基于馬爾科夫鏈模型的小金川河流域徑流形勢預估分析

陳仕軍，王 亮，陳 剛，韓曉言

(1.四川大學水利水電學院，四川 成都 610065；2.國網(wǎng)四川省電力公司電力科學研究院，四川 成都 610041；3.國網(wǎng)四川省電力公司，四川 成都 610041)

0 引 言

徑流預估一直是水文水資源利用研究領域的難點，準確可靠的徑流預測是水資源規(guī)劃調(diào)配、防洪減災、防澇抗旱等重大決策的數(shù)據(jù)基礎[1]。因此，研究一種精度較高且適用性強的徑流形勢預估方法具有重要的理論意義和實際意義。目前中長期徑流預測的方法較多，傳統(tǒng)的統(tǒng)計模型包括時間序列分析模型[2]、小波分析模型[3]、多元線性回歸模型[4]等。由于大數(shù)據(jù)挖掘、人工智能的興起，一些新的機器學習方法在徑流預測中得到廣泛的應用，主要包括人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型[5-7]、支持向量機模型[8-10]、最近鄰抽樣回歸模型[11-12]等。然而，這些方法對于研究區(qū)域的歷史資料系列長度要求較高，在實際應用中往往受制于資料系列問題難以推廣應用，因此希望通過運用水文領域經(jīng)典的馬爾科夫鏈模型對小金川河徑流形勢預估分析提供一種切實可行的思路和方法。

1 馬爾科夫鏈模型基本原理

馬爾科夫過程[13]的主要思路：當過程在時刻t0所處的狀態(tài)為已知時，過程在t(>t0)所處的狀態(tài)與過程t0時刻之前的狀態(tài)無關，這種特性稱為無后效性。用分布函數(shù)描述就是：如果對時間t的任意n個數(shù)值t1

F(xn；tn|xn-1，xn-2，…，x1；tn-1，tn-2，…，t1)

=F(xn；tn|xn-1；tn-1

(1)

式中，n=3，4，…，則稱X(t)為馬爾科夫過程或簡稱馬氏過程。式(1)右端的條件分布函數(shù)為F(x；tn|x′；t′)=P(X(t)≤x|X(t′)=x′)，t>t′，稱為馬氏過程的轉(zhuǎn)移概率。

式(1)等價于

f(xn；tn|xn-1，xn-2，…，t1)

=f(xn；tn|xn-1；tn-1)

(2)

式中，n=3，4，…。并由此證明X(t)的n維概率密度為

fn(x1，x2，…xn；t1，t2，…tn)

(3)

式中，n=1，2，…。當取t1為初始時刻，f(x1；t1)為初始分布(密度)。式(3)表明馬氏過程的統(tǒng)計特性由它的初始分布和轉(zhuǎn)移概率所確定。

最簡單的馬氏過程是馬氏鏈，即狀態(tài)和時間參數(shù)都是離散的馬氏過程。把狀態(tài)轉(zhuǎn)移時刻記為t1，t2，…，tn，在tn時刻發(fā)生的轉(zhuǎn)移稱為第n次轉(zhuǎn)移；并假設在每一個時刻tn(n=1，2，…)，Xn=X(tn)所可能取的狀態(tài)(即可能值)為a1，a2，…，aN。這時，相應于式(1)有

(4)

如果進一步假設“在Xn-1=ai的條件下，第n次轉(zhuǎn)移出現(xiàn)aj，即Xn=aj成立”的概率與n無關，那么可以把這個概率記為pij，即

(5)

由轉(zhuǎn)移概率pij構(gòu)成的矩陣，即

(6)

稱其為馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣。該矩陣決定了X1，X2，…狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程的概率法則。

2 徑流形勢預估實例研究

2.1 研究區(qū)域概況

小金川河是大渡河的一級支流，流域面積5275 km2，北源為撫邊河，在猛固橋處與東源沃日河匯合后，始稱小金川河。猛固橋往下，河谷逐漸拓寬，水流趨緩，水量增大。兩岸集鎮(zhèn)、耕地、人口增多。小金川河總長60.8 km，落差472.6 m，平均比降7.8‰，流經(jīng)小金縣、丹巴縣。

小金川流域共規(guī)劃了13級電站。支流撫邊河上有5級，分別為焦家、美臥、木坡、楊家灣、猛固橋水電站，其中美臥為龍頭水庫；支流沃日河上有4級，分別為日爾、中馬廠、官寨、春廠壩水電站；小金川干流上有4級，分別為馬桑寨、小金、三叉、太平水電站。結(jié)合小金川河流域水電站建設和地理位置情況，選取木坡水電站進行徑流形勢預估分析的實例研究。

2.2 流域徑流特性分析

小金川流域徑流在年內(nèi)的變化與降雨基本相應。每年4月起徑流隨降水的增加而逐漸增加，6、7兩月水量最充沛，9月次之，11月以后由于降水量的降低，徑流開始以地下水補充為主，穩(wěn)定退水至次年3月。徑流年內(nèi)分配極不均勻，主要集中于汛期。

木坡水電站豐水期(5月至10月)流量約占年徑流量的85.0%，多年平均流量為60.2 m3/s，其中最豐的6、7兩個月多年平均流量為84.3 m3/s，約占年徑流量的39.4%?？菟?11月至第2年4月)流量約占年徑流量的15.0%，多年平均流量為10.9 m3/s，最枯段(1月至3月)多年平均流量為7.62 m3/s，約占年徑流量的5.3%，最枯的2月份，多年平均流量為7.18 m3/s。年最大流量出現(xiàn)在5月下旬至7月，實測最大流量261 m3/s(1964年6月30日)。年最小流量一般出現(xiàn)在2、3月，最小月平均流量5.82 m3/s(1968年2月)。

木坡水電站多年平均流量及其年內(nèi)分配如表1所示。徑流年際間變化不大。木坡水電站最大年平均流量為48.2 m3/s(1965年)，最小年平均流量為29.8 m3/s(1967年)，分別為多年平均流量的1.35倍和0.83倍，最大與最小之比是1.62。

表1 木坡水電站月平均流量統(tǒng)計

2.3 徑流形勢預估及結(jié)果分析

根據(jù)馬爾科夫鏈原理，對小金川流域徑流形勢進行預估的具體步驟如下：

1)排頻分析：對歷史資料中木坡水電站1959—2016年的年平均流量按照從大到小的順序進行排列，并計算對應的頻率，確定木坡水電站年平均流量的頻率曲線。

2)豐平枯水電劃分：在木坡水電站年平均流量的頻率曲線，以頻率30%及70%為界(木坡水電站Q70%=30.5 m3/s，Q30%=36.8 m3/s)，將長系列徑流過程劃分成3種情況，確定每年的徑流豐枯情況。其中，Q>Q30%為豐水年，Q

3)流量豐枯變化統(tǒng)計：按照年份從小到大的順序，分別統(tǒng)計上一年為豐水年且下一年為豐水年、平水年、枯水年的年數(shù)，上一年為平水年且下一年為豐水年、平水年、枯水年的年數(shù)，上一年為枯水年且下一年為豐水年、平水年、枯水年的年數(shù)。

4)豐枯轉(zhuǎn)換概率計算：計算出木坡水電站歷史徑流系列中豐水年、平水年、枯水年相互轉(zhuǎn)變的馬爾科夫一步轉(zhuǎn)移概率，如表2所示。

5)根據(jù)表2中的木坡水電站年平均流量轉(zhuǎn)移概率表，可以結(jié)合當年來水豐枯情況，對木坡水電站下一年來水豐枯形勢進行預估。

以2018年木坡水電站的豐枯形勢預估為例，2017年木坡水電站的平均流量為37.91 m3/s，屬豐水年，根據(jù)木坡站年平均流量轉(zhuǎn)移概率表，2018年為平水年的概率最大，為0.555 6；2018年實測年平均流量為36.01 m3/s，為平水年，與預測結(jié)果一致。由此可見，所建立的木坡水電站年平均流量轉(zhuǎn)移概率表可用于指導小金川河流域的徑流形勢預估。

表2 木坡水電站年平均流量轉(zhuǎn)移概率單位：%

3 結(jié) 語

基于馬爾科夫鏈模型進行年徑流形勢預估，建立了小金川河流域木坡水電站年平均徑流豐枯轉(zhuǎn)換的馬爾科夫一步轉(zhuǎn)移概率表，并以2018年木坡水電站的豐枯形勢預估為例進行實例分析，驗證了運用馬爾科夫鏈模型預測小金川河流域徑流形勢的可行性，該方法可為徑流形勢預估分析提供一種切實可行的思路和方法。