基于空間反射鏡的點陣結(jié)構(gòu)非均勻尺寸優(yōu)化設(shè)計

張牧堯 蘇云 王超

（北京空間機電研究所，北京 100094）

0 引言

空間反射鏡作為光學遙感系統(tǒng)的主要零部件之一，對于成像品質(zhì)有著重要意義。反射鏡的質(zhì)量作為重要指標，決定著航天器的發(fā)射成本與光學相機的成像品質(zhì)。因此反射鏡結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計是如今光機結(jié)構(gòu)設(shè)計的關(guān)鍵步驟。

輕量化設(shè)計作為航空航天業(yè)內(nèi)的傳統(tǒng)課題，一般通過選擇輕質(zhì)材料以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計兩種方法實現(xiàn)。從材料的角度，采用如鈦合金、陶瓷、碳纖維復合材料等輕質(zhì)材料可達到輕量化的目的。而從結(jié)構(gòu)設(shè)計的角度，點陣結(jié)構(gòu)作為新興結(jié)構(gòu)形式，可以在實現(xiàn)減質(zhì)量的同時保持結(jié)構(gòu)的承載力，實現(xiàn)輕量化和結(jié)構(gòu)性能的完美平衡。該結(jié)構(gòu)由節(jié)點和桿件作為基本元素構(gòu)成，一般通過使用不同的單胞構(gòu)型實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的功能性變化，特點是質(zhì)量較小、比強度高以及特定部位的剛度高，并且能帶來許多熱力學特征。增材制造（3D打?。┑目焖侔l(fā)展給點陣結(jié)構(gòu)的制備提供了實現(xiàn)的條件，使設(shè)計人員能夠嘗試一些顛覆性的點陣設(shè)計方案。國內(nèi)外學者使用點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計了許多航空航天零部件[1]，如：文獻[2]在航空渦輪發(fā)動機上使用了點陣技術(shù)；文獻[3]使用點陣結(jié)構(gòu)輕量化處理制造了小型反射鏡，并對其進行了光學表面的鍍鎳處理以及X射線探傷；文獻[4]在設(shè)計相變熱控制器時填充了點陣結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了60%的輕量化率，并且結(jié)構(gòu)在受壓實驗中表現(xiàn)良好，防漏性能令人滿意。傳統(tǒng)點陣材料為均勻分布，但是非均勻點陣結(jié)構(gòu)有著更好的力學性能，可以根據(jù)結(jié)構(gòu)特性達到更好的材料分布[5-7]，一般用拓撲優(yōu)化實現(xiàn)點陣結(jié)構(gòu)的非均勻性。在結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法中，主流手段為變密度法中采用的固體各向同性材料懲罰模型（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）[8]、水平集法[9]等：文獻[10]提出一種新的變密度點陣結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化方法，通過3D打印制造出具有變密度點陣的汽車連桿；文獻[11]使用多尺度點陣拓撲優(yōu)化方法優(yōu)化了點陣結(jié)構(gòu)，得到胞元結(jié)構(gòu)在點陣之中的最優(yōu)分布。移動閾值切面法（Moving Iso-surface Threshold Topology, MIST）[12]是一種新型的拓撲優(yōu)化方法，它無需在顯示靈敏度分析的條件下完成結(jié)構(gòu)的拓撲，而且算法難度不大，利于工程人員在商業(yè)有限元軟件上實現(xiàn)。

綜上所述，點陣結(jié)構(gòu)已經(jīng)在航空航天領(lǐng)域得到了很多應用，主要體現(xiàn)在新設(shè)計提升了結(jié)構(gòu)的剛度以及輕量化率。但是，在結(jié)構(gòu)的功能性上，如提升結(jié)構(gòu)的力熱穩(wěn)定性方面還未有更多的突破。本研究致力于在使用點陣結(jié)構(gòu)實現(xiàn)輕量化設(shè)計之外，通過一定程度的優(yōu)化安裝應力，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)功能以及輕量化一體化設(shè)計。

由于傳統(tǒng)的背部開口輕量化形式不足以達到指標要求，故對于空間反射鏡進行了均勻點陣填充設(shè)計，之后基于MIST法對反射鏡進行了非均勻點陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化，在保證面形精度的條件之下，有效地提升了輕量化率，提升了結(jié)構(gòu)剛度，最后在有安裝應力的工況下驗證了結(jié)構(gòu)性能。

1 反射鏡優(yōu)化算法的數(shù)學模型

使用點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計反射鏡結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)反射鏡輕量化孔的設(shè)計方法不同，需要將傳統(tǒng)反射鏡參數(shù)分解到每一根點陣單胞的桿件之上，所以需要針對點陣結(jié)構(gòu)組成的反射鏡建立優(yōu)化的數(shù)學模型，并對于結(jié)構(gòu)的安裝應力進行分析計算。

1.1 MIST法模型

2013年，仝立勇教授提出了MIST法[12]，作為拓撲優(yōu)化方法中的一種，它旨在找到元素的權(quán)重因子x與等值面S的閾值t，使得結(jié)構(gòu)設(shè)計中的某個變量J（如結(jié)構(gòu)應變能）最小化，約束條件則為結(jié)構(gòu)的材料約束gs以及有限元方程gr。具體形式為：

式中xl為結(jié)構(gòu)參量的最小值；xu為結(jié)構(gòu)設(shè)計參量的最大值。

MIST法定義了一個響應函數(shù)的曲面φ（一般為應力或者應變能的函數(shù)），然后使用一個等值面S去切割該響應函數(shù)，它們相交的輪廓作為結(jié)構(gòu)的邊界。MIST法迭代開始前的初始化中，對于設(shè)計空間進行有限元網(wǎng)格的劃分并存儲節(jié)點單元信息；與SIMP法的相似之處是，MIST法在每一個有限元網(wǎng)格之中均設(shè)置了權(quán)重因子x，該值若為0，則相當于拓撲優(yōu)化中的孔洞材料（該單元無結(jié)構(gòu)材料分布），若為1，則相當于拓撲優(yōu)化中的實體材料分布（該單元有結(jié)構(gòu)材料分布）。之后在每個有限單元節(jié)點上計算響應函數(shù)的值，并生成響應函數(shù)的曲面φ；然后使用等值面S切割響應函數(shù)曲面φ，等值面S的閾值t由結(jié)構(gòu)的體積約束決定，在權(quán)重因子x更新的過程之中，所有元素單元的響應函數(shù)值大于等值面的閾值t時讓單元向?qū)嶓w材料方向演變（權(quán)重因子變向1），當單元的響應值小于等值面的閾值時讓單元向孔洞材料方向演變（權(quán)重因子變向0）。若單元中的響應值既有在等值面閾值之上以及等值面閾值之下的，權(quán)重因子x則為在等值面閾值以上部分的響應函數(shù)的投影面積分數(shù)。若x和t的值均收斂則結(jié)束循環(huán)，否則進入下一循環(huán)。

MIST法的具體操作流程圖如圖1所示。

等值面S對應的閾值t使用二分法進行計算，具體計算方法如下：

1）令tmax0= max(φ),tmin0= min(φ)，其中tmax0和tmin0為二分法首次迭代的參數(shù)。2）計算水平等值面對應的閾值。其中tk為k次循環(huán)時的閾值。

3）在全部有限單元計算域內(nèi)計算φ-tk的值，若計算值均為正，則該單元節(jié)點為實體則增加xjk；若計算值均為負為孔洞則減少xkj；若有正有負則根據(jù)兩部分對應面積的比例計算。其中xkj為k次循環(huán)時第j個單元的權(quán)重因子值。

4）若迭代到k次循環(huán)時的結(jié)構(gòu)總體積kV、結(jié)構(gòu)總體積

約束Vcons與二分法的收斂指標數(shù)ζ滿足則結(jié)束循環(huán)。

1.2 基于MIST的點陣桿件結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

本文基于MIST法對于反射鏡的點陣結(jié)構(gòu)進行了桿件的尺寸優(yōu)化。點陣結(jié)構(gòu)的主要參數(shù)為桿件長度以及桿徑大小，故將桿件的橫截面積作為MIST法之中的權(quán)重因子。優(yōu)化模型之中包含了結(jié)構(gòu)的體積約束，桿件截面積的下限一般由增材制造的工藝水平?jīng)Q定。

點陣優(yōu)化算法的數(shù)學模型列式如下：

圖1 MIST法優(yōu)化流程Fig.1 Flow chart of MIST method optimization

式中 設(shè)計變量iA為桿件的橫截面積；f(r)為結(jié)構(gòu)總形變勢能；F為結(jié)構(gòu)的外載荷向量；K為有限元結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣；U為有限元節(jié)點位移向量；Li為點陣單胞桿件的長度；為點陣桿件的體積約束；aA為桿件橫截面積上限；bA為桿件橫截面積下限。本文使用結(jié)構(gòu)的形變勢能作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的響應函數(shù)，故根據(jù)材料力學，它的具體表達式為：

式中iF為桿件受到的軸力；E為材料的彈性模量。點陣優(yōu)化模型的目標函數(shù)為結(jié)構(gòu)的固有頻率（剛度）最大，根據(jù)式可知剛度最大可轉(zhuǎn)化為形變勢能最小。

1.3 擰緊力矩M

對于空間反射鏡的安裝來說，鏡面面形精度一般要求為納米級別，所以不僅要保證連接部件的螺釘強度足夠抵消發(fā)射振動，還要準確控制預緊力矩，以免對于反射鏡面形造成精度缺失。金屬反射鏡與鏡框之間的連接方式為螺栓連接，將反射鏡使用螺栓連接至鏡框上時，需要克服螺紋的螺紋阻力矩M1以及螺釘頭和連接件支撐面的摩擦力矩M2。其中，擰緊力矩M可以用如下形式表征[13]：

式中F'為螺釘?shù)念A緊力；d2為螺紋中徑；d為螺紋大徑；φ為螺紋升角，其中P為螺距；ρ'為螺紋副的當量摩擦角，ρ' = arctanμ，其中μ為螺紋當量摩擦因數(shù)；μe為螺釘頭與聯(lián)接件支撐面之間的摩擦因數(shù)；1D為螺釘頭聯(lián)接面的外徑；d0為釘孔直徑；tQ為擰緊力矩因數(shù)，與螺釘尺寸、螺紋副和支撐面的摩擦因數(shù)等有關(guān)。

2 反射鏡結(jié)構(gòu)的優(yōu)化分析

2.1 優(yōu)化方案

本文中的反射鏡在自由邊界條件之下，主鏡頻率要高于550Hz，質(zhì)量不能超過850g，面形均方根誤差故使用基于MIST的優(yōu)化方法對于190mm鋁合金反射鏡進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。反射鏡材料采用可增材制造的AlSi10Mg，材料參數(shù)彈性模量為62GPa，泊松比為0.32，目標后續(xù)以3D打印制備反射鏡。反射鏡采用側(cè)面三點支撐方法。根據(jù)設(shè)計經(jīng)驗，反射鏡設(shè)計模型之中初始側(cè)面壁厚為2mm，鏡面厚度為4mm，設(shè)計空間邊緣厚度為3mm，反射鏡的初始結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 反射鏡初始結(jié)構(gòu)示意Fig.2 The initial structure of space mirror schematic

使用3-matic軟件對設(shè)計空間進行均勻點陣結(jié)構(gòu)的填充，設(shè)計空間為實體鏡坯。圖3單胞為6mm×6mm×6mm的BCC點陣單胞，填充整體設(shè)計空間后，單胞個數(shù)為220個，邊緣處點陣分布5層，中心處點陣分布4層。點陣邊界處使用基于表面網(wǎng)格的方式處理，手動將邊界網(wǎng)格節(jié)點連接至單胞節(jié)點之上，最后填充之后的整體點陣如圖4所示?？梢钥吹剑嗽诜瓷溏R與實體接觸部分使用了表面網(wǎng)格的形式填充，其余點陣單胞均勻分布在反射鏡內(nèi)部結(jié)構(gòu)之中，此填充模型將作為下節(jié)點陣橫截面積優(yōu)化的初始輸入。

圖3 BCC單胞示意Fig.3 BCC lattice cell structure

使用基于MIST法對于點陣結(jié)構(gòu)進行非均勻尺寸優(yōu)化，優(yōu)化問題描述如下：外載荷為螺紋孔處的安裝應力，基于衛(wèi)星環(huán)境規(guī)范以及擰緊力矩的計算公式計算得扭矩2.5N·m，約束條件為鏡面位移最小以及點陣結(jié)構(gòu)體積（質(zhì)量）上限值，目標函數(shù)為點陣結(jié)構(gòu)的總應變能最低（剛度最大），設(shè)計變量為點陣結(jié)構(gòu)的桿件截面積局部最優(yōu)。初始設(shè)置桿件的直徑為1.2mm，根據(jù)工藝要求，桿件直徑最小為0.8mm，最大為2.4mm。使用優(yōu)化程序優(yōu)化桿徑變量，經(jīng)過300次迭代過后，得到的點陣優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。

圖5 中點陣結(jié)構(gòu)桿徑的大小分布非均勻性明顯，在螺栓耳片位置以及中心孔附近的桿徑明顯大于其他位置的桿徑，結(jié)果與預期設(shè)計相符合。結(jié)合連續(xù)體的拓撲優(yōu)化結(jié)果，外觀也是相似的。表1為優(yōu)化前后均勻點陣與非均勻點陣的設(shè)計結(jié)果對比。

圖4 均勻點陣填充反射鏡結(jié)構(gòu)Fig.4 Uniform lattice infill space mirror

圖5 優(yōu)化后的非均勻點陣Fig.5 Non-uniform lattice after optimization

表1 點陣優(yōu)化設(shè)計參數(shù)結(jié)果Tab.1 Parameters result of lattice optimization design

表1 中，優(yōu)化之后的非均勻點陣結(jié)構(gòu)中單胞個數(shù)仍為220個，桿件個數(shù)為1129，桿件截面直徑最大為1.8mm，最小為0.8mm。優(yōu)化后的剛度相對于均勻點陣結(jié)構(gòu)提升明顯。

2.2 性能分析以及對比

為了模擬反射鏡安裝狀態(tài)，對于優(yōu)化結(jié)果進行安裝應力的工況分析。不同于以上優(yōu)化工況，選擇在螺紋孔處施加0.01mm的法向強迫位移模擬安裝，另外附加沿Y軸向下的重力（反射鏡光軸豎直狀態(tài)）。在此工況下，對比分析傳統(tǒng)背部輕量化形式以及非均勻點陣結(jié)構(gòu)形式的反射鏡的面形精度。有限元分析得到的節(jié)點位移僅為節(jié)點各個自由度的位移量，包含了結(jié)構(gòu)的剛體位移，故對于節(jié)點位移進行處理，使用基于Zernike多項式擬合的仿真技術(shù)得到反射鏡面形，見表2。

表2 兩種結(jié)構(gòu)面形精度以及質(zhì)量對比Tab.2 Comparison of mass and surface shape between two sturctures

表2 對兩種質(zhì)構(gòu)形式的質(zhì)量以及剛度進行了對比，統(tǒng)背部開口形式反射鏡和點陣結(jié)構(gòu)反射鏡均可以滿足結(jié)構(gòu)剛度和面形的要求，而經(jīng)過非均勻點陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的反射鏡鏡面面形比起常規(guī)形式來說，質(zhì)量減少了20%，輕量化率得到了明顯提升。由此可見，非均勻點陣反射鏡結(jié)構(gòu)應用于小口徑金屬反射鏡上，具有著輕量化以及功能化的優(yōu)勢。圖6為兩種結(jié)構(gòu)形式的反射鏡節(jié)點位移對比。

圖6 優(yōu)化后反射鏡節(jié)點位移Fig.6 Mirror optimization displacement result

由圖6（a）優(yōu)化后的非均勻點陣結(jié)構(gòu)節(jié)點位移云圖與圖6（b）所示的傳統(tǒng)點陣結(jié)構(gòu)節(jié)點位移云圖的對比來看，除了施加強迫位移處的最大節(jié)點位移相似，其余節(jié)點均有著不同程度的減少，在中心孔處的節(jié)點位移優(yōu)化程度尤為明顯。

為了分析非均勻點陣結(jié)構(gòu)對于不同安裝應力的面形精度影響，改變了強迫位移的大小，如圖7所示，當施加少于0.01mm的強迫位移時，非均勻點陣結(jié)構(gòu)和傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的面形精度較為一致，但是隨著強迫位移的逐漸加大，非均勻點陣結(jié)構(gòu)的面形精度的優(yōu)勢越為明顯，可以承受更高的安裝應力。

由圖6~7以及表2可以看出，使用了非均勻點陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的金屬反射鏡，鏡體節(jié)點變形量顯著下降，剛度得到了明顯提升，驗證了優(yōu)化目標函數(shù)的合理性。

圖7 兩種結(jié)構(gòu)在不同強迫位移下的面形對比Fig.7 Comparison of surface shape of two structures under different forced displacements

3 結(jié)束語

本文基于MIST法對于空間金屬反射鏡進行了非均勻點陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化設(shè)計，在輕量化的同時提升了反射鏡的剛度，獲得了較好的面形精度，且有效抵消卸載了部分安裝應力。與傳統(tǒng)的蜂窩式輕量化結(jié)構(gòu)形式相比，具有設(shè)計裕度大、針對目的性強等優(yōu)勢。點陣結(jié)構(gòu)的形式可以推廣到整個相機結(jié)構(gòu)以及其他部件之上，使得整體光機結(jié)構(gòu)獲得更高的結(jié)構(gòu)性能。