蔡慶瑞，黃振坤,賓紅華

(集美大學(xué) 理學(xué)院，福建 廈門 361021)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是模仿神經(jīng)元信息傳遞過程所構(gòu)建出的一種數(shù)學(xué)模型，近年來神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用于信息、圖像等領(lǐng)域[1].早期的研究，大部分沒有考慮信息傳遞具有一定的速度限制，因此沒有考慮到信息傳遞過程中會產(chǎn)生時(shí)滯.事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)世界里可以找到很多受到節(jié)點(diǎn)時(shí)滯影響的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，因此非常有必要將節(jié)點(diǎn)的時(shí)滯加以考慮[2].1989年，Macrus等首次建立了時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并研究了其平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性[3].文[4]在其基礎(chǔ)上引入多時(shí)滯并研究了系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性，文[5]則在文[3]的基礎(chǔ)上引入時(shí)變時(shí)滯且分析了系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性.

同步是許多自然系統(tǒng)中的一種典型集群行為[6]，也是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中研究的熱點(diǎn).但由于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)通常含有大量的節(jié)點(diǎn)，很難通過對每個(gè)節(jié)點(diǎn)添加控制器來控制一個(gè)具有大量節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).為了降低控制器的數(shù)量，一種很自然的方法是通過控制一部分節(jié)點(diǎn)來控制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步.文[7]提出一種有效的牽制控制方法使動態(tài)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到平衡.文[8]通過討論信號在網(wǎng)絡(luò)中的傳輸，揭示牽制控制的機(jī)理.應(yīng)用單一的控制器策略，文[9]討論了一類具有非對稱性和非線性的耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，給出了局部和全局耦合牽制同步的結(jié)果.

在實(shí)際問題中經(jīng)常會遇到連續(xù)和離散交叉出現(xiàn)的情況，因而研究時(shí)標(biāo)上的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)也具有重要的意義.Bohner等研究了時(shí)標(biāo)上復(fù)值域神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性[10].文[11]證明了時(shí)標(biāo)上多重時(shí)滯雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解存在性和全局指數(shù)穩(wěn)定性.時(shí)標(biāo)統(tǒng)一并推廣了連續(xù)情況下的微分方程和離散情況下的差分方程，在同時(shí)具有離散和連續(xù)的情況時(shí)，采用時(shí)標(biāo)理論可省去大量的重復(fù)性工作，相關(guān)的理論和應(yīng)用研究可參考文[12].本研究引入時(shí)標(biāo)相關(guān)理論，分析復(fù)雜時(shí)域上具有時(shí)滯節(jié)點(diǎn)和線性反饋的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)牽制同步問題，利用不等式建立網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到同步的充分條件，相關(guān)結(jié)果與文[13]的主要結(jié)論進(jìn)行對比.

1 預(yù)備知識

時(shí)標(biāo)T指的是實(shí)數(shù)集R的任意非空閉子集.當(dāng)tt}；當(dāng)t>infT時(shí)，后跳算子ρ:T→T定義為ρ(t)=sup{s∈T:st，則t是右擴(kuò)散的；如果σ(t)=t，則t是右稠密的.函數(shù)μ:T→R+定義為μ(t)=σ(t)-t. 設(shè)函數(shù)f:T→R，若?ε>0，?δ>0，使得f在t的鄰域上U(=(t-δ,t+δ)∩T)滿足|[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|,?s∈U則稱f在t點(diǎn)是可導(dǎo)的，記fΔ(t)為f在t處的Δ-導(dǎo)數(shù)[14].定義[a,b]T=[a,b]∩T.

考慮一個(gè)包含N個(gè)線性耦合獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜時(shí)滯動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，可用以下時(shí)標(biāo)T上的動力系統(tǒng)描述：

(1)

其中：i=1,2,…,N,xi=(xi1,xi2，…,xin)T∈Rn為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量.f:Rn×Rn→Rn是連續(xù)可微函數(shù).τ>0是常數(shù)時(shí)滯.A∈Rn×n是內(nèi)耦合矩陣，C=(cij)N×N∈RN×N是網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)散耦合矩陣，cij=

在這個(gè)模型中，矩陣C不一定是對稱的，元素cij可以不為0或1.而且內(nèi)耦合矩陣A=(aij)n×n也不一定是對稱的.

假設(shè)s(t)是下面孤立系統(tǒng)的唯一解：

sΔ=f(s(t),s(t-τ)).

初值為φ∈C，其中s(t)在相空間中可能為平衡點(diǎn)、周其軌道、非周期軌道和混沌軌道.

在開始主要結(jié)果之前，先提出一些必要的假設(shè)和引理以及條件.

條件(A1)[13]:對于向量函數(shù)f(x(t),x(t-τ))，滿足標(biāo)準(zhǔn)Lipschitz 條件，即對于任意的x1(t)=(x11(t),x12(t),…,x1n(t))T和x2(t)=(x21(t),x22(t),…,x2n(t))T，存在常數(shù)L1L2>0使得

以上引理滿足則要求控制增益di為無窮，但在實(shí)際系統(tǒng)中是不可能實(shí)現(xiàn)的，因此我們可以引入常數(shù)ε0解決這個(gè)問題.事實(shí)上，當(dāng)λmax(H2)<0時(shí)，對于某些0<ε0<|λmax(H2)|，存在d>0，使得如果di>d，就有λmax(H-D)≤λmax(H2)+ε0<0.

定義1[6]對于任意的初始ψ∈C，若解xi(t)(i=1,2,…,N)滿足

則稱被控制的時(shí)滯動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)在時(shí)標(biāo)意義上漸進(jìn)同步.

定義誤差向量：

ei(t)=xi(t;ψ)-s(t;φ)=0,i=1,2,…,N.

2 主要結(jié)果

假設(shè)選取l個(gè)節(jié)點(diǎn)i1,i2,…,il并用線性反饋控制器進(jìn)行控制，可用如下方程描述

(2)

因此，被控制的網(wǎng)絡(luò)(1)可以寫成以下形式

(3)

不失一般性，可選前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制

其中：當(dāng)j=i或k=i且j≠i≠k時(shí)，上述矩陣對應(yīng)位置的元素為-cijcik.

證明由于假設(shè)條件(A1)滿足，建立Lyapunov函數(shù)：

(4)

(5)

利用假設(shè)條件(A1)可得

(6)

(7)

其中,第一項(xiàng)：

(8)

第二項(xiàng)：

(9)

第三項(xiàng)：

(10)

第四項(xiàng)：

(11)

第五項(xiàng)：

(12)

最后一項(xiàng)：

(13)

結(jié)合式(5)-(13)得，

推論1取T=Z，τ∈Z，則根據(jù)時(shí)標(biāo)理論可得系統(tǒng)(3)為

其中：當(dāng)j=i或k=i且j≠i≠k時(shí)，上述矩陣對應(yīng)位置的元素為-cijcik.

評論1根據(jù)定理1和推論1的結(jié)論，系統(tǒng)(3)不僅在連續(xù)和離散的情況下能達(dá)到時(shí)標(biāo)意義上漸進(jìn)同步，甚至在離散和連續(xù)交叉出現(xiàn)的復(fù)雜時(shí)域下也能達(dá)到時(shí)標(biāo)意義上漸進(jìn)同步，該結(jié)果將文獻(xiàn)[13]的結(jié)論推廣到了一般復(fù)雜時(shí)域上.

3 數(shù)值仿真

(14)

其中:f=(f1,f2)T,f1(xi(t),xi(t-τ))=-xi1+0.2tanh(xi1(t))+0.1tanh(xi2(t))-

0.1tanh(xi1(t-τ))+0.2tanh(xi2(t-τ)),f2(xi(t),xi(t-τ))=-xi2+0.1tanh(xi1(t))+

0.2tanh(xi2(t))+0.1tanh(xi1(t-τ))-0.5tanh(xi2(t-τ)).

圖1 初值(2,1)的解(s1) 圖2 初值(2,1)的解(s2)Fig.1 Solution of first component of condition (2,1) Fig.2 Solution of second component of condition (2,1)

根據(jù)定理1，系統(tǒng)(14)在線性反饋控制器(2)的控制下能達(dá)到時(shí)標(biāo)意義上漸進(jìn)同步，如圖3和圖4.

圖3 系統(tǒng)誤差(E1) 圖4 系統(tǒng)誤差(E2)Fig.3 System errors of first component Fig.4 System errors of second component

總之，本研究利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和時(shí)標(biāo)理論，通過線性反饋牽制控制對具有時(shí)滯節(jié)點(diǎn)的動態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行控制，得到了系統(tǒng)的同步準(zhǔn)則.該準(zhǔn)則不僅對連續(xù)的系統(tǒng)適用，對時(shí)間軸上同時(shí)具有離散和連續(xù)特點(diǎn)的系統(tǒng)也適用，是文[13]的改進(jìn)，最后通過一個(gè)例子驗(yàn)證了所提出控制方法的有效性.