李 超 陳德輝 李興良 胡江林

國家氣象中心，北京，100081

1 引 言

地形對大氣運動具有重要的動力和熱力作用。為了提高預(yù)報準確率，數(shù)值預(yù)報模式需要正確地描述地形對天氣系統(tǒng)的影響。模式的垂直坐標與地形直接相關(guān)：恰當?shù)拇怪弊鴺丝梢允箯?fù)雜的控制方程組轉(zhuǎn)化為較簡單的形式，下邊界條件簡單易給，便于使用精度和效率較高的計算技術(shù)，有效地減 小 氣壓梯 度 力 （Pressure Gradient Force，簡稱PGF）以及其他與模式面水平差分計算有關(guān)項的計算誤差，從而正確描述模式中地形對大氣的作用。

為了提高數(shù)值預(yù)報模式的模擬與預(yù)報能力，提高模式水平分辨率是非常必要的。然而，隨著數(shù)值預(yù)報模式水平分辨率的不斷提高，模式地形越來越精細，模式能分辨的地形越來越陡峭，垂直坐標面的坡度越來越大。采用傳統(tǒng)的地形追隨垂直坐標（Gal-Chen，et al，1975；以下簡寫為 Gal.C.S 坐標）引起的氣壓梯度力計算誤差會相應(yīng)增大，模擬的地形重力波形狀也被嚴重扭曲（Sch?r，et al，2002），對高分辨率數(shù)值模擬帶來不利影響。

中國氣象局自主研發(fā)的GRAPES模式目前采用傳統(tǒng)的高度地形追隨坐標其中，Zs表 示地形高度，z表示坐標面絕對高度，z?表示坐標面相對高度，ZT為模式層頂高度。這種坐標形式可以使模式計算在一個“矩形”的有界域里進行，便于計算機編程自動計算；可以使實際大氣中不規(guī)則的下邊界變成光滑的、隨地形起伏的模式下邊界面，易于給定模式的下邊界條件，也更易于描述氣流隨地形起伏的運動。地形追隨坐標使得模式光滑的下邊界面成為地表（陸面、海面）邊界層的上邊界面，便于模式動力、熱力過程和地表邊界層過程參數(shù)化方案的耦合（Phillips，1957），地形的動力和熱力作用可以更準確地傳遞給上層大氣。但是，Gal.C.S坐標的問題也很突出。地形追隨坐標是非嚴格意義上的正交坐標（Zdunkowski，et al，2003），是由非地形追隨坐標向地形追隨坐標轉(zhuǎn)化時，氣壓梯度力計算由一項變成了量級相當?shù)膬身椀牟?，帶來不可避免的氣壓梯度力項計算誤差。地形追隨坐標的坐標面隨地形起伏，低層“隆起”的坐標面會一直伸展至模式層頂部。雖然坐標面的坡度隨高度升高會有所降低，模式大氣沿高層起伏模式面的運動與實際大氣高層的準水平運動仍存在很大的偏差。隨著GRAPES模式分辨率的提高，Gal.C.S坐標可識別的地形坡度增大，地形重力波會被嚴重歪曲，出現(xiàn)波動扭曲、破碎的現(xiàn)象。

Sch?r等（2002）提出平緩坐標（smoothed-level coordinate，簡稱SLEVE坐標）的概念，在不改變高度地形追隨坐標定義的前提下，對坐標形式做變形，通過隨高度變化的地形衰減系數(shù)控制各個模式面上的地形影響作用的大小，并設(shè)計試驗比較了單尺度SLEVE1坐標和雙尺度SLEVE2坐標，發(fā)現(xiàn)兩種坐標有效地減小了地形引起的各種模擬偏差，SLEVE2坐標對緩解小尺度的模擬噪音效果更佳。李超等（2012a）選取不同的地形衰減函數(shù)，進行了一系列理論分析和理想試驗，試驗結(jié)果展示了平緩-混合坐標在減小氣壓梯度力計算誤差、平流耗散等方面的模擬優(yōu)勢。李超等（2012b）基于GRAPES模式選取Gal.C.S坐標和平緩-混合SLEVE1坐標進行了初步的模式設(shè)計并進行了簡單的個例模擬檢驗分析，SLEVE1坐標對預(yù)報量的小尺度噪音有所衰減，各個預(yù)報量的檢驗誤差也有所減小。Li等（2015）基于 GRAPES模式選取 Gal.C.S坐標、SLEVE1坐標、SLEVE2坐標和一種以余弦函數(shù)為衰減基函數(shù)的COS坐標進行了理想試驗和實際批量模擬試驗。各種形式平緩-混合坐標相比較發(fā)現(xiàn)，SLEVE2坐標對計算誤差衰減最大，較好地提高了預(yù)報能力。張旭等（2015）將 Klemp（2011）提出的一種隨高度逐層平滑地形作用的平緩-混合坐標形式（下文簡稱Klemp坐標）應(yīng)用于GRAPES區(qū)域模式，通過理想試驗和簡單個例模擬試驗對這種坐標的優(yōu)勢進行了初步的探討。李超等（2019）設(shè)計了一種新的COS坐標，有效解決了Li等（2015）中COS坐標理想試驗結(jié)果最優(yōu)而實際模擬結(jié)果較差的問題，新的COS坐標在底層設(shè)計也更加靈活。李超等（2020）比較了幾種平緩-混合地形追隨坐標對典型個例模擬的影響，發(fā)現(xiàn)平緩-混合坐標可以有效緩解GRAPES模式南風偏大、虛假降水和虛假天氣系統(tǒng)等問題。

隨著GRAPES模式分辨率進一步提高，GRAPES-3km模式中地形可識別的最大高度接近7 km，而上述基于 GRAPES-10km和 GRAPES-15km的模式研究工作最大識別地形均在6 km以下，更高分辨率下的平滑-混合坐標模擬試驗還需要進行重新設(shè)計并檢驗結(jié)果。另外，張旭等（2015）對Klemp（2011）坐標的研究工作顯示，在較低分辨率的GRAPES模式中，該坐標的個例模擬試驗有較好的預(yù)報改進效果，而在分辨率較高的GRAPES-3km模式中，該坐標的批量預(yù)報試驗效果還需要進一步的研究。本研究選取前期研究效果較好的SLEVE1坐標與Klemp坐標基于GRAPES-3km模式進行一系列的比較研究工作，為高分辨率GRAPES模式動力框架垂直坐標的選擇提供一定的參考。

2 坐標介紹

李超等（2012a）給出通用坐標形式

式中，L為地形尺度譜的數(shù)目，為地形臨界衰減高度，bh?i為地形衰減系數(shù)，ZSi為地形高度，z為坐標面絕對高度，為坐標面相對高度。

對于GRAPES-3km模式目前采用的Gal.C.S坐標有對于單尺度平緩SLEVE1坐標有地形作用在高度上衰減為地形的1 / e。

Klemp （2011）提出在 COS坐標（李超等，2012a）基礎(chǔ)上，對地形進行逐層平滑，得到坐標形式（簡稱Klemp坐標）。

式中，

式中，Zc為 地形作用衰減為0的高度，ZSk為每層坐標面上地形作用的高度。Klemp坐標的地形濾波方案滿足圖1所列出的計算流程，其中m是每一層的平滑濾波次數(shù)，k是垂直層數(shù)。每一層都以上一層經(jīng)過m次濾波得到的地形為基礎(chǔ)進行濾波。濾波采用拉普拉斯的二階濾波方法

圖1 Klemp 坐標地形逐層濾波方案Fig.1 The terrain filter scheme of Klemp coordinate

式中，i和j為水平格點數(shù)。濾波系數(shù) βk是一個分段系數(shù)：表示坐標面高度，在2倍的地形高度以下濾波系數(shù)隨高度升高線性增大，2倍的地形高度以上則為常數(shù)。

Klemp坐標與其他平緩-混合地形追隨坐標差別在于地形補償項中的ZSk是一個三維變量。需要注意的是，并不是把地形變成了三維變量，而是坐標面上的地形作用隨高度是變化的。

高分辨率模式中可識別的地形更加精細。例如，GRAPES-15km模式可識別的地形最大高度是5800 m左右，而GRAPES-3km模式可識別的最大高度達到6800 m（圖2）。3 km分辨率模式垂直分為51層，比15 km模式的31分層更細，如果使用GRAPES-15km模式中平緩-混合坐標的地形臨界衰減高度（Li，et al，2015），GRAPES-3km 模式中地形較高點上空的模式面厚度就會過薄，導(dǎo)致計算不穩(wěn)定。GRAPES-3km模式中平緩-混合坐標的設(shè)計應(yīng)用面臨新的問題，Klemp坐標對坐標面的進一步平滑會使這種計算不穩(wěn)定更容易出現(xiàn)。下面的實際模擬試驗對坐標的參數(shù)設(shè)計做了試驗分析。

3 基于 Klemp 坐標的動力框架方程推導(dǎo)

高度地形追隨坐標中地形作用對模式動力框架的影響主要體現(xiàn)在氣壓梯度力、垂直速度、散度等物理量的計算上。下面就基于Klemp坐標對垂直速度、散度等物理量做進一步推導(dǎo)。

圖2 地形高度分布 （a.GRAPES-15km 模式，b.GRAPES-3km 模式；單位：m）Fig.2 Distribution of terrain height （a.GRAPES-15km model，b.GRAPES-3km model；unit：m）

（1）垂直速度

則：

又，

式中，z=Zs和z=ZT時 ，w?Sk=0。

得出：

式中，

又，

（2）水平氣壓梯度力

式中， φSk(x,y,z)=gZSk(x,y,z)為坐標面的位勢高度。

（3）球面坐標下的水平散度

對于三維散度中的垂直速度的垂直變化，有：整理得

式中，

則

于是，三維散度（D3）可表示為

綜合上述公式推導(dǎo)可以看出，與Li等（2015）中動力框架方程推導(dǎo)相比，基于Klemp坐標的模式動力框架中地形以及地形偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)的項有所改變，動力框架中涉及到垂直速度、散度等的線性項、非線性項以及亥姆赫茲方程中相關(guān)的系數(shù)也要做相應(yīng)的改變（薛紀善等，2008），這里不再做詳細介紹。

4 理想試驗和實際試驗

下面選擇GRAPES-3km模式目前采用的Gal.C.S坐標、前期研究模擬結(jié)果較好的SLEVE1坐標以及改進的Klemp坐標進行一系列模擬試驗，對比分析改進的Klemp坐標在GRAPES-3km模式中的模擬性能。

4.1 地形重力波理想試驗

低層大氣中不同尺度的山脈會激發(fā)出形狀尺度不同、傳播方向各異的重力波。山脈重力波在大氣底層的結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，這也是引發(fā)天氣狀況的重要原因。下面是層結(jié)穩(wěn)定的干空氣穿過二維地形激發(fā)出山脈重力波的理想試驗。上游大氣廓線設(shè)置為：布朗特數(shù)N= 0.01，x方向水平速度U=10 m/s，上游地表面參考位溫為280 K。

鐘形地形疊加上小尺度的波動形成理想地形，其函數(shù)形式滿足

試驗計算區(qū)域設(shè)置為：（?25000，25000）m×（0，21000）m，Δx=250m， Δ ξ =210m，下邊界為無通量的邊界條件，上邊界為9 km的吸收邊界，側(cè)邊界為開放邊界。無物理過程和擴散的條件下積分10 h，比較各種坐標的垂直風速的分布。

從積分模擬結(jié)果（圖3）可見，平緩坐標可以有效緩解地形追隨坐標帶來的重力波變形破碎的問題。Klemp坐標模擬的重力波（圖3d）形狀更接近解析解（圖3a），重力波變形的情況在中高層基本消失。

4.2 月連續(xù)試驗

理論分析和理想試驗中改進的Klemp坐標可以有效減小坐標面地形影響，模擬出更接近解析值的重力波，而在實際應(yīng)用中地形更加復(fù)雜，物理和動力耦合起來后，坐標參數(shù)設(shè)置考慮的因素也更加復(fù)雜。下面選用GRAPES-3km模式對2018年9月1—30日進行24 h滾動預(yù)報，檢驗Klemp坐標在長期的批量預(yù)報試驗中的改進效果。該試驗水平分辨率為0.03°×0.03°，垂直方向分為51層；積分時間步長為30 s；試驗初始場和邊界場由分辨率為1°×1°的NCEP再分析資料提供，不做資料同化；模擬范圍為（10°—60°N，70°—145°E），選用一維大氣參考廓線。微物理過程采用WMS6方案，長波輻射過程采用RRTM方案，短波積云輻射過程采用SWRAD方案，地表層物理方案采用SFC方案，陸面過程采用NOAH方案，邊界層參數(shù)化采用NMRF方案，無積云參數(shù)化方案。

GRAPES-3km模式可識別的地形最大高度接近7 km，較小的臨界衰減高度（h?）易造成計算不穩(wěn)定，所以 SLEVE1坐標h?取值 15 km，這相對于GRAPES_15km中SLEVE1坐標h?有所增大（Li，et al，2015）。改進的 Klemp 坐標相對于 Klemp（2011）以及張旭等（2015）的參數(shù)設(shè)計也有所不同。考慮到3 km模式可識別的地形坡度較大、中國區(qū)域東西地形高度跨度較大、同一經(jīng)緯度坐標面之間厚度差異較大也會帶來計算誤差，實際試驗中改進的Klemp坐標各層平滑系數(shù)取每層平滑14次，衰減系數(shù)（bh?）中zc取值30 km，參數(shù)n取 值3，z0暫時取值為0?？梢钥闯鲞@里平滑系數(shù)較 Klemp（2011）以及張旭等（2015）有所提高，平滑次數(shù)有所減少，衰減參數(shù)相對李超等（2019）也有所改變。參數(shù)的設(shè)計目前還未找到定量的標準，在最大化減小坐標面上地形影響作用的前提下，經(jīng)過多種嘗試獲得1組能夠較好體現(xiàn)預(yù)報效果的參數(shù)。在上述的參數(shù)設(shè)置下，3種坐標的坐標面分布如圖4所示。Klemp坐標在SLEVE1坐標的基礎(chǔ)上對坐標面上的小尺度地形進一步衰減，由此帶來的氣壓梯度力計算誤差和平流輸送誤差也會進一步減?。ɡ畛龋?012a）。

圖3 穩(wěn)定氣流過山積分10 h三種坐標的垂直速度分布與解析值比較（a.解析值，b.Gal.C.S 坐標，c.SLEVE1 坐標，d.Klemp 坐標；等值線間隔為 0.05 m/s；時間步長為 0.3 s；橫坐標是偏離中心位置的距離，縱坐標是距離地面的高度）Fig.3 Cross-section of vertical velocity after 10 hours of integration for steady-state flow over belle-shaped mountain（a.analytic solution，b.with Gal.C.S，c.with SLEVE1，d.with Klemp；the contour interval is 0.05 m/s；the abscissa denotes the distance away from the domain center，the coordinate denotes the vertical level height above the ground surface）

批量試驗結(jié)果顯示，與FNL再分析資料相比，SLEVE1和Klemp坐標的高層溫度場24 h預(yù)報平均偏差有較明顯減小。100和250 hPa溫度場偏差（圖5）相比GRAPES-3km模式中目前的Gal.C.S坐標在青藏高原和蒙古國上空有兩個較集中的減小區(qū)域。沿28°N剖面的V風場平均偏差（圖6）顯示平緩坐標在高層的偏差有較明顯的減小，特別是平滑地形的Klemp坐標在100 hPa以上幾個偏差大值中心均消失。為分區(qū)域檢驗降水預(yù)報結(jié)果，將中國劃分為8個區(qū)域（圖7）分別檢驗24 h降水累加ETS評分（圖8），結(jié)果顯示：從中國區(qū)域來看，Klemp坐標對中雨、大雨、暴雨的評分較Gal C.S坐標有一定程度提高，也整體優(yōu)于SLEVE1坐標。對受青藏高原大地形影響較明顯的長江中下游、華南、西南東部地區(qū)，Klemp坐標小雨評分較高，可能與其對小尺度地形的平滑作用有關(guān)。其他降水量級的評分沒有特別顯著的規(guī)律。但是在西南東部地區(qū)，平緩混合坐標的評分幾乎全部優(yōu)于Gal.C.S坐標，特別是Klemp坐標的降水評分有較大程度地提高。這也說明平緩混合坐標帶來的計算誤差對西南東部地區(qū)即青藏高原下游的云貴高原和四川盆地等地的降水有較大影響。

圖4 GRAPES-3km 模式中 3 種坐標沿 28°N 的模式面分布 （a.Gal.C.S 坐標，b.SLEVE1 坐標，c.Klemp 坐標）Fig.4 Coordinate surfaces of the GRAPES-3km model along 28°N （a.for Gal.C.S，b.for SLEVE1，c.for Klemp）

圖5 3 種坐標 （a.Gal.C.S 坐標，b.SLEVE1 坐標，c.Klemp 坐標） 批量試驗 24 h 預(yù)報100 hPa （a1—c1） 和 250 hPa （a2—c2） 溫度平均偏差場 （單位：K）Fig.5 Monthly averaged 24 h forecast bias of temperature at 100 hPa （a1—c1） and 250 hPa （a2—c2） against analysis with （a） the Gal.C.S，（b） the SLEVE1 and （c） the Klemp coordinate （unit：K）

圖6 3 種坐標 （a.Gal.C.S 坐標，b.SLEVE1 坐標，c.Klemp 坐標） 批量試驗 24 h 預(yù)報沿 28°N 剖面 V 風速的平均偏差場 （單位：m/s）Fig.6 Longitude-height cross sections along 28°N of monthly averaged 24 h forecast bias of V wind against analysis with（a） the Gal.C.S，（b） the SLEVE1 and （c） the Klemp coordinate （unit：m/s）

圖7 降水評分中國區(qū)域劃分 （1.東北地區(qū)，2.新疆地區(qū)，3.西北地區(qū)，4.華北地區(qū)，5.西藏地區(qū)，6.西南地區(qū)東部，7.長江中下游地區(qū)，8.華南區(qū)）Fig.7 Subregions in China for precipitation ETS score（1.Northeast China，2.Xinjiang region，3.Northwest China，4.North China，5.Tibet region，6.Southwest China，7.the middle-lower reaches of Yangtze River，8.South China）

圖8 2018 年 9 月 1—30 日 24 h 降水預(yù)報累加檢驗平均 ETS 評分（a.中國區(qū)域，b.長江中下游區(qū)域，c.華南區(qū)域，d.西南東部區(qū)域）Fig.8 Precipitation ETS scores for 24 h forecast（a.entire China，b.the middle-lower reaches of Yangtze River，c.South China，d.Southwest China）

5 結(jié) 論

平緩地形追隨坐標可以通過調(diào)整地形衰減系數(shù)來約束坐標面上的地形作用，在這個基礎(chǔ)上進一步對逐層坐標面進行平滑又可以將小尺度的地形影響剔除，得到更加平滑的坐標面，進一步減小各種計算誤差。

文中將逐層平滑地形的平緩地形追隨坐標應(yīng)用到高分辨率的GRAPES-3km模式中進行理想試驗和批量模擬試驗，得到如下的初步結(jié)論：

（1）相對于其他平緩地形追隨坐標，逐層平滑地形的平緩地形追隨坐標地形重力波模擬更接近解析值，波形變形和破碎問題進一步緩解。

（2）月連續(xù)模擬試驗中逐層平滑地形的平緩地形追隨坐標對高層月平均的溫度場、風場模擬誤差有一定程度減小，中國范圍內(nèi)月平均的降水評分也有所提高，西南地區(qū)東部的評分提高更加明顯。

（3）無論是普通的平緩地形追隨坐標還是平滑地形的平緩地形追隨坐標，參數(shù)的設(shè)置都至關(guān)重要。高分辨率的GRAPES-3km模式對中國范圍的模擬對坐標參數(shù)的設(shè)置更加敏感。保證計算穩(wěn)定、追求坐標面平滑、得到較好的模擬結(jié)果三者同時達到需要對參數(shù)反復(fù)試驗調(diào)整。

平滑地形的平緩地形追隨坐標是目前國際上最先進的平緩地形追隨坐標形式，也在高分辨率的GRAPES模式中得到了較好的應(yīng)用結(jié)果。該坐標對模式分辨率、模式分層等有較高的依賴，所以在對業(yè)務(wù)模式進行改進升級時，也需要同步地調(diào)整該坐標的參數(shù)設(shè)置。