杜曉慶　鄔偉偉　趙燕　吳葛菲

摘要： 為了研究上游圓柱的運動狀況對下游圓柱渦激振動的影響，針對兩類串列雙圓柱（上游圓柱固定、下游圓柱可作兩自由度振動，上下游圓柱均可作兩自由度振動），在低雷諾數(shù)下（Re=100），采用數(shù)值模擬方法，研究了下游圓柱在不同尾流干擾下的振幅、振動頻率、相位差等振動特性隨折減速度的變化規(guī)律，從能量輸入和尾流模態(tài)角度探討了上游圓柱的振動狀況對下游圓柱渦激振動的影響規(guī)律及其流場機(jī)理。研究表明：上游圓柱的運動狀況對下游圓柱渦激振動有顯著影響;與上游圓柱固定情況相比，上游圓柱振動時下游圓柱存在明顯的振動鎖定區(qū)間;下游圓柱橫流向振幅更大且最大振幅發(fā)生在更高的折減風(fēng)速下。振動過程中兩類串列圓柱的順流向間距比明顯不同。上游圓柱固定時，順流向圓柱間距大于上游圓柱振動情況。兩類雙圓柱的尾流模態(tài)也有明顯不同，上游圓柱固定、下游圓柱振動時的串列雙圓柱為平行渦街模態(tài)，而上下游圓柱均能振動時的尾流為“2S”模態(tài)。

關(guān)鍵詞： 渦激振動; 串列雙圓柱; 尾流干擾; 數(shù)值模擬; 尾流模態(tài)

中圖分類號： O351.2; TU311.3 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ? ?文章編號： 1004-4523（2021）02-0283-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.008

引 ?言

大長細(xì)比柱群結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用廣泛，如橋梁并列索、煙囪群、海洋立管、多分裂導(dǎo)線等。受上游圓柱的尾流影響，下游圓柱的渦激振動會比單圓柱更為劇烈，易引起結(jié)構(gòu)的疲勞破壞，因而受到廣泛關(guān)注[1?2]。以往對單圓柱的渦激振動進(jìn)行了廣泛研究[3?8]，但針對雙圓柱渦激振動的研究相對較少。由于受到圓柱間距、振動自由度、質(zhì)量比、來流攻角、來流速度、雷諾數(shù)等多種參數(shù)的影響，雙圓柱渦激振動的響應(yīng)特性和發(fā)生機(jī)理非常復(fù)雜。

以往研究主要針對上游圓柱固定、下游圓柱振動的串列雙圓柱[9?16]。郭曉玲等[9]在Re=150、質(zhì)量比m*=5，10，20（m*=4m/（ρπD^2）），其中m為單位長度圓柱質(zhì)量，ρ為流體密度，D為圓柱直徑）條件下，研究了間距比（P/D=3，5，8，其中P為圓心間距）對下游圓柱渦激振動的影響。研究表明，不同間距比會引起流場結(jié)構(gòu)的顯著變化，進(jìn)而影響到圓柱渦激振動的位移響應(yīng)。Carmo等[10]在Re=150和300，m*=2等條件下，發(fā)現(xiàn)在較小間距比（1.5和3）下，頻率比不存在明顯的振動鎖定區(qū)間;在較大間距比（5和8）下，則會出現(xiàn)與單圓柱類似的振動鎖定現(xiàn)象。陳文曲等[11]在Re=200，m*=10，P/D=4和5等條件下，發(fā)現(xiàn)下游圓柱的振動自由度對其渦激振動有明顯影響;對于可作兩自由度振動的下游圓柱，其最大振幅大于僅能作橫流向單自由度振動的情況。趙燕[12]在Re=100，P/D=4等條件下研究了質(zhì)量比（m*=2，10，20）對下游圓柱渦激振動的影響;研究發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量比對渦激振動的響應(yīng)特性及尾流模態(tài)影響顯著。

也有少數(shù)學(xué)者研究了上下游圓柱均能振動的串列雙圓柱[17?19]。Prasanth和Mittal[17]在Re=100，m*=10，P/D=5.5等條件下，發(fā)現(xiàn)與單圓柱相比，下游圓柱的存在會造成上游柱體橫流向振幅增大，且上游圓柱運動時下游圓柱橫流向振幅更大。Bao等[18]在Re=150，m*=2，P/D=5條件下發(fā)現(xiàn)，下游圓柱橫流向發(fā)生最大振幅對應(yīng)的折減速度大于上游圓柱。Borazjani等[19]在Re=200，m*=2，P/D=1.5條件下，研究了振動自由度對雙圓柱渦激振動的影響。發(fā)現(xiàn)上下游均可作雙自由度振動的雙圓柱相比于僅在橫流向均單自由度振動的情況，下游圓柱橫流向振幅大幅減小。

值得注意的是，以往大多數(shù)研究假定上游圓柱固定而下游圓柱可作自由振動，這與實際工程中上下游圓柱均能作兩自由度振動的情況不同。及春寧等[20]在m*=2，Re=100條件下，比較研究了上游圓柱的振動狀況（固定或自由振動）對下游圓柱渦激振動的影響。研究表明，上游圓柱的振動狀況直接影響下游圓柱的振動特性。不過及春寧等僅考慮了橫流向的單自由度振動，沒有考慮順流向的振動以及順流向圓柱間距的變化。

為了進(jìn)一步澄清上游圓柱的振動狀況對下游圓柱渦激振動的影響，本文在低雷諾數(shù)（Re=100）條件下，針對兩類串列雙圓柱（上游圓柱固定、下游圓柱可作兩自由度振動;上下游圓柱均可作兩自由度振動），分別從下游圓柱的振動幅值、振動頻率、相位差、能量輸入及尾流模態(tài)等方面闡述了上游圓柱不同振動狀況對下游圓柱渦激振動的影響規(guī)律。

1 計算模型和研究方法

1.1 計算模型與數(shù)值方法

圖1給出了串列雙圓柱的計算模型。本文將雙圓柱渦激振動簡化為質(zhì)量?彈簧?阻尼系統(tǒng)，并假定上下游圓柱的質(zhì)量比、自振頻率、阻尼系數(shù)等基本參數(shù)以及橫流向和順流向的動力特性相同。其中，圖1（a）為上游圓柱固定，下游圓柱可作順流向及橫流向兩自由度振動的示意圖;圖1（b）表示上下游圓柱均可作順流向及橫流向兩自由度振動的示意圖。

圓柱順流向和橫流向運動方程分別為：

mx ¨_i+2mζ_i ω_xni x ˙_i+mω_xni^2 x_i=F_（D i） （t） （1）

my ¨_i+2mζ_i ω_yni y ˙_i+mω_yni^2 y_i=F_（L i） （t） （2）

式中 ?x_i，x ˙_i和x ¨_i分別為圓柱順流向瞬時位移、速度和加速度;y_i，y ˙_i和y ¨_i分別為橫流向瞬時位移、速度和加速度;m為單位長度圓柱質(zhì)量;ζ_i為圓柱結(jié)構(gòu)阻尼比;ω_xni，ω_yni分為順流向及橫流向固有圓頻率;F_Di （t）=0.5ρU^2 DC_Di和F_Li （t）=0.5ρU^2 DC_Li分別為作用在單位長度圓柱上的順流向流致力以及橫流向流致力，其中，C_（D i）和C_（L i）分別為圓柱阻力和升力系數(shù);下標(biāo)i=1，2分別表示上、下游圓柱。

本文雷諾數(shù)Re=100，P/D=4、折減速度U_r=U/（f_n D）=2?12，其中U為來流速度，fn為柱體自振頻率，質(zhì)量比m*=10。此外，考慮到本文兩類布置形式，計算工況多，為了使圓柱較早達(dá)到振動穩(wěn)定狀態(tài)，節(jié)省計算時間，參考文獻(xiàn)[16?17]，本文結(jié)構(gòu)阻尼比同樣取ζ為0。

圓柱與流場間的流固耦合作用通過動網(wǎng)格技術(shù)來實現(xiàn)。先運用CFD方法求解流體控制方程，獲得流場速度場、壓力場和圓柱表面的流致力;然后將流致力作用于振動圓柱，以4階Runge?Kutta法求解上述運動方程，得到圓柱在橫流向和順流向的動力響應(yīng);再通過動網(wǎng)格技術(shù)，將圓柱的振動速度傳遞于網(wǎng)格系統(tǒng)，更新網(wǎng)格;然后再計算下一個時間步的振動響應(yīng)。如此循環(huán)可獲得各時間步的流場以及圓柱振動響應(yīng)等信息。

1.2 邊界條件及網(wǎng)格劃分

圖2給出了本文數(shù)值模擬的計算域及邊界條件示意圖，入流面采用速度入口（velocity?inlet）邊界條件;上、下邊界均采用對稱邊界條件（symmetry）;出流面采用自由出流（outflow）邊界條件，圓柱壁面為無滑移壁面（wall）邊界條件。計算域橫向?qū)挾葹?0D，流向長度為65D，壓力和速度耦合采用SIMPLEC法求解，動量方程采用2階精度離散格式求解。

圖3給出了網(wǎng)格劃分方案。為了更好地模擬雙圓柱近壁面的繞流場，近壁面采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。圖3（a）中的虛線所圈圓形區(qū)域除近壁面外采用三角形非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，以實現(xiàn)圓柱振動過程中的網(wǎng)格更新，白色虛線區(qū)域外仍采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。

2 模型驗證

為檢驗計算參數(shù)的合理性以及結(jié)果的可靠性，首先針對固定單圓柱研究了周向網(wǎng)格數(shù)、無量綱時間步、阻塞率等參數(shù)對結(jié)果的影響，詳細(xì)驗證工作參考文獻(xiàn)[12]。然后針對兩自由度單圓柱渦激振動問題，在雷諾數(shù)Re=100、質(zhì)量比m*=10條件下，進(jìn)一步作了網(wǎng)格獨立性檢驗和正確性驗證，本文結(jié)果及其與文獻(xiàn)值的比較見表1和圖4。

由表1可見，本文3種網(wǎng)格模型下的數(shù)值結(jié)果較為接近，隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加，計算結(jié)果趨于收斂。與已有文獻(xiàn)比較，各項計算結(jié)果同樣較為接近，從而驗證了結(jié)果的可靠性。由圖4可見，本文單圓柱渦激振動的順流向脈動振幅及橫流向最大振幅隨折減速度的變化規(guī)律與文獻(xiàn)[24]吻合良好，這也說明了本文數(shù)值方法和計算參數(shù)的合理性。

綜合考慮了計算精度和計算效率，下文串列雙圓柱渦激振動的網(wǎng)格方案采用工況Mesh 2，網(wǎng)格總數(shù)為77104，節(jié)點總數(shù)59401。計算參數(shù)取無量綱時間步長Δt*=0.005（Δt*=ΔtU/D，Δt=0.000342 s為計算時間步長），阻塞率B=1.67%（B=D/H，H為計算域橫向?qū)挾?，如圖2所示）。

3 計算結(jié)果及分析

3.1 最大振幅

為了便于直觀了解兩類下游圓柱的振動過程，圖5給出兩種振動狀態(tài)下的典型位移時程曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)兩種振動狀態(tài)下的起振過程有一定的差異：振動達(dá)到穩(wěn)定所需時間不同;當(dāng)上游圓柱振動時，下游圓柱達(dá)到振動穩(wěn)定的所需時間更長。

圖6給出了兩類串列圓柱的下游圓柱及單圓柱的無量綱振幅隨折減速度Ur的變化曲線。其中：

A_x/D=（x_max-x_min ）/（2D） （3）

A_y/D=（y_max-y_min ）/（2D） （4）

式中 ?xmax，xmin分別為順流向位移的最大值和最小值，ymax，ymin分別為橫流向位移的最大值和最小值。

對于順流向振動，由于來流作用，兩類下游圓柱及單圓柱在順流向上會有一定的偏移量。達(dá)到振動穩(wěn)定后，偏移的圓柱也會在順流向發(fā)生振動，這主要與圓柱受到的脈動阻力有關(guān)。由圖6（a）可見，振幅總體較小。隨著折減速度的變化，順流向的振幅沒有明顯的規(guī)律性。兩類雙圓柱的下游圓柱的最大振幅高于單圓柱。對于串列圓柱，下游圓柱在順流向不僅受到自身渦激力的作用，還會受到上游圓柱尾流渦脫的作用，因而順流向阻力的脈動更大，這可能是導(dǎo)致干擾狀態(tài)下順流向振幅增大的原因。

下游圓柱橫流向的最大振幅則遠(yuǎn)大于順流向，由圖6（b）可見，對于橫流向振動，隨著折減速度的變化，振幅具有先增大后減小的趨勢，振動發(fā)生在一定的折減速度范圍（Ur=4.5?10）內(nèi)。兩類雙圓柱下游圓柱的最大振幅均明顯高于單圓柱。此外，上游圓柱的振動狀況對下游圓柱的最大振幅有明顯影響：當(dāng)上游圓柱固定時，下游圓柱橫流向最大振幅為0.833D;而當(dāng)上游圓柱運動時，下游圓柱的最大振幅有增大的趨勢，達(dá)到1.054D。此外，兩類下游圓柱發(fā)生最大振幅的折減速度也不同。當(dāng)上游圓柱固定時，發(fā)生最大振幅的折減速度Ur=6.5;而當(dāng)上游圓柱運動時，下游圓柱發(fā)生最大振幅的折減速度Ur增大至7.5。

3.2 圓柱間距變化

Vandiver等[25]的研究工作表明，順流向和橫流向存在明顯的相互作用，順流向的振動不可忽略。因此，本文進(jìn)一步給出了順流向雙圓柱間距隨折減速度的變化柱狀圖（如圖7所示）。其中，順流向間距定義為雙圓柱圓心在順流向的投影距離的平均值。

由圖7可見，上下游圓柱的間距會隨著折減速度發(fā)生明顯的變化。有趣的是，兩類雙圓柱的間距變化明顯不同?？傮w上看，上游圓柱固定時，間距大于初始間距4D;而當(dāng)上游圓柱振動時，兩圓柱間距普遍小于4D。而且，在較高的折減速度（Ur=9?12）下，上游圓柱固定時，間距逐漸增大，而當(dāng)上游圓柱振動時，間距卻逐漸減小。另外，結(jié)合圖6（b），當(dāng)下游圓柱橫流向振幅最大時，其兩圓柱的順流向間距也會達(dá)到局部峰值，這也說明了順流向與橫流向的相互作用。

應(yīng)該指出的是，下游圓柱的振動會同時受到上游圓柱尾流和兩個圓柱間距比的影響;反過來，圓心間距比的改變也可能會影響到上游圓柱的流致力，從而造成上游圓柱振動特性及其尾流特性的改變，這同樣也會對下游圓柱的振動造成影響，間距比與振動之間存在復(fù)雜的耦合關(guān)系。由于本文只研究了一種間距比（P/D=4），目前尚不能分辨出兩類下游圓柱的振動差異在多大程度上是由間距比的變化造成的。

3.3 振動頻率

由上文分析發(fā)現(xiàn)，上游圓柱的振動狀況對下游圓柱的振動有顯著影響。本節(jié)將進(jìn)一步研究上游圓柱振動狀況對下游圓柱的振動頻率的影響。

3.3.1 振動頻率比

對于圓柱結(jié)構(gòu)的渦激振動問題，在一定的折減速度范圍內(nèi)，當(dāng)圓柱的橫流向振動頻率（fy）與固有頻率（fn）接近時，即fy/fn≈1，一般可認(rèn)為圓柱響應(yīng)發(fā)生振動鎖定現(xiàn)象[26]，fy通常取橫流向位移功率譜中的主頻[27]。參考文獻(xiàn)[9]，本文將0.95≤fy/fn≤1.05的頻率比區(qū)間定義為振動鎖定區(qū)。

圖8為兩類串列圓柱的下游圓柱與單圓柱橫流向振動頻率比隨折減速度的變化情況。由圖8看出，上游圓柱固定的下游圓柱無明顯振動鎖定區(qū)間，僅發(fā)現(xiàn)在Ur=6.5時出現(xiàn)fy/fn≈1。Carmo等[10]也發(fā)現(xiàn)在較小的間距（間距比為1.5，3）下，頻率比不存在明顯的振動鎖定區(qū)間，與本文P/D=4的計算結(jié)果一致。

然而，上游圓柱振動的下游圓柱卻具有明顯的鎖定區(qū)間（6≤Ur≤8），且鎖定區(qū)間范圍小于單圓柱（5.1≤Ur≤8）。另外，圖9關(guān)于鎖定區(qū)間的結(jié)果與圖6（b）的橫流向位移響應(yīng)呈現(xiàn)出良好的對應(yīng)關(guān)系，即圓柱振動的鎖定區(qū)間對應(yīng)著橫流向出現(xiàn)大幅振動的區(qū)間。

3.3.2 升力和位移功率譜

圖9給出了單圓柱與兩類串列圓柱的下游圓柱的升力系數(shù)和橫流向位移的功率譜。其中，分別選取了fy/fn<1，fy/fn≈1，fy/fn>1的典型工況。

由圖9看出，在fy/fn<1與fy/fn>1時，單圓柱及兩類情況的下游圓柱各典型工況的升力系數(shù)和橫流向位移的主頻相等，流致力的成分與振動響應(yīng)成分一致，屬于由漩渦脫落引起的強(qiáng)迫振動。

但當(dāng)fy/fn≈1時，兩類情況的下游圓柱功率譜有明顯差異。上游圓柱振動時的下游圓柱升力和位移的主頻不再相同，下游圓柱升力的3倍頻成分超越基頻起到主導(dǎo)作用（見圖9（f））。升力包括黏性力與表面壓力兩部分。陳威霖和及春寧[7]及Dahl等[8]認(rèn)為：在發(fā)生鎖定時f/fn =3對應(yīng)的非常明顯的升力成分是圓柱表面壓力引起的。

3.4 能量輸入機(jī)制

圖10給出了兩類下游圓柱及單圓柱的橫流向位移及其升力的相位差（φ）隨折減速度的變化?？梢姡S著Ur的增大，位移與升力的相位差φ從0°變?yōu)?80°，實現(xiàn)了升力和位移從“同相”到“反相”的切換。單圓柱的“相位切換”發(fā)生在Ur=6.5?8.5;上游圓柱固定時，“相位切換”發(fā)生在Ur=6.5?7;上游圓柱振動時，則發(fā)生在Ur=6.5?8。與單圓柱相比，雙圓柱“相位切換”的折減速度范圍均有所縮小。

圖11給出了兩類串列雙圓柱在典型折減速度下對應(yīng)的瞬時能量輸入圖，定義P*=C_L （t）v（t）/U為在單位時間內(nèi)，流體對圓柱橫流向振動所做的無量綱功，其中v（t）為圓柱橫流向運動速度（同樣取fy/fn<1，fy/fn≈1，fy/fn>1的典型工況）。

在fy/fn<1與fy/fn>1時，兩類串列雙圓柱能量輸入過程相似，均表現(xiàn)為位移與升力的同相位變化，此時能量輸入小;fy/fn≈1時均表現(xiàn)為位移與升力的反相位變化，此時能量輸入與fy/fn<1時相比較大。

但fy/fn≈1時，兩類雙圓柱能量輸入的過程卻有很大差異。對于上游圓柱固定的下游圓柱，由圖11（c）可見，較大的升力幅值與穩(wěn)定的相位變化，使得升力對柱體進(jìn)行規(guī)律明顯的且較大的能量輸入。而對于上游圓柱振動下的下游圓柱，由圖11（d）可見，隨著時間的推移，其能量輸入較小，并且相位的非穩(wěn)定變化擾亂了能量輸入的過程。這說明在fy/fn≈1時，上游圓柱振動的下游圓柱升力的三倍頻成分的主導(dǎo)作用會使得能量輸入過程發(fā)生顯著變化，此時二者流固耦合的機(jī)制不同。

3.5 流場結(jié)構(gòu)

為探討上游圓柱的振動狀態(tài)對串列雙圓柱流場結(jié)構(gòu)的影響，圖12給出了單圓柱、兩類雙圓柱的典型瞬時渦量圖。

由圖可見，在fy/fn<1與fy/fn>1時，單圓柱和兩類雙圓柱的尾流模態(tài)均為“2S”模態(tài)（即圓柱在一個振動周期內(nèi)脫落一對方向相反的渦）。

但是，在fy/fn≈1時且下游圓柱對應(yīng)最大振幅時尾流模態(tài)則明顯不同。

對于上游圓柱固定的雙圓柱，如圖12（e）所示，從上游圓柱的一側(cè)表面脫落的渦“撞擊”到下游圓柱的同側(cè)表面，并與下游圓柱產(chǎn)生的渦發(fā)生融合，尾流為平行渦街模態(tài)，且形成的尾流寬度大于單圓柱，見圖12（b）;而對于上游圓柱可振動的情況，見圖12（f），由于發(fā)生最大振幅時，上、下游圓柱反向振動，橫流向間隙增大，使得上游圓柱的尾渦可完全從兩圓柱之間通過，下游圓柱同側(cè)的渦量較其他工況更大。此時，從下游圓柱脫落的旋渦呈“2S”模態(tài)。另外結(jié)合圖7，圓柱順流向間距小于上游圓柱固定的情況，上游圓柱脫落的旋渦與下游柱體之間的相互耦合作用更為激烈，這可能也是導(dǎo)致下游圓柱的振幅大于上游圓柱固定時的原因之一。

4 結(jié) ?論

本文在Re=100，m*=10，P/D=4等條件下，針對兩類串列雙圓柱，通過數(shù)值模擬研究了上游圓柱的振動狀況對下游圓柱渦激振動的影響，主要結(jié)論如下：

（1）與上游圓柱固定時相比，上游圓柱的振動提高了下游圓柱的起振速度與橫流向最大振幅;另外，不同于上游圓柱振動的情況，上游圓柱固定時下游圓柱的渦激振動沒有明顯的鎖定區(qū)間。

（2）振動過程中兩類串列圓柱的間距比明顯不同。上游圓柱固定時，順流向圓柱間距普遍大于初始間距4D;而上游圓柱振動時，圓柱間距普遍小于初始間距4D。間距比是造成下游圓柱渦激振動差異的原因之一，接下來需要引入不同間距比作進(jìn)一步對比研究。

（3）兩類串列圓柱的下游圓柱發(fā)生最大振幅時能量輸入過程不同。上游圓柱振動時的下游圓柱升力3倍頻分量超越基頻分量起到主導(dǎo)作用，使得能量輸入過程的作功的幅值大幅減小。

（4）兩類串列圓柱的下游圓柱發(fā)生渦激振動的機(jī)制不同。下游圓柱發(fā)生橫流向最大振幅時，上游固定的雙圓柱尾流為平行渦街模態(tài)，而上游振動的雙圓柱尾流為 “2S”模態(tài)。

需要說明的是，本文的工作主要是在低雷諾數(shù)層流下，澄清上游圓柱的運動狀況對下游圓柱渦激振動的影響，加深對雙圓柱渦激振動現(xiàn)象物理本質(zhì)的認(rèn)識。而在實際工程中，結(jié)構(gòu)往往處于高雷諾數(shù)湍流環(huán)境下。因此，串列雙圓柱流致振動的雷諾數(shù)效應(yīng)也是今后值得研究的方向。

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Vortex-induced vibration of two types of tandem circular cylinders at low Reynolds number

DU Xiao-qing1，2， WU Wei-wei1， ZHAO Yan1， WU Ge-fei1

（1. Department of Civil Engineering， Shanghai University， Shanghai 200444， China; 2. Aerodynamic Flow Control

Research Center， Shanghai University， Shanghai 200072， China）

Abstract： In order to clarify the effect of the motion of the upstream cylinder on the vortex-induced vibration of the downstream cylinder， two different cases， namely whether the upstream cylinder is fixed or not， are taken into consideration. Numerical simulation is employed to investigate the vortex-induced vibration of the downstream cylinder at Re=100. The vibration characteristics， including amplitudes， vibration frequencies and phase lags between two cylinders， are discussed with the variation of reduced velocity. The wake flow structures and energy input mechanisms of the vortex-induced vibration are explored. Results show that the vibrating condition of the upstream cylinder imposes a significant influence on the vortex-induced vibration of the downstream cylinder. Compared with the condition of a fixed upstream cylinder， an obvious lock-in phenomenon is observed when the upstream cylinder can vibrate in two-degree-of-freedom and the downstream cylinder is subjected to a larger transverse amplitude and the maximum amplitude occurs at higher reduced velocity. In addition， the flow structures around two cylinders are different in the two cases when the downstream cylinder undergoes maximum amplitude. Parallel vortex street mode is observed when the upstream cylinder is fixed， whereas ‘2S wake mode is inspected when the upstream cylinder is allowed to vibrate.

Key words： vortex-induced vibration; twin tandem circular cylinders; wake interaction; numerical simulation; wake flow mode

作者簡介： 杜曉慶（1973-），男，教授。電話： 13916218189; E-mail： dxq@shu.edu.cn