也談等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問題

北京師范大學(xué)出版集團(tuán) 岳昌慶 100875

高一學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn的最值問題，可以從二次函數(shù)等角度來理解.作為一個(gè)高三學(xué)生，又多了求導(dǎo)這一有力的工具，方法會更多.當(dāng)然要結(jié)合n∈N*.

例1［2019年高考北京市卷理科第10題］設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝______，Sn的最小值為______.

法2：令an＝n－5＝0得n＝5.又a1=-4＜0，d＝1＞0，所以當(dāng)n＝4或5時(shí)，Sn取最小值為－10.

評注：（1）解法1將Sn看成關(guān)于n的二次函數(shù)，用二次函數(shù)的最值相關(guān)知識，再結(jié)合自變量n∈N*，從而求得Sn的最小值；需要在S4，S5的比較中找到最小值（此題恰好S4=S5）；本題如果求Sn為最小值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n，還是一個(gè)兩解的題目呢.（2）解法2抓住“a1＜0，d＞0”這一“起始值為負(fù)的遞增等差數(shù)列”的特性，找到an中正負(fù)值的“分界線”（該項(xiàng)值為零更好），從而得Sn的最小值.解法2為我們提供了一種找到Sn最值的快速解法，見本文例3.從這個(gè)角度看，本題的第1空是為第2空做鋪墊的.（3）本題還可由a5＝0，直接得出S4或S5為Sn的最小值.因?yàn)橐粋€(gè)首項(xiàng)為負(fù)的等差數(shù)列，其公差d＞0，在增長的過程中，一定有某一項(xiàng)為接近零的負(fù)值，下一項(xiàng)為接近零的正值，甚至?xí)心骋豁?xiàng)直接為零.這就可以理解為什么“a1＜0，d＞0”Sn就有最小值了.（4）解法3直接對Sn（將Sn看成關(guān)于n的二次函數(shù)）求導(dǎo)數(shù)，通過討論Sn的單調(diào)性，結(jié)合n∈N*，從而求得Sn的最小值.（5）以下各例均僅給出一種解法，其他解法限于篇幅，請讀者自己補(bǔ)齊.（6）等差數(shù)列，若“a1＜0，d＜0”，則Sn也存在最大值（即a1），結(jié)論平凡，本文不予研究.

評注：（1）本質(zhì)上，例2與例1是互逆的.（2）本題第（2）問用錯(cuò)位相消法求和，不是本文重點(diǎn)，故過程略去.

例3［2014年高考北京市卷理科第12題］若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，則當(dāng)n＝_____ _時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大.

簡解：由已知可得3a8＞0，a8+a9＜0，所以a8＞0，a9＜-a8＜0.公差d＝a9-a8＜0，a8=a1+7d＞0，即a1＞-7d＞0，從而n＝8時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大.

評注：（1）這道題命制得高級、巧妙，甚至真正做到了高考題的命制最高境界——讓考生“只動(dòng)腦不動(dòng)筆”，確實(shí)考查了數(shù)學(xué)素養(yǎng).（2）本題還用到了，對于等差數(shù)列：

a7+a9=a8+a8，a7+a10=a8+a9.

例4［人民教育出版社數(shù)學(xué)必修5B版2007年4月第2版第55頁第2（3）題］等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S14＞0，S15＜0，則在S1,S2,…中最大的是前____項(xiàng)的和.

簡解：由已知可得a1+a14＞0，a1+a15＜0，即a7+a8＞0，2a8＜0，故a7＞-a8＞0.公差d＝a8-a7＜0，a7=a1+6d＞0，即a1＞-6d＞0，從而在S1,S2,…中最大的是前7項(xiàng)的和.

評注：（1）本題也屬于“a1＞0，d＜0”型.（2）不能認(rèn)為S14最大，因?yàn)殡m然S14＞0,S15＜0，但Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，無法判斷：S1,S2,…,S13均為正，S15及以后各項(xiàng)均為負(fù).（3）本題即使可以得出“S1,S2,…,S13均為正，S15及以后各項(xiàng)均為負(fù)”也不能認(rèn)為S14最大，因?yàn)楸绢}是對等差數(shù)列{an}求前n項(xiàng)的和，而不是對數(shù)列{Sn}求前n項(xiàng)的和.（4）例3是例4的一種簡單情況，說明“高考題目源于課本，高于課本”，學(xué)習(xí)中抓課本習(xí)題的落實(shí)是非常必要的.

評注：（1）一次有益的大膽嘗試，首次將目標(biāo)函數(shù)設(shè)定為nSn.（2）求出函數(shù)f(n)的導(dǎo)函數(shù)f′(n)后，討論f(n)的單調(diào)性的過程，在解答過程中略去.（3）本題需在f(6)，f(7)的比較中找到最小值（即f(7)）.

作業(yè)1：［2018年高考全國卷Ⅱ理科第17題］記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值.

作業(yè)2：［2010年高考全國課標(biāo)卷文科第17題］設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5,a10＝－9.（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號n的值.

作業(yè)3：［1992年高考全國卷文、理科第27題］設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a3＝12,S12＞0,S13＜0.（1）求公差d的取值范圍.（2）指出S1,S2,…,S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由.

作業(yè)4：［人民教育出版社數(shù)學(xué)必修5B版第43頁第3題］等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S9＜0,S10＞0，則此等差數(shù)列的前n項(xiàng)和中，n是多少時(shí)取得最小值？