“隱零點(diǎn)”問題三探

浙江省紹興稽山中學(xué) (312000) 韓 琦

1.一探基本思路

例1 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+2),證明f(x)> 0.

從上可以看出，處理“隱零點(diǎn)”問題思路是：

(1)用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程f′(x0)=0，并結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍；

(2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)，進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式；

(3)將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體帶入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明.

2.二探深化思想

分析：對(duì)含參的函數(shù)f(x,a),(a為參數(shù))“隱零點(diǎn)”問題, 同基本思路，不妨設(shè)方程f′(x,a)=0的根為x0,但要注意確定這個(gè)x0的合適范圍,這個(gè)也往往和a的范圍有關(guān).事實(shí)上，把“隱零點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化為“顯零點(diǎn)”問題也是很好的方法.

3.三探變異思維

例3 (2013全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ-21-2)已知f(x)=ex-ln(x+m).(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)> 0.

解：(1)略；(2)當(dāng)m≤2時(shí)，x∈(-m,+∞) ，ln(x+m)≤ln(x+2)，從而ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)，故只需證明h(x)=ex-ln(x+2)>0 即可.

參照例1解答過程，即可得證.

評(píng)注：本例就是把問題通過放縮等數(shù)學(xué)方法演變成“隱零點(diǎn)”問題，然后求解.

評(píng)注：本題的難點(diǎn)在于找到零點(diǎn)x0與a的聯(lián)系.利用解決“隱零點(diǎn)”問題的思路,可以較好地把問題化難為易,化繁為簡(jiǎn).