓器的動(dòng)態(tài)特性與綜合性能指標(biāo)，整個(gè)校準(zhǔn)系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，3支已被校準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)壓力傳感器安裝在整個(gè)裝置的底端[6]，與被校測(cè)壓器相對(duì)放置。在校準(zhǔn)時(shí)，根據(jù)不同的需求，往發(fā)生器中加入特定量的火藥，并使用點(diǎn)火裝置點(diǎn)燃發(fā)生器中的火藥，在這個(gè)類似火炮發(fā)射的過程中，身管內(nèi)產(chǎn)生的高壓通過傳壓孔同時(shí)施加在3支標(biāo)準(zhǔn)壓力傳感器和被校測(cè)壓器上，再由特定的計(jì)算機(jī)讀出存儲(chǔ)在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中的壓力信號(hào)。最后將計(jì)算機(jī)中的3組標(biāo)準(zhǔn)測(cè)壓器數(shù)據(jù)與被校測(cè)壓器數(shù)據(jù)分別進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

1.2 校準(zhǔn)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理

校準(zhǔn)過程采用膛壓曲線上升沿的校準(zhǔn)方法。選取測(cè)壓器滿量程的95%～100%的壓力值作為校準(zhǔn)壓力峰值，分別在高溫(55℃)、常溫(25℃)、低溫(-40℃)的環(huán)境下反復(fù)進(jìn)行多次校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)，獲取3種不同溫度環(huán)境下的有效校準(zhǔn)數(shù)據(jù)。以3支標(biāo)準(zhǔn)壓力傳感器的融合壓力曲線[7]為基準(zhǔn)，將標(biāo)準(zhǔn)測(cè)壓系統(tǒng)的融合壓力曲線與被校測(cè)壓器壓力曲線畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系下，逐點(diǎn)平移被校測(cè)壓器曲線，當(dāng)二者相關(guān)性系數(shù)滿足要求后停止平移；并選取壓力曲線上升沿部分的30%～80%，在這特定的范圍內(nèi)抽取n組數(shù)據(jù)對(duì)作為擬合樣本，用整體最小二乘法對(duì)n組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，擬合結(jié)果為測(cè)壓器在該溫度條件下的工作特性方程:

y=kx+b,

(1)

式中:y為壓力值，MPa；k是測(cè)壓器靈敏度系數(shù)，MPa/bit；x為某點(diǎn)的bit值；b為截距，MPa.

2 兩種線性擬合方法的對(duì)比

2.1 普通最小二乘法線性擬合

直線方程可表示為

yi=kxi+b,i=1,2,…,n,

(2)

式中：(xi，yi)為觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)；k、b為待估計(jì)參數(shù)。

誤差方程矩陣表達(dá)式為

BδX=l+V,

(3)

式中：δX為待估參數(shù)矩陣；B為δX系數(shù)矩陣；l為觀測(cè)向量；V為誤差向量。按照最小二乘法的準(zhǔn)則

其最小二乘解為

(4)

因變量殘差為

(5)

單位權(quán)中誤差為

(6)

2.2 整體最小二乘法線性擬合

2.2.1 整體最小二乘法解算方法

整體最小二乘擬合法能同時(shí)考慮到兩種變量的誤差,直線條件方程可描述為

(7)

由EIV模型，誤差方程可表示為

(B+EB)δX=l+El,

(8)

式中：δX為待估參數(shù)矩陣；EB和El分別表示新構(gòu)造的系數(shù)矩陣B和觀測(cè)向量l的誤差。令

B=[B1B2]，

(9)

式中：B1=[1,1,…,1]T;B2=[x1,x2,…,xn]T.

構(gòu)造增廣矩陣：

A=[Bl]，

(10)

并對(duì)增廣矩陣A進(jìn)行QR分解，其中

(11)

可將方程分為兩部分：

(12)

(13)

式中,R11，R12，R1l均為標(biāo)量。

AR=[R22R2l].

(14)

對(duì)AR矩陣進(jìn)行奇異值分解：

AR=UΣNT，

(15)

式中：U=[U1U2…Un-1]，其中U1,U2,…,Un-1均為(n-1)×1矩陣；N=[N1N2]，N1、N2均為2×1矩陣;Σ=diag(σ1,σ2),σ1>σ2.

(16)

(17)

2.2.2 整體最小二乘法擬合精度評(píng)定

最小二乘法與整體最小二乘法數(shù)據(jù)擬合的幾何特性差異如圖2所示，在誤差方程(B+EB)δX=l+El中，EB是數(shù)字量的改正數(shù)，El是壓力值的改正數(shù)。整體最小二乘法在坐標(biāo)系x和y方向上的改正數(shù)為vxi、vyi，正交方向上的改正數(shù)為vsi[8].這里用正交方向的改正量來計(jì)算擬合結(jié)果的單位權(quán)中誤差。

增廣矩陣AR的改正量為

(18)

R的改正量為

(19)

由此可計(jì)算系數(shù)矩陣B和觀測(cè)向量l的改正數(shù)，

[EBEl]=[EB1EB2El]=QTER.

(20)

則x方向，y方向的殘差為

(21)

正交距離殘差為

(22)

單位權(quán)中誤差為

(23)

在自變量與因變量的誤差影響都無(wú)法忽略時(shí)，整體最小二乘擬合法的數(shù)學(xué)模型可以同時(shí)顧及坐標(biāo)系中x方向和y方向上的誤差，而且從x方向或y方向的改正量和正交距離殘差的改正數(shù)來看，都要比最小二乘法的殘差改正數(shù)小，所以單位權(quán)中誤差的計(jì)算值要優(yōu)于最小二乘法的計(jì)算值[9]。

3 校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)分析與擬合結(jié)果對(duì)比

選取常溫下1#被校電子測(cè)壓器環(huán)境適應(yīng)性校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別采用最小二乘法、整體最小二乘法進(jìn)行線性擬合，主要從誤差模型、單位權(quán)中誤差等幾個(gè)方面對(duì)各自的擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比[10]，擬合結(jié)果為1#被校測(cè)壓器在常溫狀態(tài)下的靈敏度函數(shù)(工作特性方程[11])。校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)具體測(cè)量數(shù)據(jù)如表1所示，Matlab計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表1 1#電子測(cè)壓器系統(tǒng)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)

表2 1#電子測(cè)壓器擬合結(jié)果對(duì)比

由表2中單位權(quán)中誤差的計(jì)算結(jié)果可知，整體最小二乘法比普通最小二乘法有著更佳的擬合效果，這是因?yàn)閿M合時(shí)同時(shí)考慮了自變量與因變量的誤差。但是在傳感器的校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)中，校準(zhǔn)是將標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)所復(fù)現(xiàn)的壓力標(biāo)準(zhǔn)量值賦予被校準(zhǔn)的電子測(cè)壓器相應(yīng)的示值，其中示值是自變量(x軸)，壓力標(biāo)準(zhǔn)量值是因變量(y軸)，并且自變量與因變量有著固定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在該情況下，因變量的誤差是可以忽略的，也就是說擬合的真值為校準(zhǔn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的因變量(壓力標(biāo)準(zhǔn)量值)。所以在擬合直線時(shí)應(yīng)確保真值與擬合直線的y值之差的平方和最小。而擬合直線上的y值與真值之間差值的平方和，才應(yīng)該用作計(jì)算整體最小二乘法的單位權(quán)中誤差。

表2中整體最小二乘法的單位權(quán)中誤差為8.140 54，是將壓力標(biāo)準(zhǔn)值作為參考值的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)把壓力標(biāo)準(zhǔn)值作為真值時(shí)，其單位權(quán)中誤差為8.237 10.以此類推，對(duì)多組放入式電子測(cè)壓器校準(zhǔn)數(shù)據(jù)用普通最小二乘法和整體最小二乘法進(jìn)行線性擬合，并同時(shí)計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)值為真值時(shí)TLS的單位權(quán)中誤差，進(jìn)行綜合比較，匯總結(jié)果如表3所示。

表3 普通最小二乘法(LS)與整體最小二乘法(TLS)擬合對(duì)比匯總表

由表3的匯總結(jié)果可知，在傳感器的校準(zhǔn)工作中，當(dāng)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)能夠給出所校物理參量的真值時(shí)，普通最小二乘法單位權(quán)中誤差的計(jì)算值要小于整體最小二乘法單位權(quán)中誤差的計(jì)算值。這是因?yàn)閺乃惴ㄉ蟻砜?，普通最小二乘法的真值在因變量上，而整體最小二乘法的真值在其擬合直線上。由于普通最小二乘法可以實(shí)現(xiàn)在一個(gè)方向的擬合效果最佳，所以對(duì)于放入式電子測(cè)壓器的校準(zhǔn)工作還是最為適用的。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者結(jié)合放入式電子測(cè)壓器在應(yīng)用環(huán)境下的校準(zhǔn)工作分別對(duì)普通最小二乘法(LS)和整體最小二乘法(TLS)的線性擬合效果進(jìn)行了對(duì)比，并同時(shí)對(duì)傳感器校準(zhǔn)工作的特殊性進(jìn)行了分析。需要注意的是，由于放入式電子測(cè)壓器校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)本身的特殊性，在該過程中使用普通最小二乘法(LS)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合更加合理。只有在無(wú)法忽略自變量和因變量誤差的前提下，采用整體最小二乘法(TLS)進(jìn)行直線擬合有望獲得更好的擬合效果。