一類(lèi)食餌具有Allee 效應(yīng)的捕食-食餌模型的分歧解

曹 倩, 李艷玲

(1- 長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064; 2- 陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710119)

1 引言

Allee 效應(yīng)指的是種群密度低時(shí)，種群?jiǎn)挝辉鲩L(zhǎng)率和種群密度之間正相關(guān)，該效應(yīng)是當(dāng)前反應(yīng)擴(kuò)散模型研究中的熱點(diǎn)問(wèn)題.近年來(lái)，許多實(shí)驗(yàn)表明物種存在雙Allee 效應(yīng)，例如，一種瀕臨滅絕的物種—島嶼灰狐，它們?cè)a(chǎn)于美國(guó)加利福尼亞州海峽群島的六個(gè)島嶼.金雕的捕食是幼年和成年島嶼灰狐的主要威脅.此外，它們?cè)谖锓N密度較低的情況下，雌性繁殖的可能性降低，這是由于雌性懷孕前缺乏配偶以及很難找到新的配偶.因此，島嶼灰狐的生長(zhǎng)速度受到雙Allee 效應(yīng)的影響(繁殖困難帶來(lái)的Allee 效應(yīng)和捕食驅(qū)動(dòng)的Allee 效應(yīng)).在海洋生態(tài)系統(tǒng)中也存在雙Allee 效應(yīng)[1].然而，形成雙Allee 效應(yīng)的機(jī)制有很多，雙Allee 效應(yīng)對(duì)生物多樣性保護(hù)很重要并且給系統(tǒng)帶來(lái)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，因此研究雙Allee 效應(yīng)是十分必要的.本文研究如下食餌帶有雙Allee 效應(yīng)的捕食-食餌模型

圖1 弱Allee 效應(yīng)和強(qiáng)Allee 效應(yīng)定義的圖示

近幾十年來(lái)，很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)捕食-食餌型模型進(jìn)行了廣泛的研究[2–14]，其中文獻(xiàn)[2]研究了在齊次Dirichlet 邊界條件下一類(lèi)具有強(qiáng)Allee 效應(yīng)的捕食-食餌模型共存解的存在性.文獻(xiàn)[3]研究了一類(lèi)具有脈沖擾動(dòng)的隨機(jī)捕食-食餌系統(tǒng)的周期解和平穩(wěn)分布.文獻(xiàn)[4,5]分別研究了帶有加法Allee 效應(yīng)和乘法Allee 效應(yīng)的捕食-食餌模型共存解的惟一性和多解性.然而在齊次Neumann 邊界條件下帶有雙Allee 效應(yīng)的擴(kuò)散捕食-食餌模型的研究很少見(jiàn).因此，本文主要研究系統(tǒng)(1)所對(duì)應(yīng)平衡態(tài)系統(tǒng)的分歧解的存在性.下面考慮系統(tǒng)(1)相應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)

2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)利用穩(wěn)定性理論分別研究強(qiáng)Allee 效應(yīng)和弱Allee 效應(yīng)情形下系統(tǒng)(2)常數(shù)解的穩(wěn)定性.這對(duì)后面分歧解的研究有著重要作用.

首先，我們研究強(qiáng)Allee 效應(yīng)(0＜β ＜1)的情形.此時(shí)，系統(tǒng)(2)有四個(gè)常數(shù)解：平凡解(0,0)，半平凡解(1,0)和(β,0)，唯一的正常數(shù)解(θ,vθ)，其中

當(dāng)且僅當(dāng)β ＜θ ＜1 時(shí)，正常數(shù)解(θ,vθ)存在.

為了記號(hào)簡(jiǎn)單，我們記u=(u,v)和

下面我們得到G(u)在u*=(u*,v*)處的線性化

其中

假設(shè){λn}是-Δ 在齊次Neumann 邊界條件下的一列可列特征值，滿(mǎn)足0 =λ0＜λ1＜λ2＜··· ＜λj ＜···.設(shè)mj是λj(j= 0,1,2,···)的代數(shù)重?cái)?shù)并且φjk(1≤k ≤mj)為λj對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征函數(shù).下面定義

容易得到

下面將系統(tǒng)(2)在u*處線性化

其中

下面記

其中A(u*,v*), B(u*,v*), C(u*,v*)和D(u*,v*)如上所述.

假設(shè)(Φ(x),Ψ(x))是L算子相應(yīng)于特征值μ的特征函數(shù).那么有

令

則可得到

因此，我們知道當(dāng)且僅當(dāng)存在某個(gè)j ≥0，使得矩陣μI-Jj的行列式等于0，即

其中

因此，類(lèi)似于文獻(xiàn)[15]，我們有以下結(jié)論：

(i)

顯而易見(jiàn)，(0,0)局部漸近穩(wěn)定.

(ii)

顯而易見(jiàn)，(β,0)不穩(wěn)定.

(iii)

當(dāng)θ ＞1 時(shí)，我們得到tr(Ji)＜0 和det(Ji)＞0(i ≥0).因此，(1,0)局部漸近穩(wěn)定；

當(dāng)0＜θ ＜1 時(shí)，我們得到

所以(1,0)不穩(wěn)定.

(iv)

其中

令

那么A(θ) = 0 等價(jià)于f1(θ) = 0.由f1(θ)的表達(dá)式知，當(dāng)θ ∈(-α,+∞)時(shí)，f1(θ)單調(diào)遞減，所以f1(θ)在θ ∈(β,1)?(-α,+∞)時(shí)單調(diào)遞減.此外

那么存在唯一的

使得

(a) 當(dāng)β ＜θ*＜θ ＜1 時(shí)，我們得到tr(Ji)＜0 和det(Ji)＞0(i ≥0).因此(θ,vθ)局部漸近穩(wěn)定.

(b) 當(dāng)β ＜θ ＜θ*＜1 時(shí)，我們得到A(θ)＞0.對(duì)于i=0，我們有tr(J0)＞0，這說(shuō)明(5)至少有一個(gè)有正實(shí)部的根.因此(θ,vθ)不穩(wěn)定.

綜上可得下面的定理，給出強(qiáng)Allee 效應(yīng)(0＜β ＜1)情形下常數(shù)平衡解(0,0),(β,0),(1,0)和(θ,vθ)的穩(wěn)定性.

定理1 假設(shè)du, dv, α, δ ＞0,0＜β ＜1.那么有下列結(jié)論：

(i) 當(dāng)θ ＞0 時(shí)，(0,0)局部漸近穩(wěn)定；

(ii) 當(dāng)θ ＞0 時(shí)，(β,0)不穩(wěn)定；

(iii) 當(dāng)θ ＞1 時(shí)，(1,0)局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)0＜θ ＜1 時(shí)，(1,0)不穩(wěn)定；

(b) 當(dāng)β ＜θ*＜θ ＜1 時(shí)，(θ,vθ)局部漸近穩(wěn)定.

接下來(lái)，我們考慮弱Allee 效應(yīng)(-1＜β ＜0)的情形，此時(shí)系統(tǒng)(2)有平凡解(0,0)，半平凡解(1,0)和唯一正常數(shù)解(θ,vθ)，其中當(dāng)且僅當(dāng)0＜λ ＜1 時(shí)，(θ,vθ)存在.下面我們研究這些常數(shù)解的穩(wěn)定性，下述穩(wěn)定性定理證明與定理1 類(lèi)似，此處定理證明省略.

定理2 假設(shè)du, dv, α, δ ＞0,-1＜β ＜0.那么下述結(jié)論成立：

(i) 當(dāng)θ ＞0 時(shí)，(0,0)不穩(wěn)定；

(ii) 當(dāng)0＜θ ＜1 時(shí)，(1,0)不穩(wěn)定；當(dāng)θ ＞1 時(shí)，(1,0)局部漸近穩(wěn)定；

(iii) 如果

那么(θ,vθ)局部漸近穩(wěn)定.

3 分歧解的存在性

這一節(jié)，我們分別對(duì)強(qiáng)Allee 效應(yīng)(0＜β ＜1)和弱Allee 效應(yīng)(-1＜β ＜0)的分歧解進(jìn)行分析.我們以du為分歧參數(shù)，并利用局部分歧理論研究正常數(shù)解(θ,vθ)鄰域上局部分歧解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).當(dāng)研究Ω=(0,l)時(shí)，系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)的如下橢圓系統(tǒng)

下面，我們考慮特征值問(wèn)題

這個(gè)特征值問(wèn)題有一系列簡(jiǎn)單特征值

和相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化特征函數(shù)

顯然，這些特征函數(shù)構(gòu)成L2(0,l)上一組正交基.

并把S看做具有C2(Ω)范數(shù)的Banach 空間.易知系統(tǒng)(7)的解是映射?F: (0,∞)×S →Y的零點(diǎn)，所以

對(duì)某個(gè)τ ＞0，如果?F(τ,(θ,vθ))在(0,∞)×S上的鄰域包含不同于(du,(θ,vθ))(du ＞0)的零點(diǎn)，那么(τ,(θ,vθ))為方程?F= 0 的分歧點(diǎn).根據(jù)文獻(xiàn)[16]的定理1.7，如果下述條件成立，則(τ,(θ,vθ))為方程?F=0 的分歧點(diǎn).

綜上，我們得到下述強(qiáng)Allee 效應(yīng)(0＜β ＜1)情形下的局部分歧結(jié)論.

定理3 假設(shè)

和當(dāng)k/=j時(shí)，dj/=dk，那么(dj,(θ,vθ))是?F= 0 的一個(gè)分歧點(diǎn).并且，當(dāng)|s|足夠小時(shí)，系統(tǒng)(2)有一個(gè)單參數(shù)的非常數(shù)解Γj(s)=(du(s),u(s),v(s))，其中和du(0)=dj.此外，du(s), u(s), v(s)是關(guān)于s連續(xù)可微的函數(shù).

證明 考慮?F(du,u)關(guān)于u 在正常數(shù)解(θ,vθ)處的Fr′echet 導(dǎo)數(shù)及?Fu(du,(θ,vθ))的伴隨算子

其中

由此可得

取du=dj，則有

所以，我們得到

因此條件(b)成立.

最后，因?yàn)?/p>

我們得到

所以條件(c)成立.

類(lèi)似于定理3 的證明方法，我們可以證明弱Allee 效應(yīng)(-1＜β ＜0)情形下的局部分歧結(jié)論.此處證明過(guò)程省略.

定理4 假設(shè)

和當(dāng)k/=j時(shí)，dj/=dk，那么(dj,(θ,vθ))是?F= 0 的一個(gè)分歧點(diǎn).并且，當(dāng)|s|足夠小時(shí)，系統(tǒng)(2)有一個(gè)單參數(shù)的非常數(shù)解Γj(s)=(du(s),u(s),v(s))，其中

和du(0)=dj.此外，du(s), u(s), v(s)是關(guān)于s連續(xù)可微的函數(shù).

4 數(shù)值模擬

本節(jié)利用Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，用以驗(yàn)證前面的理論分析.這里研究強(qiáng)Allee 效應(yīng)(0＜β ＜1)的情況.弱Allee 效應(yīng)情形可以用類(lèi)似的方法研究.

圖2 中的參數(shù)選取α=1, β=0.2, δ=3, θ=0.4, l=3, t=2000，此時(shí)

圖3 中的參數(shù)選取α=1, β=0.2, δ=3, θ=0.8, l=3, t=2000.此時(shí)

圖2 和圖3 驗(yàn)證了定理1 和定理3：強(qiáng)Allee 情形下，存在一個(gè)臨界值θ*，使得當(dāng)θ ∈(θ*,1)時(shí)，(θ,vθ)局部漸近穩(wěn)定；而當(dāng)θ ∈(β,θ*)時(shí)，(θ,vθ)不穩(wěn)定，此時(shí)系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)非常數(shù)正解.

圖3 λ ＞λ*時(shí)，系統(tǒng)(1)共存解(u,v)的時(shí)空?qǐng)D和系統(tǒng)(1)在t=2000 時(shí)，共存解(u,v)的空間分布

圖2 λ ＜λ*時(shí)，系統(tǒng)(1)共存解(u,v)的時(shí)空?qǐng)D和系統(tǒng)(1)在t=2000 時(shí)，共存解(u,v)的空間分布

5 結(jié)語(yǔ)

本文主要運(yùn)用穩(wěn)定性理論和局部分歧理論研究了一類(lèi)食餌具有雙Allee 效應(yīng)的捕食-食餌模型，得到了該模型常數(shù)解的穩(wěn)定性、分歧解的存在性和分歧解的性質(zhì).結(jié)果表明，當(dāng)

和當(dāng)k/=j時(shí)，dj/=dk，那么(dj,(θ,vθ))是?F=0 的一個(gè)分歧點(diǎn)；當(dāng)

和當(dāng)k/=j時(shí)，dj/=dk，那么(dj,(θ,vθ))是?F=0 的一個(gè)分歧點(diǎn).