數(shù)學(xué)教學(xué)如何實(shí)現(xiàn)“懂”與“會(huì)”的零距離對(duì)話

吳嫦娥

[摘? 要] “懂”代表理解別人的想法，可以順其思路解決問題，然難于獨(dú)自解決問題;“會(huì)”表示可以獨(dú)立思考、提出自己的見解，按照自己的思路解決問題，做到學(xué)以致用. 要拉近“懂”與“會(huì)”的距離，就要求教師在數(shù)學(xué)概念、公式、例題、習(xí)題教學(xué)中精心籌備，通過深層次探究引導(dǎo)學(xué)生把握問題本質(zhì)，從而做到“懂并會(huì)”.

[關(guān)鍵詞] 解決問題;學(xué)以致用;問題本質(zhì)

在學(xué)習(xí)中學(xué)生往往遇到這樣的困惑，一聽就懂，一做就錯(cuò). 產(chǎn)生這一現(xiàn)象可能有兩方面的原因：一方面原因來源于學(xué)生，由于學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)不夠深入，對(duì)概念、公式、定理的理解都停留于表象，對(duì)其內(nèi)涵與外延不曾有效拓展，從而造成題目變化時(shí)因思維缺乏變通性而無法打開思路，從而無從下手;另一方面原因來源于教師，教師教學(xué)時(shí)，對(duì)學(xué)生學(xué)情分析不足，沒有真正地從學(xué)生視角去思考問題，以至于學(xué)生對(duì)題意理解出現(xiàn)偏差，只有通過引導(dǎo)才能順利解決問題.教學(xué)中教師要改變這一現(xiàn)狀，首先得放下架子，深入了解學(xué)生，多從學(xué)生的角度設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題、分析問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性.習(xí)題雖然千變?nèi)f化，但知識(shí)點(diǎn)卻是不變的，培養(yǎng)學(xué)生以不變應(yīng)萬變的能力，就需要思維的變通性.那么如何提高和培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性，使之靈活解決問題呢？筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，談了幾點(diǎn)自己的看法.

概念教學(xué)既要關(guān)注于內(nèi)涵，也要拓展其外延

概念是前人智慧的結(jié)晶，是解決問題的理論依據(jù)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的保障.然部分同學(xué)認(rèn)為概念很簡(jiǎn)單，看一下就懂了，完全不需要學(xué)習(xí)，只要多做些練習(xí)題就可以了. 正由于對(duì)概念學(xué)習(xí)的不屑一顧，對(duì)概念內(nèi)涵和外延的漠不關(guān)心，使學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)停留于表象，沒有深入理解和掌握，這樣會(huì)嚴(yán)重制約知識(shí)的遷移. 同時(shí)，對(duì)概念的理解不能深入，也會(huì)使思維缺乏變通性，在遇到靈活應(yīng)用概念解決問題時(shí)而碰壁. 因此，在教學(xué)中一定要重視概念教學(xué)，改變照本宣科的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵及外延進(jìn)行深入學(xué)習(xí).

例如在教學(xué)橢圓概念時(shí)，定義給出后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行再學(xué)習(xí).

師：請(qǐng)拿出課前準(zhǔn)備好的細(xì)線，同桌合作一起繪制橢圓. 繪制后請(qǐng)描述繪制過程.

生1：我們分工合作，一個(gè)人按住細(xì)線的兩端，一個(gè)人用筆將線拉直后繪制一圈從而畫出橢圓.

師：是這樣嗎？（教師用動(dòng)畫展示橢圓繪制過程，學(xué)生紛紛點(diǎn)頭表示采用了同樣的畫法.）

師：請(qǐng)結(jié)合繪制過程對(duì)橢圓的定義加以陳述.

生2：按住的兩端即兩定點(diǎn)F ，F(xiàn) ，筆尖可以看成動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F ，F(xiàn) 的距離之和即為繩長(zhǎng)，為常數(shù)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡叫做橢圓.F ，F(xiàn) 為焦點(diǎn)，線段F F 為焦距.

師：很好.若令PF +PF =2a（a為常數(shù)），F(xiàn) F 與2a滿足什么條件才可以繪制出橢圓呢？

生3：必須滿足F F <2a.若F F =2a，點(diǎn)P的軌跡是線段;若F F >2a，點(diǎn)P的軌跡是不存在的.

橢圓定義學(xué)習(xí)后，教師讓學(xué)生繼續(xù)鞏固內(nèi)涵并注意外延的學(xué)習(xí)，通過親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)和動(dòng)畫演示，讓學(xué)生對(duì)橢圓、焦點(diǎn)、焦距等相關(guān)概念都有了直觀的感受，親身體驗(yàn)自然也會(huì)印象深刻.概念理解后，教師引導(dǎo)學(xué)生分析焦距和常數(shù)的關(guān)系，充分體驗(yàn)概念的外延.經(jīng)過內(nèi)涵與外延的深入研究，定會(huì)使學(xué)生在應(yīng)用概念時(shí)得心應(yīng)手.

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與其他學(xué)科不同，對(duì)其考查的方式往往是滲透于習(xí)題中，只有準(zhǔn)確地把握，充分地理解，才能合理地運(yùn)用.

例1：如圖1，已知點(diǎn)A為橢圓 + =1內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求PA+PF的最大值和最小值.

嘗試1：直接設(shè)坐標(biāo)求解. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），則PA+PF= + . 該思路簡(jiǎn)潔明了，然不知如何進(jìn)行消元計(jì)算，求解時(shí)碰壁了，因此必須另辟蹊徑.

嘗試2：幾何法. 若使PA+PF值最小，考慮點(diǎn)P是否可以在線段AF上，然點(diǎn)P為橢圓上的點(diǎn)，該想法不成立.

嘗試3：定義法.根據(jù)定義可將題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，其坐標(biāo)為F′（3，0），PF+PF′=2a=10，則PA+PF=PA+10-PF′=10+PA-PF′.若點(diǎn)P在AF′延長(zhǎng)線上，PA-PF'最大為AF′= ;若點(diǎn)P在F′A延長(zhǎng)線上，則PA-PF′最小為-AF′= - . 因此10- ≤PA+PF≤10+ .

該方法靈活地運(yùn)用了橢圓的定義，把PF用PF′表示，將兩線段和的最值問題轉(zhuǎn)化為兩線段差的最值問題，從而得到解決.我們還可以繼續(xù)將這個(gè)問題改變數(shù)量大小，且利用向量的語言來刻畫，便得到如下較新穎的問題：

已知平面向量a，b，e滿足：b=e=1，b·e=0，a+e+a-e=4，則a-b+a-e的最小值為________.

解題思路分析：本題表面看是平面向量問題，實(shí)質(zhì)上由平面向量加減法的幾何意義可知，a的終點(diǎn)軌跡為橢圓，再結(jié)合橢圓定義參照例1的解法可得最小值為4- .

公式教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清本質(zhì)

大多數(shù)學(xué)生都意識(shí)到數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也非常重視公式的積累，然存在公式背得滾瓜爛熟，用起來卻無從下手，究其原因主要是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)公式的學(xué)習(xí)過于符號(hào)化、表面化，沒有真正認(rèn)清公式的本質(zhì).因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從公式獲得、證明、應(yīng)用三方面進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，以掌握公式本質(zhì)，從而培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S.

例2：設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，a2，a3，…，an，…的前n項(xiàng)和.

該題看上去簡(jiǎn)單，但在一次測(cè)試中其正確率卻不足50%，問題就出現(xiàn)在公式理解不到位.

錯(cuò)因分析：對(duì)等比數(shù)列定義考慮不足.此題不一定為等比數(shù)列，例如a=0;同時(shí)，a≠0該數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，求和時(shí)也要對(duì)公比a是否為1進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)素養(yǎng).我們都知道，分類討論是學(xué)生的普遍弱項(xiàng)，如何突破，關(guān)鍵也在于在概念公式的準(zhǔn)確理解和把握，其正解如下：

①當(dāng)a=0時(shí)，S =0;

②當(dāng)a=1時(shí)，S =n;

③當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，S =a+a2+a3+…+an= .

該題求解發(fā)生錯(cuò)誤暴露出學(xué)生思維不嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)公式的理解不夠準(zhǔn)確，對(duì)可能存在的情況缺乏合理的判斷.例如此題發(fā)生的錯(cuò)誤首先是對(duì)是否為等比數(shù)列缺乏合理的分析，其次又忽視了公比q=1的情況，因此，在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握其本質(zhì)，從而提高應(yīng)用的靈活性和準(zhǔn)確性.

例題、習(xí)題教學(xué)充分發(fā)揮其示范功能

具有代表性和示范性的數(shù)學(xué)例題、習(xí)題，是學(xué)生消化概念、公式、結(jié)論的工具，是提升學(xué)生解決問題能力的重要途徑，因此在教學(xué)中要利用好例題、習(xí)題.為強(qiáng)化例題、習(xí)題功能，教學(xué)中常采用變式教學(xué)，讓學(xué)生通過“變”發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，利用“不變”的規(guī)律解決問題，這樣既有利于發(fā)展學(xué)生的思維，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新意識(shí).

例3：若直線y=x+b與拋物線x2=2y相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試求b.

此題為教材習(xí)題，求解得b=2.為了讓學(xué)生可以多層次、多角度地理解此題，教師可以按照由淺入深的方式將題目進(jìn)行重新改編和拓展，使學(xué)生對(duì)此類型題目有更深的認(rèn)識(shí)，從而提升學(xué)生解題的信心.

變式1：已知點(diǎn)C（0，2）為直線l上一點(diǎn)，直線l與拋物線x2=2y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

變式2：直線l與拋物線x2=2y相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線l過定點(diǎn)（0，2）.

變式3：直線l與拋物線x2=2py（p>0）相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線l過定點(diǎn)（0，2p）.

該問題中直線過定點(diǎn)、拋物線、垂直關(guān)系是三個(gè)基本要素，教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生把握這三個(gè)要素之間的關(guān)系，靈活設(shè)置問題，從而深刻理解問題的本質(zhì)，不僅如此，也可以引導(dǎo)學(xué)生研究或收集橢圓、雙曲線中的相關(guān)問題，從而觸類旁通，收獲一類問題的解法.

在探究中發(fā)現(xiàn)規(guī)律認(rèn)清問題本質(zhì)

有學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的，因過于抽象而無法點(diǎn)燃學(xué)習(xí)熱情，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是對(duì)數(shù)學(xué)問題缺乏探究，學(xué)習(xí)僅停留在懂的狀態(tài)，沒有認(rèn)清問題的本質(zhì)，缺乏獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力.數(shù)學(xué)是豐富多彩的，題目是千變?nèi)f化的，在具體問題解決后，應(yīng)讓思維再“跳一跳”，通過探究認(rèn)清本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提升解決問題的能力.

例4：已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，且滿足3 +2 + =0，則S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=________.

問題解析：已知給出3 +2 + =0似乎很難入手，此時(shí)是否可以結(jié)合重心的表示，將問題看成 + + =0，利用重心的性質(zhì). 大膽假設(shè)后，思路被打開了.

若O為△ABC的重心，則S△AOB=S△AOC=S△BOC= S△ABC，即S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1.

求解過程：根據(jù)此設(shè)想繪制圖形，延長(zhǎng)OA至A′，使OA′=3OA，延長(zhǎng)OB至B′，使OB′=2OB，連結(jié)A′B′，B′C，A′C，從而得到△A′B′C，則 =3 ， =2 ， + + =0. 由O為△A′B′C的重心，

則S△A′OB′=S△A′OC=S△B′OC= S△A′B′C，

S△AOC= S△A′OC= S△A′B′C，

S△BOC= S△B′OC= S△A′B′C，

S△AOB= S△A′OB= S△A′B′C，

所以S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶3∶2.

解本題時(shí)運(yùn)用了三角形重心這個(gè)特殊情況，通過這一特殊情況來進(jìn)行挖掘和構(gòu)造，從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，通過大膽地嘗試，得到了柳暗花明的結(jié)果. 問題解決后，還可以繼續(xù)嘗試將其更改為x +y +z =0，求S△AOB∶S△BOC∶S△AOC，根據(jù)上面的分析，很容易得出答案，即為z∶x∶y，當(dāng)發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)后，其相同類型的題目也就迎刃而解了.

總之，“懂”與“會(huì)”之間看似相同卻存在本質(zhì)的差異，教師要認(rèn)真鉆研教材，引導(dǎo)學(xué)生通過合作交流、自主探究等學(xué)習(xí)方式，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)，真正地做到不僅懂而且會(huì).