基于隨鉆電阻率成像測井儀的洞穴評(píng)價(jià)模型理論研究

康正明，柯式鎮(zhèn)，李新，倪衛(wèi)寧，李飛

(1.西安石油大學(xué)陜西省油氣井測控技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安，710065；2.西安石油大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安，710065；3.中國石油大學(xué)(北京)地球物理學(xué)院，北京，102249；4.中國石化石油工程技術(shù)研究院，北京，100101)

隨鉆電阻率成像測井是地球物理勘探中一種精細(xì)化描述井筒附近地質(zhì)構(gòu)造的方法，據(jù)高精度的采樣率得到的井壁圖像不僅可以直觀展示其附近縫洞體，而且可以進(jìn)行儲(chǔ)層參數(shù)計(jì)算，因此，該技術(shù)在鉆完井中優(yōu)勢明顯，可以準(zhǔn)確監(jiān)測井下地質(zhì)環(huán)境，為低滲透油氣藏高效開發(fā)提供了豐富的地層信息，是實(shí)現(xiàn)優(yōu)快鉆井和提高開發(fā)效益的基礎(chǔ)[1-3]。隨著井下數(shù)據(jù)傳輸技術(shù)和小紐扣電極技術(shù)的不斷進(jìn)步，最新的測量儀器分辨率與地層微電阻率成像儀(FMI)的分辨率相當(dāng)[4-5]。

洞穴是油氣儲(chǔ)層中常見的地質(zhì)構(gòu)造，不僅可以作為油氣的運(yùn)移通道，而且可以進(jìn)行油氣儲(chǔ)集。洞穴的發(fā)育往往具有強(qiáng)非均質(zhì)性與各向異性，因此，測井響應(yīng)復(fù)雜，測井識(shí)別與定量評(píng)價(jià)難度較大[6]，利用電阻率成像測井圖像，可以較快地發(fā)現(xiàn)洞穴的存在。在洞穴參數(shù)計(jì)算方面，理論上通過井場實(shí)時(shí)反演可以定量評(píng)價(jià)，但含有洞穴的三維地層模型較大，反演耗時(shí)耗力，在實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)施。相比而言，三維正演在其參數(shù)計(jì)算模型建立中發(fā)揮重要作用，可有效提高反演速度和精度。通過對(duì)特定模型進(jìn)行正演模擬，確定洞穴參數(shù)與測量信號(hào)的定量關(guān)系，從而可以獲得洞穴參數(shù)解釋模型。關(guān)于洞穴地層的測井響應(yīng)研究，前人做了大量模擬工作，但是大多數(shù)都聚焦在雙側(cè)向測井儀器和電磁波傳播測井儀器方面[7-13]，而對(duì)于隨鉆電阻率成像測井儀器在洞穴地層的測井響應(yīng)機(jī)理的研究很少，目前主要的數(shù)值模擬集中在儀器的探測特性、常見典型地層測井響應(yīng)特征、環(huán)境影響因素等方面[14-19]，采用的模型主要基于水平層狀地層和傾斜層狀地層[10]。因此，很有必要利用數(shù)值模擬手段研究其在復(fù)雜洞穴地層的測井響應(yīng)機(jī)理并建立其參數(shù)解釋模型。

在儀器探測深度方面，雙側(cè)向測井對(duì)洞穴直徑大于1 m 以上的洞穴具有較好的識(shí)別和評(píng)價(jià)效果，而成像測井對(duì)小于這一尺寸的洞穴可以顯示出洞穴圖像。不同于一般測井儀器的數(shù)值模擬模型，隨鉆電阻率成像測井響應(yīng)的模型尺寸變化較大，比如幾厘米的紐扣電極、長達(dá)幾米的測井儀器和地層，因此，屬于多尺度問題[20]，目前，大多采用有限元素法模擬。本文針對(duì)直徑1 m以下的洞穴，基于三維有限元建立單洞穴和多洞穴模型，考察隨鉆電阻率成像測井的響應(yīng)特性，通過分析洞穴參數(shù)與測量信號(hào)的定量關(guān)系，建立洞穴直徑和洞穴延伸度計(jì)算模型，以便為隨鉆電阻率成像測井在復(fù)雜地層測井響應(yīng)機(jī)理和解釋模型提供理論支撐。

1 三維有限元建模

1.1 基本原理

隨鉆電阻率成像測井儀器有2種激勵(lì)機(jī)制，其中，一種是直接給電極加載電流，另一種是通過螺繞環(huán)激勵(lì)在鉆鋌上產(chǎn)生等量電位以達(dá)到自動(dòng)聚焦的作用。第二種方法在工藝上容易實(shí)現(xiàn)，因此被廣泛應(yīng)用[18,21]。在不考慮測量頻率的影響的情況下，可以將激勵(lì)源螺繞環(huán)等效為延伸的電壓偶極子，其在地層中產(chǎn)生的電場與在側(cè)向測井中產(chǎn)生的電場類似，滿足拉普拉斯方程，對(duì)電流面密度的拉普拉斯方程進(jìn)行求解可獲得。在直角坐標(biāo)系下，地層電阻率為R時(shí)電流密度J(x,y,z)滿足以下泛函表達(dá)式[22]：

式中：F(J)為J(x,y,z)的泛函；Ω為求解區(qū)域；UC為鉆鋌表面電壓；IC為下接收螺繞環(huán)接收到的軸向電流。

鉆鋌表面電壓UC和無限遠(yuǎn)地層邊界電壓UI滿足第1類邊界條件[16]：

式中，C為常數(shù)。

根據(jù)邊界條件和電阻率分布滿足條件，過對(duì)F(J)進(jìn)行離散化，可得到每個(gè)單元的表達(dá)形式：

將求解的所有單元的節(jié)點(diǎn)合起來形成要求解的剛度矩陣：

式中，K為總剛度矩陣：J為電流密度矩陣；S為施加條件矩陣。

式(4)為大型稀疏矩陣，采用廣義最小余量法(FGMRES)對(duì)式(4)求解，即可得到紐扣電極處的電流密度J，然后對(duì)電流密度J進(jìn)行面積分，即可獲得紐扣電極處的電流I：

最后，利用歐姆定律即可獲得地層視電阻率Ra。

1.2 模型

洞穴地層一般不對(duì)稱，因此，需要借助三維模型進(jìn)行模擬。對(duì)復(fù)雜儀器結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化可減小計(jì)算量，因此，本文在數(shù)值模擬中忽略了螺繞環(huán)線圈結(jié)構(gòu)，將之等效為延伸的電壓偶極子。同時(shí)，將鉆鋌結(jié)構(gòu)掏空，只對(duì)其面賦予相關(guān)物質(zhì)屬性。分別設(shè)計(jì)了單洞穴和多洞穴2種地層模型模擬洞穴地層測井響應(yīng)，其中，單洞穴模型用于模擬測量點(diǎn)與洞穴中心處于同一深度時(shí)的測量信號(hào)，多洞穴模型用于成像采樣過程模擬，得到的洞穴成像結(jié)果可以更加直觀地反映不同因素對(duì)洞穴的影響。

圖1所示為單洞穴地層模型截面示意圖，模型由隨鉆電阻率成像測井儀器、井眼、基巖和洞穴組成。鉆鋌直徑為17.02 cm，包括1 個(gè)發(fā)射螺繞環(huán)、2 組紐扣電極和2 個(gè)接收螺繞環(huán)。2 組用于成像的紐扣電極B1 和B2 縱向分布，其直徑分別為10 mm和25 mm，每組紐扣在周向上間隔90°分布。紐扣電極B1的4個(gè)電極分布于正北、正東、正南、正西方向，標(biāo)記為1，3，5，7，類似地，紐扣電極B2 的4 個(gè)電極分別標(biāo)記為2，4，6，8。模擬中采用的儀器參數(shù)具有普遍性，因此，得到的洞穴參數(shù)解釋模型具有一定的通用性。

圖1 單洞穴模型示意圖Fig.1 Schematic of single cave model

在單洞穴模型中，分別將1號(hào)和2號(hào)紐扣電極正對(duì)洞穴進(jìn)行模擬用于考察不同紐扣電極直徑對(duì)洞穴測井響應(yīng)的差異。洞穴形狀采用柱狀、過井眼型洞穴。

單洞穴模型中，主要分析洞穴直徑、洞穴電阻率、洞穴延伸長度對(duì)測量信號(hào)的影響。根據(jù)地質(zhì)上洞穴尺寸的分類方法，將洞穴分為中等洞穴(直徑為10 mm)和大洞穴(直徑為50 mm)。表1所示為單洞穴測量信號(hào)影響因素模擬參數(shù)，洞穴位于正北方位。

表1 單洞穴模擬參數(shù)Table 1 Simulation parameters of single cave

多洞穴模型俯視圖如圖2所示，6 個(gè)洞穴分布在正北、東北、正東、東南、正南、正西方位，每個(gè)洞穴中心在縱向上處于同一深度?？疾於囱ㄖ睆?、洞穴電阻率、洞穴延伸長度不同時(shí)，洞穴圖像的差異。表2所示為多洞穴測量信號(hào)影響因素模擬參數(shù)，當(dāng)考察因素的參數(shù)有多個(gè)時(shí)，參數(shù)依次與洞穴1～6相對(duì)應(yīng)。

表2 多洞穴模型模擬參數(shù)Table 2 Simulation parameters of multi cave model

圖2 多洞穴模型俯視圖Fig.2 Top view of multi caves model

1.3 網(wǎng)格剖分

模擬過程中，需要對(duì)模型進(jìn)行區(qū)域分解，針對(duì)不同區(qū)域設(shè)置不同的網(wǎng)格尺寸，而且需要控制不同區(qū)域網(wǎng)格的彼此影響，以達(dá)到求解精度和提高求解速度。本文采用有限元局部網(wǎng)格細(xì)化技術(shù)以解決網(wǎng)格自由度過大或者計(jì)算精度不足的問題。網(wǎng)格細(xì)化區(qū)域包括紐扣電極表面、洞穴、井眼等部分。其中，鉆鋌、井眼、紐扣電極等表面，采用三角形網(wǎng)格進(jìn)行加密，由于是面網(wǎng)格，因此，這部分網(wǎng)格數(shù)量較少，但能較大地提升電流采集的精度。除了對(duì)研究對(duì)象本身進(jìn)行加密外，模型還增加了1個(gè)全新的柱狀體域，將洞穴全部包含在內(nèi)，并對(duì)該域進(jìn)行網(wǎng)格加密。為了與上述表面三角形網(wǎng)格更好地匹配，洞穴和地層等區(qū)域的網(wǎng)格剖分采用四面體網(wǎng)格。

2 數(shù)值模擬結(jié)果分析

2.1 洞穴直徑

模擬洞穴形狀為圓柱體，與井軸正交且被井眼鉆穿。洞穴直徑小于井眼直徑，因而，二者在井壁上形成的交線不規(guī)則，在機(jī)械行業(yè)稱之為二者的“相貫線”。當(dāng)二者直徑相差較大時(shí)，相貫線類似于圓，如圖3所示。

圖3 洞穴與井眼相貫線示意圖Fig.3 Intersecting line schematic between cave and borehole

在地質(zhì)上，將直徑在2 mm以上的孔隙稱為洞穴，其中，直徑為2～5 mm 的為小洞，直徑為5～10 mm的為中洞，直徑大于10 mm的為大洞[23]。本文研究的洞穴直徑為10～100 mm，洞穴與井眼正交的相貫線接近圓，方便圖像分析。洞穴直徑對(duì)測量信號(hào)的影響如圖4所示，其中，Imax為紐扣電極中心和洞穴中心在同一縱向位置時(shí)紐扣電極測量電流，Imin為紐扣電極正對(duì)基巖時(shí)測量電流。當(dāng)背景地層電阻率不變時(shí)，Imin幾乎不變，電阻率成像測井?dāng)?shù)據(jù)成像后反映的是電流對(duì)比度的變化，因此，采用Imax/Imin表征不同因素變化對(duì)測量信號(hào)的影響。

圖4 洞穴直徑對(duì)測量信號(hào)的影響Fig.4 Effect of cave diameters on measured signals

從圖4(a)可以看出，當(dāng)存在井眼時(shí)，正對(duì)洞穴的紐扣電極測量信號(hào)影響較大。當(dāng)洞穴直徑小于100 mm時(shí)(區(qū)域A)，測量信號(hào)較大，隨著直徑的增大，測量信號(hào)逐漸變小，此時(shí)，測量的信號(hào)幾乎來自于井眼，受井眼的影響，該方位紐扣電極無法較好地識(shí)別洞穴；當(dāng)洞穴直徑大于100 mm時(shí)(區(qū)域B)，隨著洞穴半徑的增大，測量信號(hào)增大至趨于平穩(wěn)。從圖4(b)可以看出，不考慮井眼時(shí)，隨著洞穴直徑從2 mm 變化到100 mm，正對(duì)洞穴的紐扣電極測量信號(hào)逐漸增大，呈線性關(guān)系，而其他方位紐扣電極信號(hào)對(duì)洞穴不敏感，幾乎無法檢測到洞穴的存在。因此，有效消除井眼的影響成為準(zhǔn)確地識(shí)別洞穴的關(guān)鍵所在，目前常用的方法是將紐扣電極緊貼井壁進(jìn)行測量。

根據(jù)模型參數(shù)(表2)，固定儀器鉆鋌直徑為17.02 cm，井眼直徑分別為17.78 cm 和21.59 cm，即紐扣幾乎貼在井壁和紐扣距離井壁較遠(yuǎn)的情況，模擬分析井眼對(duì)不同直徑洞穴的影響。圖5和圖6所示分別為21.59 cm 和17.78 cm 井眼環(huán)境下不同直徑洞穴的成像結(jié)果，方位依次為北、東、南、西、北(下同)?？梢?，當(dāng)洞穴直徑小于10 mm 時(shí)，大小紐扣電極均無法識(shí)別出洞穴的存在，當(dāng)洞穴直徑大于等于10 mm 時(shí)，大小紐扣電極均可以識(shí)別洞穴。洞穴直徑越大，成像效果越明顯，越能夠清楚地、完整地顯示出洞穴的實(shí)際形狀。對(duì)比圖5和圖6可知，當(dāng)紐扣越靠近井壁，洞穴成像分辨率越高。因此，在考察洞穴延伸度和洞穴電阻率參數(shù)對(duì)測量信號(hào)影響時(shí)，控制井眼直徑為17.78 cm。

圖5 直徑21.59 cm井眼中不同直徑洞穴成像結(jié)果Fig.5 Imaging results of caves with different diameters in borehole with diameter of 21.59 cm

圖6 直徑17.78 cm井眼中不同直徑洞穴成像結(jié)果Fig.6 Imaging results of caves with different diameters in borehole with diameter of 17.78 cm

2.2 洞穴電阻率

選取泥漿為填充物，與實(shí)際隨鉆測井情形相符，其電阻率Rm從0.2 Ω·m 到20 Ω·m 變化，背景地層電阻率Rb固定為100 Ω·m。圖7所示為單洞穴模型下正對(duì)洞穴方向紐扣電極測井響應(yīng)特征。從圖7可以看出，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，隨著Rm/Rb增大，大小紐扣電極在中洞穴和大洞穴中測量的電流對(duì)比度呈線性遞減趨勢(實(shí)際為冪指數(shù)關(guān)系)。

圖7 洞穴填充物電阻率對(duì)測量信號(hào)的影響Fig.7 Effect of cave filter on measured signals

設(shè)置洞穴的直徑和延伸長度為定值，模擬不同洞穴填充物的成像結(jié)果如圖8所示。從圖8可見：當(dāng)洞穴填充物電阻率比基巖的高時(shí)，洞穴圖像為亮色，接近白色；當(dāng)洞穴填充物電阻率與基巖電阻率相等時(shí)，洞穴圖像和基巖顏色一致，此時(shí)無法判斷出洞穴的存在；當(dāng)Rm/Rb為0.1時(shí)，可以從成像結(jié)果看出洞穴的存在，但是對(duì)比不明顯；當(dāng)Rm/Rb為0.01 時(shí)，此時(shí)可以清晰識(shí)別出洞穴的存在。

圖8 不同填充物時(shí)洞穴成像結(jié)果Fig.8 Imaging results of caves with different filters

2.3 洞穴延伸長度

電纜式微電阻率成像測井圖像可以直觀地顯示洞穴的分布特征，但其探測范圍有限，僅能提供井壁的洞穴信息，很難反映洞穴的徑向發(fā)育特征；雙側(cè)向測井探測深度較深，但是其對(duì)于直徑小于1 m的洞穴不敏感。與這2種儀器相比，隨鉆電阻率成像測井的探測深度較電纜式儀器的探測深度大且對(duì)直徑較小的洞穴具有較好的識(shí)別功能。

圖9所示為延伸長度對(duì)不同紐扣電極的測量信號(hào)的影響。從圖9可以看出：對(duì)于中洞穴，隨著延伸長度從100 mm增加到500 mm，B1和B2電極正東、正南、正西信號(hào)幾乎沒有變化，Imax/Imin接近1，說明洞穴對(duì)測量信號(hào)幾乎沒有影響；當(dāng)洞穴延伸長度小于150 mm時(shí)，正北方位的紐扣電極測量信號(hào)與洞穴延伸長度具有非線性變化關(guān)系，且Imax/Imin遠(yuǎn)大于1，考慮到洞穴直徑較小，因此，這主要是受井眼泥漿的影響；當(dāng)洞穴延伸長度大于150 mm時(shí)，大小紐扣電極測量的電流信號(hào)不隨洞穴延伸長度的變化而變化，說明此時(shí)井眼對(duì)測量結(jié)果的影響趨于穩(wěn)定；對(duì)于大洞穴，隨著洞穴延伸長度的增大，洞穴正對(duì)的紐扣電極測量信號(hào)呈現(xiàn)冪指數(shù)變化。

圖9 洞穴延伸長度對(duì)測量信號(hào)的影響Fig.9 Effect of cave extension on measured signals

圖10所示為不同延伸長度時(shí)洞穴的成像結(jié)果。從圖10可以看出：當(dāng)洞穴延伸長度小于20 mm時(shí)，很難通過圖像識(shí)別洞穴；當(dāng)洞穴延伸長度為50～100 mm 時(shí)，能夠識(shí)別洞穴的存在，但是圖像無法還原洞穴的形狀，而當(dāng)洞穴延伸長度達(dá)到150 mm時(shí)，不但能夠識(shí)別洞穴的存在，而且可以通過圖像大致判斷洞穴的形狀。

圖10 不同延伸長度洞穴成像結(jié)果Fig.10 Imaging results of caves with different extensions

3 洞穴參數(shù)計(jì)算模型

3.1 洞穴直徑計(jì)算模型

通過對(duì)隨鉆電阻率成像測井資料進(jìn)行處理，可以計(jì)算出洞穴的面孔率、洞穴直徑以及洞穴密度，本文主要針對(duì)不同洞穴直徑計(jì)算模型得到的成像結(jié)果進(jìn)行分析。通常利用電流異常面積計(jì)算洞穴直徑，即從圖像出發(fā)，利用電成像測井的靜態(tài)圖，按照灰度差將洞穴從骨架背景中提取出來，然后根據(jù)其直方圖得到分割閥值T，利用下式可計(jì)算出洞穴的面積A：

式中：H(D)為灰度直方圖；D為洞穴直徑。

由于式(6)在求取洞穴處電流異常面積積分時(shí)往往誤差較大，因此，需要對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)。由上述模擬結(jié)果可知，洞穴處最大電流對(duì)比度Imax/Imin與洞穴直徑D為線性關(guān)系，Imax/Imin與Rm/Rb呈冪指數(shù)關(guān)系，對(duì)上述關(guān)系進(jìn)行擬合，分別得到

式中：a，b，c，d均為常數(shù)。

令y=Imax/Imin，式(7)和式(8)可變?yōu)椋?/p>

Rm/Rb固定時(shí)，

Rm/Rb不固定時(shí)，則有

式中，Q為常數(shù)。

通過式(11)和(12)可得到在任何Rm/Rb下的洞穴直徑D定量評(píng)價(jià)公式：

利用上述理論模型，對(duì)圖6(b)中紐扣電極B1的模擬圖像中的4個(gè)洞穴進(jìn)行直徑計(jì)算，結(jié)果如表3所示。從表3可以看出，利用模型計(jì)算得到的洞穴直徑更加接近真實(shí)值，當(dāng)洞穴直徑大于25 mm時(shí)，計(jì)算得到的相對(duì)誤差小于3.2%，洞穴直徑越大，模型得到的相對(duì)誤差越小。新模型計(jì)算得到的洞穴直徑結(jié)果表明，利用電流對(duì)比度評(píng)價(jià)洞穴直徑模型效果較好。

表3 洞穴直徑計(jì)算結(jié)果Table 3 Calculation results of cave diameter

3.2 洞穴延伸長度計(jì)算模型

由圖9(b)可知，洞穴延伸長度Ex和測量信號(hào)Imax/Imin具有冪指數(shù)關(guān)系。對(duì)洞穴延伸長度Ex和紐扣電極B1和B2的測量信號(hào)Imax/Imin進(jìn)行擬合。擬合公式如下：

對(duì)擬合公式進(jìn)行簡單的變換，即可得到大洞穴延伸度的理論計(jì)算模型。表4所示為Imax/Imin模擬結(jié)果和計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差。從表4可以看出：Imax/Imin相對(duì)誤差大多在5%以內(nèi)，說明通過隨鉆電阻率成像測井獲得正對(duì)洞穴方位的Imax/Imin，再應(yīng)用上述公式可以求取大洞穴的徑向延伸長度。通過理論計(jì)算可以得到不同洞穴直徑對(duì)應(yīng)的延伸長度計(jì)算公式系數(shù)。此外，不同直徑洞穴延伸長度和測量信號(hào)關(guān)系的大量模擬也論證了上述結(jié)論。值得注意的是，只有大洞穴直徑為100～500 mm 時(shí)，通過此模型計(jì)算得到的洞穴延伸長度才更加準(zhǔn)確。同時(shí)，洞穴延伸長度模型適用條件為圍巖電阻率和洞穴電阻率對(duì)比度較大的情況(Rm/Rb＞10)，特別適用于低阻的水基泥漿侵入洞穴、圍巖電阻率為高阻的情況。

表4 大洞穴延伸長度和測量信號(hào)關(guān)系的擬合誤差分析Table 4 Fitting error analysis of relationship between big cave extension and measured signals

4 結(jié)論

1)在不同洞穴直徑下，井眼環(huán)境對(duì)測量信號(hào)具有較大的影響；不考慮井眼影響時(shí)，測量信號(hào)隨洞穴直徑增大呈線性關(guān)系。

2)對(duì)于中洞穴，延伸長度對(duì)測量信號(hào)影響較??；對(duì)于大洞穴，延伸長度與測量信號(hào)具有較好的冪指數(shù)關(guān)系。

3)在不同洞穴直徑下，洞穴電阻率與測量信號(hào)均為冪指數(shù)關(guān)系。

4)基于正演結(jié)果，提出了基于最大電流對(duì)比概念的隨鉆電阻率成像測井儀器洞穴直徑和延伸度評(píng)價(jià)模型，為柱狀形洞穴的參數(shù)計(jì)算提供一定的理論指導(dǎo)。