王 倩

(四川文理學(xué)院 教務(wù)處，四川 達(dá)州 635000)

無約束的或者箱子集約束的全局優(yōu)化問題有很多學(xué)者已經(jīng)在不斷研究與改進(jìn)，如文獻(xiàn).[1-7]其中打洞函數(shù)法最早是于1985年在文獻(xiàn)[2]中提出的，其打洞函數(shù)為:

該方法要求f(x)在X上二次連續(xù)可微，并且假設(shè)函數(shù)f(x)只有有限個(gè)孤立的極小點(diǎn).

后來，Ge.R.P在文獻(xiàn)[3]中提出了另一類求解一般非線性規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解的輔助函數(shù)法：填充函數(shù)法.文獻(xiàn)[3]中給出填充函數(shù)的基本思想是：通過極小化填充函數(shù)跳出當(dāng)前的局部極小點(diǎn)，因而找到一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值比當(dāng)前函數(shù)值更小的點(diǎn)，循環(huán)運(yùn)算直至找到全局極小點(diǎn).因該填充函數(shù)受到指數(shù)項(xiàng)的影響，會(huì)找到假的平穩(wěn)點(diǎn)，因此丟失目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解.

后來很多學(xué)者對(duì)其做了改進(jìn)工作，如文獻(xiàn).[4-8]特別在文獻(xiàn)[8]中提出的新的輔助函數(shù)法，無論在理論性質(zhì)還是數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果上，較之前的輔助函數(shù)都有非常突出的優(yōu)越性.然而文獻(xiàn)[8]中提出的新輔助函數(shù)法只是用于求解一般無約束的全局優(yōu)化問題.而對(duì)于有約束的全局優(yōu)化問題的研究，特別是含有不等式約束的全局優(yōu)化問題的研究，是非常具有現(xiàn)實(shí)意義和研究?jī)r(jià)值的.在文獻(xiàn)[1]中Wu Z.Y.等提出了一種求解含有不等式約束的全局最優(yōu)解的輔助函數(shù)法，其在理論性質(zhì)和數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果上都有非常突出的優(yōu)越性，但其不能保證平穩(wěn)點(diǎn)函數(shù)的局部極小點(diǎn)是原問題的局部極小點(diǎn)，所以每次求解平穩(wěn)點(diǎn)函數(shù)的局部極小點(diǎn)以后，還需要重新求解原問題的局部極小點(diǎn).本文結(jié)合文獻(xiàn)，[1],[8]提出了一種新的改進(jìn)填充函數(shù)法，用于求解含有不等式約束的一般非線性規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解.

新的改進(jìn)填充函數(shù)及其性質(zhì)

本文考慮如下問題(P)[1]

其中，f(x)和gi(x)在Rn→R上連續(xù)可微，i=1,...,m,.

假設(shè)1f(x)滿足強(qiáng)制性條件：當(dāng)‖x‖→+∞時(shí)，f(x)→+∞.

假設(shè)2 問題(P)的局部極小值的個(gè)數(shù)為有限個(gè).

令

S={x∈X|gi(x)≤0,i=1,...,m},

S0={x∈intX|gi(x)<0,i=1,...,m}.(2)

假設(shè)3S0為非空集，clS0=S.

本文假設(shè)x*為當(dāng)前原問題(P)的局部極小點(diǎn).

定義1 函數(shù)T(x,x*,r)稱為含有不等式約束全局優(yōu)化問題(P)的改進(jìn)填充函數(shù)，如果T(x,x*,r)滿足如下條件：

1)對(duì)任意的x∈S，00，T(x,x*,r)=0?f(x)-f(x*)+r=0;

2)設(shè)x*是f(x)的一個(gè)局部極小點(diǎn)，則?q>0，對(duì)任意的0

3)對(duì)任意的00， 則?T(x,x*,r)≠0;

4)對(duì)任意的x∈L2={x|f(x)

5)對(duì)任意的x1,x2∈S0，若f(x1)≥f(x*)，f(x2)≥f(x*)，則‖x2-x*‖>‖x1-x*‖當(dāng)且僅當(dāng)T(x2,x*,r)

下面給出一種改進(jìn)的填充函數(shù)

其中00，φr(t)和ψr(t)具有如下的形式：

很容易驗(yàn)證φr(t)≥0，ψr(t)≥0，且連續(xù)可微.

下面的定理表明，當(dāng)參數(shù)r，q滿足某些條件時(shí)，本文構(gòu)造的輔助函數(shù)T(x,x*,r)滿足定義1給出的改進(jìn)填充函數(shù)的定義.

定理1 對(duì)任意的x∈S，00，T(x,x*,r)=0?f(x)-f(x*)+r=0.

證明：必要性(?)

充分性(?)

因?yàn)閒(x)-f(x*)+r=0，所以φr(f(x)-f(x*)+r)=0.對(duì)任意的0≤r<1，?q>0，

證畢

定理2 設(shè)x*是f(x)的一個(gè)局部極小點(diǎn)，則?q>0，對(duì)任意的0

證明：因?yàn)閤*是一個(gè)局部極小點(diǎn)，則?δ>0，對(duì)?x∈ο(x*,δ)∩S0，有f(x)≥f(x*)，

所以f(x)-f(x*)+r≥0+r>0,

故T(x*,x*,r)>T(x,x*,r)，即x*是T(x,x*,r)的一個(gè)嚴(yán)格局部極大點(diǎn). 證畢

定理3 對(duì)任意的00， 則?T(x,x*,r)≠0;

證明：由(3)式知

定理4 對(duì)任意的x∈L2={x|f(x)

證明：當(dāng)f(x)0，使得f(x)-f(x*)<-r，有

f(x)-f(x*)+r<0，則有T(x,x*,r)=r(f(x)-f(x*)+r)3.

這時(shí)?T(x,x*,r)=3r·(f(x)-f(x*)+r)2?f(x)，因?yàn)閒(x)-f(x*)+r<0，

所以?T(x,x*,r)與?f(x)同號(hào)，從而T(x,x*,r)和f(x)的單調(diào)性保持一致.

T(x,x*,r)的局部極小點(diǎn). 證畢

定理5 對(duì)任意的x1,x2∈S0，若f(x1)≥f(x*)，f(x2)≥f(x*)，則‖x2-x*‖>‖x1-x*‖當(dāng)且僅當(dāng)T(x2,x*,r)

證明：因?yàn)閷?duì)任意的x1，x2∈S0，若f(x1)≥f(x*)，f(x2)≥f(x*)，則

所以，‖x2-x*‖>‖x1-x*‖當(dāng)且僅當(dāng)T(x2,x*,r)

定理5保證了輔助函數(shù)在極小化搜索過程中，不會(huì)再回到原來極小點(diǎn)所在的盆谷中.

由以上的定理及定義1可以得到，當(dāng)參數(shù)r和q滿足一定條件時(shí)，函數(shù)T(x,x*,r)是點(diǎn)x*處的新的改進(jìn)填充函數(shù).

由于文獻(xiàn)[8]中的輔助函數(shù)算法在數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果中有較為突出的有效性，因此，可借鑒該算法進(jìn)行推廣，在數(shù)值試驗(yàn)中可進(jìn)行有效性的檢測(cè).