基于LTSA的芯片固化溫度場時空建模方法

劉 碩，張師源，林 朗

（中南大學 機電工程學院，長沙 410083）

0 引言

芯片固化環(huán)節(jié)是半導體芯片生產(chǎn)的一個關鍵過程，該環(huán)節(jié)需要在固化爐內(nèi)進行。在固化過程中，環(huán)氧樹脂等材料通常需要特定的固化溫度，以及穩(wěn)定均勻的溫度場分布[1]。因此，對固化爐溫度場的分析與控制有很高的要求，而分析與控制的關鍵，就是對爐內(nèi)溫度場建立一個準確、可靠的模型。

固化爐的熱動態(tài)過程屬于典型的非線性分布參數(shù)系統(tǒng)（Distributed Parameter System，DPS），通常用偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）來表示[2]。DPS具有無限維時空動態(tài)特性以及非線性特性，因此精確的PDE很難獲得。在工程應用中，通常將無限維DPS近似為有限維的常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）[3]，所以模型的降階技術是非常重要的。

對于模型已知的DPS，鄧華[4]等提出了一種基于譜近似的智能建模方法，將譜方法用于時空分離和模型降維，得到低階ODE模型，并設計了神經(jīng)網(wǎng)絡觀測器用于ODE的狀態(tài)估計；蔣勉[5]將譜方法所得到的基函數(shù)進行展開和截斷獲得系統(tǒng)的最優(yōu)基函數(shù)，并通過傳統(tǒng)智能方法來近似系統(tǒng)時間動態(tài)，得到了熱軋過程的時空耦合模型。但是由于在工程中很難確定系統(tǒng)結(jié)構和參數(shù)，所以上述方法不便于對實際工業(yè)過程應用。

對于模型未知的DPS，基于數(shù)據(jù)的Karhunen-Loève（KL）方法已經(jīng)被廣泛使用。NejibSmaoui[6]對兩個偏微分方程的仿真數(shù)據(jù)進行KL分解，得到其數(shù)據(jù)系數(shù)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡模型預測數(shù)據(jù)系數(shù)，得到了一個智能神經(jīng)網(wǎng)絡模型；Qi C等結(jié)合KL與傳統(tǒng)的集中參數(shù)方法，提出了KL-Hammerstein模型[7]、KL-Wiener模型[8]、KL-Volterra模型[9]；Liu Z[10]等提出了一種適用于鋰離子電池溫度分布在線估計的KL-極限學習機（Extreme LearningMachines，ELM）模型，使用ELM對時間系數(shù)進行擬合。傳統(tǒng)的時空分離建模中，KL方法是一種線性降維方法，其得到的空間基函數(shù)不能完全精確的表達系統(tǒng)的非線性特征。

本文提出一種基于局部切空間排列（Local Tangent Space Alignment，LTSA）[11]的爐溫時空建模方法，該方法是一種基于數(shù)據(jù)的非線性建模方法，利用LTSA對芯片固化溫度數(shù)據(jù)進行時空分離和降維，得到的空間基函數(shù)可以更精確地表達系統(tǒng)的非線性特征。然后將時空數(shù)據(jù)投影到空間基函數(shù)上，得到低階的時間系數(shù)。利用一種智能學習算法徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）擬合低階時間系數(shù)，該方法能夠處理系統(tǒng)內(nèi)部的非線性規(guī)律，并且可以克服局部最小的問題[13,14]。最后通過時空合成，得到固化溫度場的全局時空溫度分布。通過在實驗室簡易固化爐上采集的數(shù)據(jù)進行建模分析，并與傳統(tǒng)的KL時空建模進行比較。結(jié)果表明該方法擬合效果比較準確，對于工業(yè)熱過程的分析與控制具有良好的意義。

1 問題描述

芯片固化爐的熱動態(tài)過程是一個二維的分布參數(shù)系統(tǒng)，其分布在x和y方向上的熱過程可以表述為：

其中，T（x，y，t）為時空分布的溫度，℃；ρ為爐內(nèi)傳熱氣體的密度，kg/m3；cρ為傳導介質(zhì)的比熱容，J/（kg.℃）；λx和λy為傳熱介質(zhì)在x和y方向的傳導率，W/（m.℃）；Q（x，y，t）為熱源，W/m3；h為對流傳熱的傳導率，W/（m.℃）；Tair為環(huán)境大氣的溫度，℃；x，y為爐室內(nèi)的坐標，m；t為時間變量，s。

2 基于LTSA的時空建模策略

提出了一種基于LTSA的時空建模策略，通過非線性降維方法局部切空間排列（LTSA）來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的KL方法對模型進行降維，獲得空間基函數(shù)和低階時間系數(shù)，利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡（RBFNN）對時間系數(shù)進行建模，通過時空合成，得到全局的固化爐溫度場時空分布。

在基于數(shù)據(jù)的時空分離框架下，將時空變量T（S，t）寫成時空分離的形式，如下：

得到空間基函數(shù)之后，將時空分布的數(shù)據(jù)T（S，t）向基函數(shù)上投影，即可獲得對應的時間系數(shù)：

括號表示內(nèi)積，得到時間系數(shù)之后，對其使用基于數(shù)據(jù)的方法建模，建模預測時間系數(shù)為得到后，進行時空重構，獲得全局的溫度場時空分布：

2.1 局部切空間排列

局部切空間排列算法（LTSA）是一種局部非線性降維方法，在降維過程中可以保留系統(tǒng)的非線性特征。算法主要思想是利用樣本點鄰域的局部切空間來表征局部的幾何性質(zhì),然后將局部切空間進行排列得到全局的低維坐標 。算法的主要步驟如下：

1）局部坐標擬合

將Xi中心化，得到為鄰域矩陣中心點，對中心化鄰域矩陣進行奇異值分解，其前d個最大的奇異值對應的左右奇異向量構成的矩陣為Qi、Vi。所以局部切空間中樣本點的局部坐標矩陣為：

2）局部坐標排列

其中，Li為待定的映射矩陣；為重構誤差；是τi的中心化矩陣。記則式(8)可以被轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

極小化重構誤差來保證局部坐標的低維特征：

2.2 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡

徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡（RBFNN）是一種可靠的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡，一般具有三層的網(wǎng)絡結(jié)構，能夠處理系統(tǒng)內(nèi)部難以理解的復雜的函數(shù)關系，可以找到系統(tǒng)的最佳逼近，很好的逼近任意非線性函數(shù)。RBFNN具有訓練速度快、逼近效果好等優(yōu)點，且不會陷入局部最小的麻煩。RBFNN的基本結(jié)構分為三層：輸入層、輸出層和隱含層，其結(jié)構示意圖如圖1所示。

圖1 RBFNN基本結(jié)構

其中輸入層、隱含層、輸出層的節(jié)點個數(shù)分別為m、n、k，xi表示輸入層第i（i=1，…，m）個節(jié)點的輸入信號，yj表示輸出層第j（i=1，…，k）個節(jié)點的輸出信號，hs（X）為隱含層第s（s=1，…，n）個節(jié)點的激活函數(shù)，wsj表示連接第s個隱含節(jié)點和第j個輸出節(jié)點的權值。

輸入層主要作用為輸入信息到系統(tǒng)中，與隱含層之間沒有權值連接，不改變數(shù)據(jù)，輸入信號需要進行歸一化處理。

隱含層主要作用是通過激活函數(shù)對輸入信息進行處理，并將處理后的數(shù)據(jù)傳遞到輸出層，其神經(jīng)元個數(shù)根據(jù)實際需要來具體確定。激活函數(shù)為徑向基函數(shù)，通常使用高斯徑向基函數(shù)。高斯徑向基函數(shù)是一個非線性函數(shù)，可以將系統(tǒng)輸入變換到高維進行處理，具有局部響應的特征，其表達式如下，其中，cs和δs為第s個神經(jīng)元激活函數(shù)的中心和寬度：

輸出層主要作用是通過線性函數(shù)對隱含層的輸出進行響應。其每個節(jié)點和隱含層各個節(jié)點有權值連接，通過加權求和得到徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡的最終輸出，如下：

3 實驗驗證

本文利用實驗室自制芯片固化爐進行固化熱過程的實驗，利用dSPACE實時半實物仿真平臺進行加熱板控制信號的傳送和固化爐溫度數(shù)據(jù)的采集。

3.1 實驗系統(tǒng)

芯片固化爐的結(jié)構如圖2所示，四個相同的700W加熱板均勻分布在其內(nèi)部，每個加熱板由一個脈寬調(diào)制信號（PWM）控制，引線框架水平面上均勻的布置16個相同的傳感器，負責采集溫度信息。傳感器的平面位置分布如圖3所示。

圖2 芯片固化爐結(jié)構圖

圖3 熱電偶傳感器的平面分布

dSPACE實時系統(tǒng)是由德國dSPACE公司研發(fā)的一套基于MATLAB/Simulink的實時控制與測試平臺。該系統(tǒng)實現(xiàn)了與MATLAB/Simulink的無縫連接，并可以進行代碼的自動生成，無需編程即可實現(xiàn)控制策略的測試與應用，已廣泛的應用到機器人、工業(yè)控制、無人等領域。

本文所使用的dSPACE實驗平臺以DS1006板卡為dSPACE系統(tǒng)的處理器，與主控計算機相連并進行數(shù)據(jù)交換。通過MATLAB/Simulink制定合適的控制策略，并通過DS2103板卡和繼電器將控制信號PWM波輸出到加熱板上。通過熱電偶傳感器采集固化爐溫度信號，經(jīng)過DS2002板卡傳輸?shù)絛SPACE系統(tǒng)，并輸入到控制計算機中。圖4為dSPACE實驗平臺的硬件框圖。

圖4 dSPACE實驗平臺硬件框圖

3.2 實驗結(jié)果

實驗通過dSPACE系統(tǒng)控制固化爐溫度到190℃左右，然后輸入隨機的PWM占空比信號，其中第三個加熱板的輸入信號如圖5所示。采集2800組實驗數(shù)據(jù)，采樣間隔為10s，其中前1400組實驗數(shù)據(jù)用于訓練模型，后1400組實驗數(shù)據(jù)用于測試模型的效果和精度。

圖5 加熱板3 PWM輸入信號

對訓練數(shù)據(jù)使用LTSA算法進行時空分離和降維，鄰域點為13個，空間基函數(shù)的階數(shù)為n=5，獲得五階空間基函數(shù)。其中，第二階和第四階的空間基函數(shù)如圖6所示。

圖6 第2階與第4階空間基函數(shù)

將時空分布的溫度數(shù)據(jù)向基函數(shù)上投影得到相應的時間系數(shù)ai（t），使用RBFNN模型來近似時序動態(tài)特性，輸入為四塊加熱板的PWM輸入信號，輸出為時間系數(shù)，其隱藏層節(jié)點個數(shù)選為100。使用訓練數(shù)據(jù)訓練模型，使用測試數(shù)據(jù)驗證模型的準確性。測試數(shù)據(jù)的第二階和第四階時間系數(shù)擬合效果如圖7所示，其中藍色表示模型預測值，紅色表示真實值。從圖中可以看出，模型具有很好的擬合準確度。

圖7 時間系數(shù)擬合效果

將空間基函數(shù)φ（S）和預測輸出的時間系數(shù)進行合成，得到時空分布的溫度場為了評價所建立模型的精確度，給出以下幾個誤差指標。

選取11號傳感器觀察模型在測試數(shù)據(jù)上的效果，其中圖8為預測溫度和實際溫度對比，圖9為11號傳感器的相對誤差（ARE）。11號傳感器的溫度數(shù)據(jù)在測試數(shù)據(jù)上的最大誤差為1.9697℃，最大相對誤差為1.09%，相對誤差基本在1%以內(nèi)。因此，模型對于固化爐溫度場的預測精度是比較高的。

圖8 11號傳感器預測數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)對比

圖9 11號傳感器相對誤差分布

選取最后一個時間點即28000s時，將模型輸出的溫度數(shù)據(jù)進行三階插值，得到此時刻的固化爐溫度場全局空間分布。圖10為該時刻模型預測溫度空間分布，圖11為該時刻模型輸出的相對誤差分布?？梢钥闯瞿Ｐ驮诳臻g上的相對誤差大約都在1%以內(nèi)，精度較高，可以準確預測固化爐溫度場。

圖10 28000s時模型預測溫度分布

圖11 28000s時模型預測相對誤差分布

為了展現(xiàn)所提出的模型與KL方法的對比，使用同樣的實驗環(huán)境和實驗數(shù)據(jù)，通過KL-RBFNN對固化爐溫度場進行時空分離建模。兩種方法誤差對比如表1所示，從表中可以看出，所提出的基于LTSA的時空分離策略建模精度比傳統(tǒng)的KL要高。

表1 兩種方法的RMSE值對比

4 結(jié)語

1）提出了一種基于LTSA的時空建模方法，對芯片固化爐爐溫系統(tǒng)進行了基于數(shù)據(jù)的建模分析，實驗結(jié)果可以看出，該方法對于固化熱過程的建模比較有效。

2）與常用的KL-時空模型進行了比較，相較于KL-時空模型，該模型的精度更高，并且適用于實際工業(yè)熱過程，對工業(yè)典型熱過程的建模與分析具有良好的價值。